第二章 平面解析几何（单元分层自测·能力提升卷）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 平面解析几何单元卷，整合多地区期末真题，覆盖椭圆、双曲线、抛物线等核心知识，注重能力提升，适配高二单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|椭圆离心率、双曲线渐近线|基础巩固，考查数学眼光的几何直观| |多选题|3题|直线位置关系、椭圆性质|能力提升，体现数学思维的推理意识| |填空题|3题|轨迹方程、椭圆最值|创新应用，培养数学语言的模型观念| |解答题|5题|曲线方程、直线与圆相切、双曲线综合|综合探究，如第19题结合圆与双曲线相切，考查数学思维的逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 5．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 11．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为_____________． 13．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 四、解答题 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知O为坐标原点，动点P到两个定点的距离的比，记动点P的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 16．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 17．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 18．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 19．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章平面解析几何·能力提升（参考答案） 一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A A & ペ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AB ABD ABD 三、 三、填空题（共3小题，共15分） 12.3 13.10+5,N5+10 14.(2,3) 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分) 【详解】(1)由题知，设点Px,), POI vx+y 1 x2+y21 则PAVx-3)}+2,所以x-3+y4,(3分) 即4+4y=-3引2+y 整理得+广+2x-3=0 所以曲线C是圆心为(-，0)，半径等于2的圆， 故曲线C的方程为：x+少+少=4 (6分) (2)若直线I的斜率不存在，则直线1的方程为：x=0, 与C的交点坐标为0，-.Q,V,此时弦长等于25，清足图意：8分) 若直线的斜率存在，设直线I的方程为：y=x+2, 曲线C裁'所得弦长等于25，所以25=24-，解得：d-, 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d=1-k+21 圆心C(-1,0)到直线1的距离V1+k，(11分) 1-k+2=1 所以V1+2，解得？ 3 则直线1的方程为：y=4x+2,即3x-4y+8=0 综上，直线I的方程为：x=0或3x-4y+8=0.(13分) 16.(15分) 【详解】()C:+少-8x-9=0可化为(x-4+广=25 故圆C的圆心坐标为40，半径为5：(5分) (2)因为14+>25.所以点P在圆C外， 若直线的斜率不存在，则：x=1,圆心到直线的距离为5，符合题意；(7分) 若直线的斜率存在，则设：y-1=k(+刊，即-y++1=0 4k+k+1=-5 12 则圆心C(4,0)到直线的距离为V+1,得k= 5,(10分) 此时切线方程为12x-5y+17=0 综上，直线I的方程为x=-1或l2x-5y+17=0.(15分) 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分) x2.y2 【详解】(1)因为椭圆C:+尔1。 2 (a>b>0)经过A(0,),所以b=1,因为椭圆离心率为2， c√2 x2 所以8。之，因为心-分+c,所以解得=2，所以椭圆C.之+广 .(4分) y=x-1 少由恩意可得，F山0，因为直线，的斜率为所以直线：y=x一所以联立？+y生 可得2+(r-y= 4 X= ,化简可得3x2-4x=0,解得x=0或3，(6分) 4 所以MO,)N3故点N到直线M的距离为 所u5w-号-*2×子号 33·(8分) ()设直线'：y=+b,设M(）,N(), y=x+b 所以联立行+少=1，可得号+(+=1. x+5=- 4b 3 可得 ,由韦达定理可得 =2b2-2,(10分) 3x2+4bx+2b2-2=0 3 3 则M=(,y-,AN=(,y-1) 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以M4N=5+(-(0-)=5+,-y+)+1 因为片=+b.⅓=西+b 所以4+-+)+1=5+++)-（区+5+2）+，12分) 即M4N=2x+6-10x+x)+B-2b+1 4瓜-少26-》-21-8. 2 当6=之-专时，.和取得最小道，即此时孤N:专5分) 23 18.(17分) 【详解】(1)由题意， 卫=1，则p=2 所以C的方程为 .(3分) y2=4x (2)设M(,y,N(s,2) 当m=1时，直线1的方程为x=y+4,即x-y-4=0. x=y+4 联立y2=4x,消去x可得y2-4y-16=0, 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据韦达定理，片+%=4少=-16 (5分) 则MN=V1+m24-y2=2Vy+为}-4=V2√42-4x(-16)=4W10 d=1-0-4=3-35 点F(1,0)到直线x-y-4=0的距离VP+(←1)2V22, 所以△w约面我5-wd-4i0x33-65 2 (8分) (3)存在，元=2理由如下： 设P（4）,因为点P在直线=m+4上 所以4=4，期得%=8.P4品. m. (10分) 点2是直线与×轴的交点，令y=0,得=4，所以(4,0) 则Pw=i+m-=+m-(=+m+ PN=+以-为小=+m+是 四+-小=+m0-(i+m图 要验证1+1=，2，即验证：+m以+8 .8 8 8 PMIPNI POI m 1+m2y2+ +m m 1m 8+,888 化简得：+ m mm (12分) 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=my+4 联立y2=4x，消去x可得y2-4my-16=0, △=16m2+4×16>0 因为%=6，且水+为=柳， +64=16+64>0 m m2 m2 1 1 1 8和y2+ 所以y 8同号，即以+ ,,8 m m 8 8+ 士y以2+·14分) m .8 8 y+ +y+ +与+16 4m+16 4m2+16 1 1 m m m m 8 因为y+ +++】 8 m a+o 8 161+416m+416m2+64 (m2 m 4m2+4 m 4m m 16m2+4164, m2 1 12m_m, 8+.884 则+ m ，即元=2：(17分) X=-4 19.(17分) 【详解】(1)因为双曲线C的离心率为V2,点P(2,-)在双曲线上， 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e-c-V2 a 2212 所以a京=1，解得 c2=a2+b2 a2=3b2=3 x y2 所以双曲线的方程为了了1.(3分) (2)圆E:x-5+少=2的圆心号 心E(5.0),半径为2 因为T是圆E上的动点，直线S7与圆E相切，所以S717E,7=V2 所以ST=V-=-2.5分) 设S(%),因为点S是双曲线C上的动点，所以季-誉-1 所以网-+--0+25-g. 当时，度利发小，电时侣。 19 2·(8分) (3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kc+m 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 -=1 33 联立y=+m,整理得(1-k2)x2-2kmc-m2-3=0: △=(-2km2-4-k)(-m2-3=4(m2-3k2+3)小>0且1-k2≠0， 委小8，小则55是，华-.0分) y+1=+x-2) 直线PA的方程为x-2 令x=0,则少-1-2引+2 M0,1-2y+2 x-2,即”x-2 同理可得， 0-1-2+2 2-2 (12分) 2 2+m)+2=0 -20, 整理得2k+1)x-(2k-m+1(+x)4m=0 (2k+10(-m2-3）_2km(2k-m+l_4m=0 即1-k2 1-k2 整理得m+2km+4m+6k+3=0,即（m+3m+2k+)=0 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以m=-3或m+2k+1=0.