专题研究二 数列求和(第1课时) 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列求和专题，系统梳理分组求和法、裂项相消法等五种核心方法，通过复习等差等比数列求和公式导入，搭建从基础到复杂数列的转化思想支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合具体例题（如分组求和中拆分为等差与等比数列，裂项相消中分式裂项），培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言表达，探究部分总结方法类型，助力学生掌握转化思想，教师可借助系统例题与方法总结提升教学效率。

专题研究二数列求和（第1课 时) 专题要点 要点1分组求和法 把一个数列的每一项分成多项的和，将其转化为等差、等比或特殊 数列，再利用公式求和.通项公式为“等差数列十等比数列”的数列可 采用此法. 要点2 裂项相消法 根据数列通项公式的特征将数列中的通项分解，然后重新组合，使 之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和 消项.常见的裂项方法： 第3页 数列(n正整数) 裂项方法 1 111_1 n (n+k) k为非零常数) n (n+k)hn n+k 1 4r-1 -1-2+ n+Vn+为非零常数) ++好京-0 2” 2 (2”-1)(2+1-1) (2”-1)(2+1-1)-2”-12+1-1 1o(-0.az 1) log.1+=log.(n+1)-logp 第4项 要点3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法. 要点4倒序相加法 如果一个数列{a}中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的 和，这一求和方法称为倒序相加法. 第页 要点5与前n个自然数有关的和的公式 n(n+1) (1)1+2+3+4+…+n= 2 212+2+.+7=nn+1 (2n+1) 6 n+2+9++e-a时” 返回 专题讲解 题型一 分组求和法 例1（求和s=11+21+++1++2++2） 0=片+r 2- 2-i, 所以可利 用分求和法将其看成一个常数列 (等差数列 )和一个等比数列分 求和·即有&=2-1)+2-+2-是+…+2-2=2m- 1+号+2++=2m-2+2 第8页 (2)己知数列{a}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1+an=3n+ 1,求S1o和S1o1 【解析】 由an+1十a,=3n+1可知，S1o0=(a1十a2)十(a十a4)十… +(a99+a4100)=(3×1+1)+(3×3+1)+…+(3×99+1)=3(1+3+5+… 50(1+99) +99)+50=3× 2 +50=7550 当n为偶数时，Sn+1=a1十(a2十a3)十(a4十a5)十…十(a,十an+i)=1+ 3以+4+n岭=1+3t+号=字++1 :Sm=×102+2×100+1=7701. 第页 探究 分组转化法求和的常见类型： (1)若a,=bn士cn,且{b},{cn}为等差或等比数列，可采用 分组求和法求{a,}的前n项和. (2)若一个数列的相邻的部分项的和是一个常数（或者是有规律 的常数)，常用并项法求和. 第10 而 思考题10)数列122年4尽-的前2n项和=2”-士 【解析】 及=1+2+4+…+2+号++安+…+=2-1 +1-2=2-2 1。 第11页 (2)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1十a2十 5。 【解析】 记b.=3n-2,则数列{b,}是以1为首项，3为公差 的等差数列， 所以a1+a2+…+a,+a10=(-b)+b2+…+（-bg)+b10= (b2-b)+(b4-b3)+(b6-b)+(bg-b)+(b10-b)=5×3=15. 第12 五 an,n为奇数， 例2若a,=2”+1,且bn= n,n为偶数， 数列{bm}的前2n项 4m+1-4 和T2m=3 +n(n+1) an,n为奇数， 【解析】 因为bn= n. n为偶数， 所以T2m=(2+4+6+…+2n) +4+16+61++2=”220+1”=g1 1-4 3+nn+ 1). 第13 五 探究 分段数列的求和方法： 「bn,n为奇数 通项公式为an= cn,n为偶数 的数列，其中数列{bn},{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 第14 五 思考题2已知an=(-1)n,求数列{a}的前n项和Sn 【解析】若n是偶数，则S,=(-1+2)+(-3+4)+(一5+6)+… +[-(n-1)+m]=2 若n是奇数，则S,=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+(-n)= n-1 n+1 2-2=2。 n为偶数， 上所述，S,= n+1 nE N". 2，n为奇数， 第15 题型二 裂项相消法 例3(1)在数列{a中，a,=2 则数列{bn}的前n项 和Sm=() An 2n +1 B n+1 n C2n-1 D 2n+1 第16 五 【解析】 (1).'am=2 4 8=41-+分+…+01-n+1 4n 第17 五 以E知装列0十十的前a1N9则0的道为 99 【解析】 (2)i记a,=n+n+1=m+1-n则a=2-1, a2=13-V2,a3=v4-3,,an=Vn+1-Vn. Sm=a+2+…+an=(V2-V1)+(3-V2)+(4-V3)+…+ Vn+1-Vm)=Vn+1-1. 令Vn+1-1=9,解得n=99. 第18 五 探究 裂项相消法求和的关键点： (1)定通项：根据已知条件求出数列的通项公式 (2)巧裂项：根据通项公式的特征进行准确裂项，把数列的每一 项，表示为两项之差的形式 (3)消项求和：通过累加抵消掉中间的项，达到消项的目的，准 确求和. 注意：使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项 有前后对称的特点. 第19 页 思考题3 ()=1×3+3×5+…+(2n=） (2n+1) n 2n+1 【解析】 (1)合an= 2-y2+D=2w1n+1 a&=1-g+g-++212n+=1-2+ij= n 2n+1 第20 五 3 2n+3 42(n+1) (n+2) 【解析】( =-+号4+号++片+2+号+1+ 3 2n+3 42(n+1)(n+2) 返回