第05讲 二次函数与一元二次方程与抛物线平移翻折旋转 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系、抛物线交点式、近似根求解、不等式应用、直线交点及平移翻折旋转等核心知识点，构建从基础关系到图形变换的递进学习支架。 资料通过7易错辨析纠正认知偏差，12典例精讲结合数形结合（如用函数图像解不等式），培养几何直观与推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第05讲 二次函数与一元二次方程与抛物线平移翻折旋转 （核心知识+7易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 ，当 时，可得到一元二次方程： 1. 方程 的实数根 ⇔ 二次函数图象与 轴交点的横坐标。 2. 设一元二次方程根的判别式 ，二者对应关系如下： 取值 方程根的情况 抛物线与轴交点 两个不相等实数根 2个交点 两个相等实数根 1个交点（顶点在x轴上） 无实数根 没有交点 补充：抛物线与轴有交点 ⇔△ 【知识点02】抛物线交点式（因式分解形式） 若抛物线 与 轴交于 ，则函数可写为交点式： 即为方程 的两根。 对称轴公式：。 【知识点03】利用二次函数求一元二次方程的近似根 画出二次函数 的图象，图象与 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。可通过锁定交点所在的整数区间，估算方程的近似根。 【知识点04】二次函数与一元二次不等式 1. （即）：对应抛物线图象在轴上方部分的 取值范围； 2. （即）：对应抛物线图象在轴下方部分的 取值范围。 核心关键：不等式解集由抛物线开口方向和与轴交点共同决定。 【知识点05】抛物线与直线交点问题 联立抛物线与直线解析式，通过消元得到一元二次方程，判断交点个数： 消去得： 1. ：抛物线与直线有2个不同交点； 2. ：抛物线与直线有1个交点（相切）； 3. ：抛物线与直线无交点。 ✔正确 ✘错误 1. ✘： 就一定对应二次函数有两个不相等实数根。 ✔前提：必须满足，若，式子退化为一次函数、一次方程，不再适用判别式规律。 2. ✘：抛物线与轴只有一个交点时，方程只有一个实数根。 ✔ 时，一元二次方程有两个相等的实数根，数学定义中不是一个根。 3. ✘：任意二次函数都可以写成交点式 。 ✔仅当方程有两个实数根（），抛物线与轴有交点时，才可在实数范围内写交点式；无实根时无法书写。 4. ✘：解 直接写解集 或。 ✔必须结合开口方向： （开口向上）： 解集为 或； （开口向下）： 解集为 。 5. ✘：联立抛物线与直线方程， 就一定有两个交点。 ✔需先确认消元后最高次项系数不为0，保证是一元二次方程，否则判别式失效。 6. ✘：抛物线与轴交点的横坐标都是对应方程的根。 ✔只有交点纵坐标为0时，横坐标才是 的根，其他交点不成立。 7. ✘： 表示抛物线与坐标轴有交点。 ✔ 仅对应与x轴有交点；抛物线与轴恒有交点，二者不可混淆。 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是___________． 【变式3】．（24-25九年级上·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】．（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【变式3】．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【变式1】．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数与x轴的交点个数为________． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】．（2024九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【变式1】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【变式2】．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用函数的图象求下列方程的解： （1）； （2）． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式1】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【变式2】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【变式2】．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【变式3】．（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【变式3】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以方法：方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式1】．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【变式2】．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 【变式3】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【变式3】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则拋物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________．（只填序号） ①分类讨论思想            ②数形结合思想            ③转化思想 (2)一元二次不等式的解集为_________． (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 【题型十一】一元二次方程的解的估算 例11．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式2】．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【变式3】．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【题型十二】抛物线平移、翻折、旋转 【例12】．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，顶点为点，将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；再将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例13】．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 【例14】．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． (1)试确定a，h，k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【变式3】．（25-26九年级上·山东滨州·期末）（1）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，求的长及的度数． （2）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，根据图象回答下列问题： ①点A坐标为_____，点B坐标为_____； ②当x取何值时，？_____； ③若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____． 1. 知识主线 二次函数 一元二次方程 （1）判别式 是核心桥梁，串联方程根的个数与抛物线和轴的交点个数； （2）方程的根 = 抛物线与轴交点的横坐标，已知交点可快速写出函数交点式； （3）二次不等式求解核心为“看图说话”，结合开口方向和零点，确定函数图象上下区间对应的范围； （4）抛物线与直线交点问题，统一思路为联立解析式，转化为一元二次方程，用判别式判断交点数量。 2. 解题通法 （1）判断抛物线与轴交点：计算，牢记“有交点则”； （2）已知交点求解析式：优先使用交点式，代入已知点求解系数； （3）解二次不等式：草图辅助，先找零点，结合开口方向书写解集； （4）直线与抛物线交点问题：联立方程组，利用判别式判断交点个数。 3. 核心数学思想 数形结合思想：将抽象的代数方程、不等式问题，转化为直观的函数图象几何问题，以形助数、以数释形，简化解题过程。 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知函数中，（），方程有两个不相等的实数根和，（），且，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）根据表格写出一元二次方程小于0的近似解______．（精确到小数点后一位） x 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 11．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 12．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 13．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 14．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 16．（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 三、解答题 17．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 19．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 20．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的图象如图所示，图像过，，，根据图象回答下列问题． (1)关于x的方程的解为______．关于x的不等式的解集为______． (2)如果关于x的方程无实数根，求m的取值范围． 21．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点与点关于原点对称，且点恰好在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求n的取值范围． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象可以由二次函数的图象平移得到且经过点和． (1)求二次函数的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标； (2)求二次函数的图象与x轴交点坐标； (3)若有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为______； (4)若时，，则m的值为______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数与一元二次方程与抛物线平移翻折旋转 （核心知识+7易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 ，当 时，可得到一元二次方程： 1. 方程 的实数根 ⇔ 二次函数图象与 轴交点的横坐标。 2. 设一元二次方程根的判别式 ，二者对应关系如下： 取值 方程根的情况 抛物线与轴交点 两个不相等实数根 2个交点 两个相等实数根 1个交点（顶点在x轴上） 无实数根 没有交点 补充：抛物线与轴有交点 ⇔△ 【知识点02】抛物线交点式（因式分解形式） 若抛物线 与 轴交于 ，则函数可写为交点式： 即为方程 的两根。 对称轴公式：。 【知识点03】利用二次函数求一元二次方程的近似根 画出二次函数 的图象，图象与 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。可通过锁定交点所在的整数区间，估算方程的近似根。 【知识点04】二次函数与一元二次不等式 1. （即）：对应抛物线图象在轴上方部分的 取值范围； 2. （即）：对应抛物线图象在轴下方部分的 取值范围。 核心关键：不等式解集由抛物线开口方向和与轴交点共同决定。 【知识点05】抛物线与直线交点问题 联立抛物线与直线解析式，通过消元得到一元二次方程，判断交点个数： 消去得： 1. ：抛物线与直线有2个不同交点； 2. ：抛物线与直线有1个交点（相切）； 3. ：抛物线与直线无交点。 ✔正确 ✘错误 1. ✘： 就一定对应二次函数有两个不相等实数根。 ✔前提：必须满足，若，式子退化为一次函数、一次方程，不再适用判别式规律。 2. ✘：抛物线与轴只有一个交点时，方程只有一个实数根。 ✔ 时，一元二次方程有两个相等的实数根，数学定义中不是一个根。 3. ✘：任意二次函数都可以写成交点式 。 ✔仅当方程有两个实数根（），抛物线与轴有交点时，才可在实数范围内写交点式；无实根时无法书写。 4. ✘：解 直接写解集 或。 ✔必须结合开口方向： （开口向上）： 解集为 或； （开口向下）： 解集为 。 5. ✘：联立抛物线与直线方程， 就一定有两个交点。 ✔需先确认消元后最高次项系数不为0，保证是一元二次方程，否则判别式失效。 6. ✘：抛物线与轴交点的横坐标都是对应方程的根。 ✔只有交点纵坐标为0时，横坐标才是 的根，其他交点不成立。 7. ✘： 表示抛物线与坐标轴有交点。 ✔ 仅对应与x轴有交点；抛物线与轴恒有交点，二者不可混淆。 【题型一】求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），求A，B两点的坐标． 【答案】点A的坐标为，点B的坐标为． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查求二次函数图象与x轴的交点，令，解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则，解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 【变式1】．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求二次函数图象与y轴交点，令计算y值即可． 【详解】解：当时，则有， ∴与轴交点坐标是； 故选A． 【变式2】．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式3】．（24-25九年级上·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3）， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】．（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【变式1】．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【知识点】求自变量的值或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【变式3】．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系．若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． 【答案】 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量值， 依据题意，由，可令，则，从而，进而可以判断得解； 【详解】解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 【题型四】抛物线与x轴的交点问题 【例4】．（25-26九年级上·广东江门·期中）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 【变式1】．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 【变式2】．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数与x轴的交点个数为________． 【答案】2个 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【详解】解：令， 因为， 所以二次函数与x轴的交点个数是2个． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 【答案】或 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，需结合根的判别式解答．由抛物线的顶点在x轴上可知，方程有两个相等的实数根；由上步分析可得，据此可得k的值，注意：需根据二次函数的二次项系数不为零对得到的值进行取舍. 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得或 【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例5】．（2024九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 【变式1】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查根据图象判断一元二次方程的根的情况，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查方程与二次函数图象的关系：根据图象得到二次函数的最小值，根据方程与函数图象的关系即可求解． 【详解】解：由图可知二次函数的最小值为， 方程有实数根，可看作二次函数与常数函数的图象存在交点， 故方程有实数根的条件是， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用函数的图象求下列方程的解： （1）； （2）． 【答案】（1）x1＝1，x2＝2；（2）x1＝x2＝－3 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）首先作出函数的图象，方程的解就是函数与x轴的交点的横坐标，据此即可求解； （2）首先作出函数的图象，方程的解就是函数与x轴的交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：（1）函数y＝x2－3x＋2的图象如图（1）所示，所以x2－3x＋2＝0的解是x1＝1，x2＝2， （2）函数y＝－x2－6x－9的图象如图（2）所示，所以－x2－6x－9＝0的解是x1＝x2＝－3. 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，理解方程的解就是函数与x轴的交点的横坐标是关键． 【题型六】求x轴与抛物线的截线长 【例6】．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式1】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 【变式2】．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根 【例7】．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【变式1】．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 【变式2】．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 【变式3】．（2025九年级上·北京·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 【详解】解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 【题型八】图象法解一元二次不等式 【例8】．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式1】．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 【变式2】．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 【变式3】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以方法：方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）D；（3） 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集； （1）根据题意画出，观察函数图象可得的解集． （2）根据题意可得此方法为数形结合的数学思想； （3）仿照小丽的方法，画出的函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：方程的两根为，， 画出的图象如图所示， ∴的解集为； （2）小丽的方法运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D． （3）解： 解得：， 画出函数图象如图所示， ∴的解集为． 【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围 【例9】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 【变式1】．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案； 【详解】解：∵对任意实数x，都有， ∴当时，， 又当时，有， ∴当时，， ∴当时， ， 故二次函数经过点， ∴①， 又时，， ∴②， 有①②得：， 解得：， 故选：B． 【变式2】．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质、代数式的变形与代入求值、不等式组的求解，熟练掌握二次函数的对称轴公式，以及利用代数式变形转化条件、建立不等式组的方法是解题的关键． （1）由二次函数对称轴公式代值计算即可得到答案； （2）①当时，，将点，代入表达式求出，再将代入解方程得到，求出即可得到答案； ②先分析函数在时性质，结合的条件，将问题转化为关于的不等式组，通过解不等式组得到的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数（为常数）， 二次函数图象的对称轴为； （2）解：①当时，， 点，在二次函数图象上， ， 则①②得， 即， ，， ， 则， ， 将代入得 解得，则， 点的坐标； ②设且， ∵当时，，当时，， ∴当时和当时的函数值差为， ∵当，时，均满足， ∴当，时，且满足， ∵二次函数的对称轴为， ∴当和时的函数值相等， ∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当，时，均满足， ∴， 解得． 【题型十】根据交点确定不等式的解集 【例10】．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式：根据交点确定不等式的解集．观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是，结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是， 对应的函数图象在轴下方，由图象可得范围为． ∴不等式的解集为 故选：A 【变式1】．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【变式3】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则拋物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________．（只填序号） ①分类讨论思想            ②数形结合思想            ③转化思想 (2)一元二次不等式的解集为_________． (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意容易得出结论； （2）观察图象即可写出一元二次不等式的解集； （3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：②③． （2）解：由图象可知：当或时函数图象位于x轴的上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或． 故答案为：或． （3）设， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 如图：画出二次函数的图象， 由图象可知：当时，函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 【题型十一】一元二次方程的解的估算 例11．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查一元二次方程近似解的估算，掌握一元二次方程估算方法是解决问题的关键． 根据二次函数图象与轴交点的横坐标就是方程的根，从而可知交点的横坐标左右所取的值代入得到的值异号即可． 【详解】解：根据题意，重新列表如下： 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 当时，存在一个使， 即方程（，、、为常数）一个解的范围是， 故选：D． 【变式2】．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 【变式3】．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【题型十二】抛物线平移、翻折、旋转 【例12】．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，顶点为点，将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；再将抛物线绕点旋转得到抛物线，交轴于点，顶点记为；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、图形的旋转，首先根据抛物线的解析式得到抛物线的顶点坐标为，根据旋转的性质分别得到旋转后的点、、的坐标，分别得到横坐标和纵坐标的变换规律，根据规律得到点的坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 当时，， 顶点坐标为， 第一次旋转后顶点的坐标为， 第二次旋转后顶点的坐标为， 第三次旋转后顶点的坐标为， ， 根据规律可得：第次旋转后点的坐标为， 顶点的横坐标为，纵坐标为， 顶点的坐标为． 故选：A ． 【例13】．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减； （2）先根据抛物线解析式写出点A坐标，再求出直线的解析式，求出点B，点C的坐标，根据图象和三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将抛物线沿轴向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为：； （2）∵平移后抛物线的解析式为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入得：， 点的坐标为， 图象大致如下： ， ． 【点睛】二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减；正比例函数的解析式为，函数几何结合采用数形结合的思想． 【例14】．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①，顶点坐标为；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据抛物线和有且只有一个公共点，联立后利用根的判别式求解即可； （3）①先求得，利用折叠的性质求得，化成顶点式即可求解； ②联立，利用根与系数的关系求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∵抛物线和有且只有一个公共点， ∴联立得， 整理得， ∴， 解得； （3）解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴， ∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为； ②∵直线与交于点、， ∴， 整理得， 设两根为和， ∴，， ∴ ， ∵直线与交于点、， ∴，整理得， 设两根为和， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线． (1)试确定a，h，k的值； (2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、折叠问题 【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键． （1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值； （2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得， 抛物线为：， ，，； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反， 所得抛物线的函数表达式为． 【变式2】．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 【变式3】．（25-26九年级上·山东滨州·期末）（1）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，求的长及的度数． （2）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，根据图象回答下列问题： ①点A坐标为_____，点B坐标为_____； ②当x取何值时，？_____； ③若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】（1），；（2）①，；②或；③ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式、根据旋转的性质求解 【分析】（1）旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角分别相等； （2）结合二次函数的图象求解不等式的解集；将问题转化为关于的方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）①将点代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， 解得或， ∴． ②将代入函数得：， 解得或， 画图如下： 结合函数图象可知，当或时，． ③联立得：， ∵二次函数的图象与直线有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 1. 知识主线 二次函数 一元二次方程 （1）判别式 是核心桥梁，串联方程根的个数与抛物线和轴的交点个数； （2）方程的根 = 抛物线与轴交点的横坐标，已知交点可快速写出函数交点式； （3）二次不等式求解核心为“看图说话”，结合开口方向和零点，确定函数图象上下区间对应的范围； （4）抛物线与直线交点问题，统一思路为联立解析式，转化为一元二次方程，用判别式判断交点数量。 2. 解题通法 （1）判断抛物线与轴交点：计算，牢记“有交点则”； （2）已知交点求解析式：优先使用交点式，代入已知点求解系数； （3）解二次不等式：草图辅助，先找零点，结合开口方向书写解集； （4）直线与抛物线交点问题：联立方程组，利用判别式判断交点个数。 3. 核心数学思想 数形结合思想：将抽象的代数方程、不等式问题，转化为直观的函数图象几何问题，以形助数、以数释形，简化解题过程。 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 2．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 5．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 6．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 7．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知函数中，（），方程有两个不相等的实数根和，（），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，考查了函数与不等式的综合应用，作出抛物线与直线的图像，然后分类讨论即可得解． 