(14分) 若m+2+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为’=c-2水-1，即+1=(x-2） 此时直线B过点P2, ,不符合题意 若m=-3,则直线方程为'=-3，恒过定点 (0,-3) 所以PD=2+(-I+3=25为定值，(15分) 又PO⊥AB,在Rt△POD中，PD为斜边， 所以当R为pPD中点(，-2)时，RO=PD=V2 因此存在点R(L,-2),使得OR为定值(17分) 9/9 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 4．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 5．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 6．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 7．（25-26高二上·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，圆心坐标为，半径. ∴，圆心到直线的距离为. 所以点到直线的最小距离为，最大距离为， 所以的面积的最小值为，最大值为. 所以的面积的取值范围为. 8．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量关系得到平行，结合题意即可得到，设点坐标，由向量的关系得到点坐标，由向量垂直建立等量关系，结合点在双曲线上，整理等式.联立两点在双曲线上的方程，解得点横坐标，然后代入前面等式，通过整理化简即可得到关于离心率的方程，解得离心率. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 设，则， 所以，即， 所以， 所以， 即, 因为在曲线上，所以，即， 所以，又因为， 所以 因为在曲线上，所以， 即，则，所以， 代入上式得， 即， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 因为离心率，所以，所以， 所以. 二、多选题 9．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的离心率求出可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 11．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先利用直线过定点确定抛物线焦点，求出的值判断A；直线与抛物线联立，写出韦达定理，利用向量数量积的符号判断B；由中点坐标得到斜率表达式，用基本不等式求最值判断C；写出中垂线方程，求出坐标，分别计算与焦点弦，把化为关于的函数，求其值域判断D. 【详解】选项A，抛物线：的焦点为， 因为直线过抛物线焦点，所以，解得， 则抛物线方程为，抛物线准线方程为，A正确； 选项B，设直线与抛物线的交点为， 联立直线与抛物线方程，消去，整理得， 因，则，， 则， 且不共线，故一定为钝角，B正确； 选项C，设弦的中点为，则， 将代入，得到，即， 于是，， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当，即时取等， 即的最大值为，C错误； 选项D，，， 当时，，此时,则， ，可得，解得； 当时，，中垂线斜率为，， 则的中垂线方程为， 将代入上式，整理得 ，则得， 故， 因为，所以， 因为，则，即的取值范围为，D正确. 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为_____________． 【答案】3 【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值. 【详解】以所在直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 因为，即， 所以，整理为：， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到距离的最大值是， 所以面积的最大值是. 故答案为：3 13．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 四、解答题 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知O为坐标原点，动点P到两个定点的距离的比，记动点P的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据条件列式，化简整理可得曲线的方程，进而判断曲线类型； （2）分为两种情况讨论：若直线的斜率不存在，直接验证即可；若直线的斜率存在，设直线的方程为，由弦长可得圆心到直线的距离，列出方程可求得，从而得出答案. 【详解】（1）由题知，设点， 则，所以， 即，整理得， 所以曲线是圆心为，半径等于的圆， 故曲线的方程为：. （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 与的交点坐标为，此时弦长等于，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为：， 曲线截所得弦长等于，所以，解得：， 圆心到直线的距离， 所以，解得， 则直线的方程为：，即 综上，直线的方程为：或. 16．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可； （2）按照直线的斜率存在性讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）可化为， 故圆的圆心坐标为，半径为； （2）因为，所以点在圆外， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为，得， 此时切线方程为. 综上，直线的方程为或. 17．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 18．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，                根据韦达定理，，，                   则，     点到直线的距离，   所以的面积． （3）略 19．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）根据已知条件列方程组求解即可. （2）根据直线与圆相切得到，设出点坐标，结合二次函数性质求出，进而求得. （3）设出直线方程并与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，；求出直线、方程，得到点、坐标，结合对称列方程求出，求得为定值，再结合直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，点在双曲线上， 所以，解得，. 所以双曲线的方程为. （2）圆：的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为点是双曲线上的动点，所以. 所以， 当时，取得最小值，此时， 所以. （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得， 且， 设，，则，， 直线的方程为， 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即， 整理得， 即， 整理得，即， 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 5．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽安庆·期末）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 11．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为_____________． 13．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 四、解答题 15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知O为坐标原点，动点P到两个定点的距离的比，记动点P的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 16．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 17．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 18．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 19．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $