精品解析：陕西渭南市富平县实验中学2025-2026学年九年级上学期2月阶段性评估数学试题

2025-2026学年九年级上学期2月阶段性评估数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 计算的结果为（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】． 故选：A． 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 3. 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠AEC的度数是（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等可得，，继而求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】 AB∥CD， ，， ∠A＝110°， ， CE平分∠ACD， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式与单项式乘法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C． ，正确； D． ，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了单项式与单项式的乘法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键． 5. 如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 6. 如图，直线l：，，点B是l上的整点（横、纵坐标都是整数），设线段所在直线的解析式为，则符合条件的整数k有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 7个 D. 无数多个 【答案】B 【解析】 【分析】先设出点B的坐标，再根据题意，可以用含m的代数式表示出k和b，然后根据m、k均为整数，即可求得k的值，从而可以得到符合条件的整数k的个数． 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设点B的坐标为， 点，点在直线上， 解得， ∵m，k均为整数， ∴，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时；，此时； 由上可得，符合条件的整数k有8个， 故选：B． 7. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据含30度的直角三角形的性质，得到，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 8. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 9. 因式分解： ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 10. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图中三角形的个数是4，第2个图中三角形的个数是7，第3个图中三角形的个数是10……．按此规律，第个图中三角形的个数是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律． 根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图中三角形的个数为：， 第②个图中三角形的个数为：， 第③个图中三角形的个数为：， …， 所以第n个图中三角形的个数为个． 故答案为：． 11. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为，可得方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为岁，进而根据年前父亲的年龄是儿子年龄的倍列出方程即可． 【详解】解：设今年儿子的年龄为，列方程为， 故答案为：． 12. 如图，点在上，若，则的度数为_____． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，连接OA，利用得到，再根据平行线得到，继而求出k值即可．本题考查了反比例函数k值的几何意义及三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，连接OA， ， ，， ， ， ， 轴， ， 故答案为： 14. 如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“”证明和全等，则，从而得到；再求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小，据此解答． 【详解】解：在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ． 取的中点，连接、，如图所示： 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，得， 当、、三点共线时，的长度最小，最小值． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算即可． 详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图作垂直平分线，分别以点，C为圆心，大于的长的一半为半径画弧，得到两弧的两个交点，连接该两个交点，与交于一点，即为点D，连接即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． ； 理由：由作图可得：， ∴将的面积平分． 19. 如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． ． 20. “二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节的工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气—惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）． （1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是________． （2）慕梓睿和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选到的节气一个是清明一个是芒种的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个区域，且每个区域的大小相同，即每个区域被转到的概率相同， ∴慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中他们选到的节气一个是清明一个是芒种的结果数有2种， ∴他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率为． 21. 如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】（1）两个路灯之间的距离25米 （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，利用相似比可进行求解； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 即两个路灯之间的距离25米； 【小问2详解】 解：如图，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 22. 某市举办足球联赛，共有支球队，比赛采用单循环赛（即每支球队都要和其余支球队比赛），其记分规则及奖励方案如下表．当比赛结束时，甲队积分分，设甲队胜了场，平场． 赛况 胜一场 平一场 负一场 积分 （1）写出关于的函数关系式； （2）求甲队胜、平、负各几场并说明理由． 【答案】（1） （2）甲队胜，平，负的场数分别为：胜场，平场，负场；胜场，平场，负场；胜场，平场，负场；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程的整数解问题．根据积分规则建立变量之间的函数关系，得到符合实际意义的解，是解题的关键． （1）根据题目已知积分规则列出一次函数； （2）根据比赛场次的非负整数限制，得到的取值范围，并由此得到的正整数解． 【小问1详解】 解：∵根据题意可列式为， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 整数或或， 甲队胜，平，负的场数分别为：胜场，平场，负场；胜场，平场，负场；胜场，平场，负场． 23. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，现有五个项目：．美丽镶嵌，.七彩勾股树，．数独，．调查活动，．数学史，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）这次学校共抽取了_____个学生进行调查：图②中选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图； （2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____； （3）若参加成果展示活动学生共有660人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数． 