【详解】解：因为二次函数的图象与x轴交于点和，且满足， 又方程有两个不相等的实数根和，（）， 所以抛物线与直线交于点和，且满足， 当时，抛物线与x轴交于正半轴，如图， 此时，不满足， 当时，抛物线与x轴交于负半轴，如图， 此时，不满足， 当时，如图， 此时，不满足， 同理，当时，此时，不满足， 当m与n异号时，如图， 此时，满足， 综上，m与n异号，且， 故选：C． 二、填空题 8．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）根据表格写出一元二次方程小于0的近似解______．（精确到小数点后一位） x 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解．从表格中获取正确的信息是解题的关键． 由表格可知，当是，与最接近，然后作答即可． 【详解】解：由表格可知，当是，与最接近， ∴一元二次方程小于0的近似解， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．通过求二次函数的根，结合抛物线开口方向，确定不等式解集，即可求解． 【详解】解：当时，， ， 解得：， 由于二次项系数为，抛物线开口向上， 因此当或时，函数值大于， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． 11．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 【答案】 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 12．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 13．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，再根据函数图象平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，结合抛物线开口方向，根据平移后抛物线与坐标轴有且只有一个公共点的条件，得到顶点纵坐标的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：，原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， 抛物线开口向上，且平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无交点，仅与轴有一个公共点，顶点纵坐标大于，即：，解得， 故答案为． 14．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 15．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数与坐标轴有个交点，则的值为___________． 【答案】，， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题．函数与坐标轴有个交点，需分函数为一次函数和二次函数讨论；一次函数时需不经过原点；二次函数时需满足判别式为零且不与原点重合，或常数项为零（经过原点）且与轴有另一个交点 【详解】解：函数与坐标轴有个交点，分情况讨论： （1）当时，，函数为一次函数，与轴交于点，与轴交于点，有个交点，符合 （2）当时，函数为二次函数，与轴交于点 判别式 ①若，即，，此时与轴有一个交点，与轴交于点，两点不同，有个交点，符合 ②若常数项，即，函数为，令，得或，与轴交于点和，与轴交于点，共有个，符合 其他情况如且常数项不为，则有个交点，不符合 故的值为，， 故答案为：，，． 16．（25-26九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 19．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 20．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的图象如图所示，图像过，，，根据图象回答下列问题． (1)关于x的方程的解为______．关于x的不等式的解集为______． (2)如果关于x的方程无实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)，；或 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系及求一元二次不等式组解集，利用数形思想解答是解题的关键． （1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解，再结合图象即可求得x的解集； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， 将方程变形为， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； 由函数图象可知，的解集为或， 故答案为：，；或． （2）解：∵， ∴ ∵方程无实根， ∴， ∴， 即m的取值范围是． 21．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点与点关于原点对称，且点恰好在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论等知识点，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据二次函数对称轴为求出的值，再把点代入二次函数解析式进而求出的值即可； （2）根据关于原点对称的坐标特征可得的坐标，把的坐标代入二次函数表达式即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线， ∴， 解得， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：点关于原点对称的点， 把代入二次函数表达式得， 解得． （3）解：当或时，；当时，；当时，， ①当时，则在对称轴的左边， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， 解得，不合题意，舍去； ②当时，则包含对称轴在内， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴，符合题意； 当时，则在对称轴的右边， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， 解得或，不合题意，舍去； 综上所述，n的取值范围为． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象可以由二次函数的图象平移得到且经过点和． (1)求二次函数的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标； (2)求二次函数的图象与x轴交点坐标； (3)若有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为______； (4)若时，，则m的值为______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式，根据题意列不等式是解题的关键． （1）二次函数的图像可以由二次函数的图像平移得到，则，再把点和代入，得到表达式，再配方得到顶点即可； （2）令，则，再解方程即可； （3）由根的判别式，列出不等式求解即可； （4）根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：二次函数的图像可以由二次函数的图像平移得到， ， 将和代入， 得，解得：， ， ， 顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， 二次函数的图像与轴交点坐标为，； （3）解：有两个不相等的实数根， ， ； 故答案为：； （4）解：， ， ， 当时，解得：， 的解为， 又时，， 或， 即或， 故答案为：或. 1 学科网（北京）股份有限公司 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