【答案】（1）120，，图见解析 （2）76，76 （3）165 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可得选择.七彩勾股树的有36人，占调查人数的，根据频率=频数÷总数，即可求出答案，求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，求出选择“”的人数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义进行求解即可得到答案； （3）求出样本中喜欢“数独”的所占的百分比，再乘以总体数量，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：调查学生总数为：人， 选项所对应的圆心角度数为：， 选择“”的有：人， 补全条形统计图如图所示： ， 故答案为：120，； 【小问2详解】 解：将这组数据从小到大排列为：74，75，76，76，79，80， 这组数据的中位数为：，众数为：76， 故答案为：76，76； 【小问3详解】 解：根据题意可得： 人， 答：最喜爱“数独”的有165人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联，求样本容量，求圆心角度数，求中位数、众数，用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练运用条形统计图与扇形统计图的相关数据． 24. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径． （1）若，的度数是多少？ （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； （2）连接，先根据直角三角形的性质求得，再根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，进而可得到答案． 【小问1详解】 解：∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理：， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 25. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． （1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； （2）将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）由题意可得顶点的坐标为，点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，将点代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； （2）把代入（1）解析式可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 26. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，， 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案． 问题1：探索的最大值； 问题2：探索最大时的度数． 【答案】任务一：平方米；任务二：点应安装在与点的距离不高于米处；任务三：的最大值为米，＝ 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质； 任务一：过点作于点 根据题意可得，进而得出，即可求解； 任务二：当时 此时最大 如图在中，得出在中,得出，即可求解． 任务三：由任务二可得时，最大，以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为，当与相切时，最大，根据四边形内角和定理以及圆周角定理，可得，进而过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，分别求得，根据，即可求解． 【详解】任务一: 过点作于点 由得， ， 在中 ， ∴， ； 所以所需挡雨板面积为 平方米； 任务二 当时，此时最大，如图在中， ∵在中, 此时： 点A应安装在与点的距离不高于 米处； 任务三：问题1：的最大值为 米 问题2： 由任务二可得时，最大， 以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为， 当与相切时，最大，此时如图所示，， ∵等腰， ∴，则 四边形中， ∴ 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期2月阶段性评估数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 计算的结果为（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠AEC的度数是（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 40° 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线l：，，点B是l上的整点（横、纵坐标都是整数），设线段所在直线的解析式为，则符合条件的整数k有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 7个 D. 无数多个 7. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数最小值是 D. 顶点坐标为 二、填空题（每小题3分，满分18分） 9. 因式分解： ____________ ． 10. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图中三角形的个数是4，第2个图中三角形的个数是7，第3个图中三角形的个数是10……．按此规律，第个图中三角形的个数是_______． 11. 今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为，可得方程______． 12. 如图，点在上，若，则的度数为_____． 13. 如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则_____． 14. 如图，点，是正方形边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算． 16. 解不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 20. “二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气—惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）． （1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是________． （2）慕梓睿和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率． 21. 如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 22. 某市举办足球联赛，共有支球队，比赛采用单循环赛（即每支球队都要和其余支球队比赛），其记分规则及奖励方案如下表．当比赛结束时，甲队积分分，设甲队胜了场，平场． 赛况 胜一场 平一场 负一场 积分 （1）写出关于的函数关系式； （2）求甲队胜、平、负各几场并说明理由． 23. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，现有五个项目：．美丽镶嵌，.七彩勾股树，．数独，．调查活动，．数学史，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）这次学校共抽取了_____个学生进行调查：图②中选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图； （2）为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____； （3）若参加成果展示活动学生共有660人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数． 24. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径． （1）若，的度数是多少？ （2）若，，求的周长． 25. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． （1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； （2）将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 26. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，， 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案． 问题1：探索的最大值； 问题2：探索最大时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $