第2章 图形的相似 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 《图形的相似》单元卷，覆盖相似判定、性质、位似等核心知识，通过基础辨析与综合应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形判定（如第1题等腰三角形）、平行线分线段成比例（第2题）|结合图形辨析，夯实基础| |填空题|6/18|位似性质（第14题矩形位似）、相似应用（第12题影子测量）|联系生活情境，体现应用意识| |解答题|8/72|相似证明（第18题）、位似作图（第17题）、综合应用（第24题内角平分线定理）|注重推理与实际应用，如第8题标杆测高培养数学眼光|

第2章图形的相似（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组图形中，不一定相似的是（) A.两个正方形 B.两个等边三角形 C.各有一个角是40°的两个等腰三角形D.各有一个角是100°的两个等腰三角形 【答案】C 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是40°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是40°，而另一个等腰三角形的 顶角是40°，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定 相似，不符合题意； 2、如图，AD∥BE∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,若AB=4 ,BC=3,DF=9,则EF的长为() m B 36 27 27 A.7 B.7 C.4 D.12 【答案】B 【详解】解：AD∥BE∥CF, AB DE ·BCEF .4_9-EF ∴.3EF, EP-27 解得 7, 3、如图，AD∥BE∥CF，直线，与这三条平行线分别交于点A,B,C和，点D,E,F.下列结 AB DE AD BE AB BC BC EF 论：①ACDF;②BECF;③DEEF;④ABDE.其中正确的个数为（） A D ⊙ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：AD∥BE∥CF, AB DE :.AC DF, 故①正确； AD BE 士 BECF,故②错误； AB BC DE EF 故③正确； BC EF ABDE,故④正确， 正确的个数3个， 4、如图，在△ABC所在平面上任意取一点0（与A、BC不重合)，连接OAOB、0C,分别取OA、 OBOC的中点ArBG,再连接A:Br AiCr B,CG,得到△AB,C,则下列说法不正确的是（) 2 A.△ABC与△ABC是位似图形 B.△ABC与是△ABC相似图形 C.△ABC与△AB,C的周长比为2：1D.△ABC与△AB,C的面积比为2：1 【答案】D 【详解】'点ABrC☑分别是0A、OB、OC的中点， 48-版AG-4cac2c. '.△ABC与△ABC1是位似图形，A正确，不符合题意； △ABC与△ABCG1是相似图形，B正确，不符合题意； △ABC与△ABC的周长比为2：1，C正确，不符合题意； △ABC与△ABCG的面积比为4：1，D错误，特合题意； 5、已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6,则下列选项中阴影部分的三角形与原△ABC不相似 的是（) B 4 B 2 A. 78 789 人789 人78 B 【答案】B 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相 似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B 符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不 符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 6、如图，点E在BC上，点F在AE上，CE=CF,增加下列一个条件：①∠B=∠EAC;② —3 AB BE AE BE AC AF;③CFAF.其中能判定△AEB∽△CFA的条件是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：CE=CF, ·.LCFE=∠CEF, .∠AEB=∠CFA ①增加条件∠B=∠EAC,根据两角对应相等能判定△AEB∽△CFA; AB BE ②增加条件ACAF,不能判定△AEB∽△CFA; AE BE ③增加条件CFAF,根据两边对应成比例及其夹角相等，能判定△AEB∽△CFA. 7、如图，AB∥CD,∠A=∠CBD,BC=3,CD=2,则AB的长为() B 9 A.3 B.4 C.4 D.2 【答案】D 【详解】解：·AB∥CD .∠ABC=∠BCD 又.∠A=∠CBD .△ABC∽△BCD AB BC ∴.BCCD .AB= BC2329 CD22, 8、如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2，测得AB=1.6m.BC=12.4m.则 建筑物CD的高是（) 0 E 0 A C A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m 【答案】B 【详解】解：EB∥CD, .△ABE-△ACD, AB BE 1.6 1.2 ∴.ACCD,即1.6+12.4CD, ∴.CD=10.5（米). 9、如图，在口ABCD中，AE:ED=I:2,SEr=2R S.ABC=() ,则1 D E B A.6 B.18 C.20 D.24 【答案】D 【详解】解：ABCD .AD∥BC,AD=BC, .△AEF∽△CBF, -5 AF AE AE CF BC S。AEr:Scr= BC ·AE:ED=1:2, .AE:AD=1:3 .AE:BC=1:3 AF AE1 .CF BC-3.S.AEF:S.CBF=1:9 CF 3 ..AC4,S.CBF =9S.4EF =18 .S.cBr:S。ABc=3:4, .S.ABC =24: 10、如图，在等边△ABC中，AB=7,D为边BC上一，点，BD=2,连接AD,将AD绕，点D顺时针旋 DF 转60得到ED,ED交AC于点F,则EF的值为() B D 3v5 9 A.3 B.2 C.2 D.4 【答案】B 【详解】解：，△ABC是等边三角形， .BC=AB=AC=7,∠ACB=∠ABC=∠BAC=60° BD=2, .CD=BC-BD=5, 由旋转的性质可得AD=ED,∠ADE=60° —6 .△ADE是等边三角形， .AD=AE,∠DAE=60° :.∠BAD=∠CAE=60°-∠CAD ·.△ABD≌△ACE(SAS) .CE=BD=2,∠ACE=∠ABD=60° 如图所示，过，点E作EH//BC交AC于H, D .∠CHE=∠ACB=60°， :.△CEH是等边三角形， .EH=CE=2, ...EH//BC, .△EFH∽△DFC, DF CD 5 ..EF HE 2, 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 DE AE 11、如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，如果BC AC那么 得到 DE∥BC .(填“能”或“不能”) 7 【答案】不能 DE AE 【详解】解：∵BC=AC,不能判断△ADE△ABC, .不能得到DE∥BC, 故答案为：不能， 12、如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC=3m，小明的影子B'C=1.5m,已知小明的身 高AB'=1.7m,则树高AB= B'1.5C 【答案】3.4m x1.7 【详解】解：设树高是×米，则315， 解得：x=3.4m 故答案为：3.4m 13、如图，△ABC中，点D在边AC上，连接BD,∠ABD=∠C,AB=6,AC=8,则AD的长 为」 8 9 【答案】2 【详解】∠ABD=∠C,∠A=∠A, △ABD∽△ACB AB AD .AC AB, AB=6,AC=8, 6 AD .86. 解得： AD=9 0 故答案为：2. 14、如图，矩形OABC中，OA=6,0C=4,已知矩形OA'B'C'与矩形0ABC位似，位似中心为 0 OA'B'C 6 B 矩形 的面积等于，则，点的坐标为 【答案】(3,2)或（-3，-2) 【详解】解：如图 yA 4 B A A OA'B'C OABC 矩形 与矩形 关于点位似， —9 矩形 矩形OABC OA'B'C'∽， '矩形OAB'C'面积等于矩形OABC面积的4， 1 :矩形OAB'C与矩形OABC的相似比为2， :矩形0ABC中，OA=6,0C=4,则，点B的坐标为(6,4) 即(3,2)或(-3，-2) 故答案为：(3,2)或（-3，-2) 15、如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，，点E在边AD上，连接BE交AC于点F,AB=3, AF=2 CF=3 DE ,则 的长为」 B 【答案】3 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠ABC=90° .AB=3,AF=2,CF=3,AC=AF+FC=2+3=5 .'AD=BC=AC2-AB2=4, .·AD∥BC .△AFEACFB AE AF .BC FC :=8CA4x2.8 FC 33 —10 DE-4D-AE-4-8-4 33, 4 故答案为：3. I6、如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交 9于点F,AC=3AB=5CE CB ，则的长为 【答案】2 【详解】过点F作FG⊥AB于点G, E .∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠CDA=90°， ∴.∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， .AF平分∠CAB, ∴.∠CAF=∠FAD, ∴.∠CFA=∠AED=∠CEF, ∴.CE=C℉， :AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°， ∴.FCFG, .∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90° -11 ∴.△BFG∽△BAC, BF FG ∴.ABAC, .AC=3,AB=5,∠ACB=90°， .BC4, 4-FC FG .5 3, ..FC=FG. 4-FC FC .53, 3 解得：FC2, 3 即CE的长为2. 3 故答案为2 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，△ABC与△4BC是位似图形，位似中心为M. :A C B (1)画出，点M的位置； 12 (2)△4，B,C2与△4B,C1是以，点0为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，画出△4，B,C,. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【小问1详解】 解：如图所示，，点M即为所求， A B B 【小问2详解】 解：如图所示， △A,B,C2即为所求 A B C B 18、 如图，四边形ABCD中，AB=4,AD=9,AC平分∠BAD，AC=6,求证： ∠B=∠ACD A D 【答案】见详解 13 【详解】证明：AC平分∠BAD, .∠BAC=∠CAD, :AB=4AD=9,AC=6, AB AC ∴.ACAD, △BAC∽△CAD .∠B=∠ACD 19、如图，四边形ABCD中，点P在边AD上，连接BP,CP,∠A=∠BPC=∠D,求证： AP.DP=AB.CD 【答案】见详解 【详解】证明：：∠BPD=∠BPC+∠CPD=∠A+∠ABP，∠A=∠BPC, .∠ABP=∠DPC, 又∠A=∠D .△ABPADPC, AP AB .CD DP, .AP.DP=AB.CD 20、如图，AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,AB=4,BF=CF=3,CE=12,DE=10,说明 ∠A=∠D 的理由。 -14 【答案】见详解 【详解】：AB⊥BE,DE⊥BE, ∠B=∠E=90°， .·BF=CF=3,CE=12 ∴.BC6,EF=15 AB=4,DE=10, AB BC 2 .DE EF 5, .△ABC∽△DEF .∠A=∠D 21、如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC的中，点，连接AE,过E作EF⊥AE交CD于F ,连接AF,求AF的长 【答案】10 【详解】：∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AEF=90° .∠BAE=∠CEF .∠B=∠C=90° ∴.△ABE∽△ECF ABBE .CE CF 82 .DF=8-2=6 —15— 所以AF=VAD2+DF2=V82+6=10 22、如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M,连接 CM支DB 于点N. D M A B (1)求证：BD=ADCD; (2)若CD=6,AD=8,求MC的长. 【答案】(1)见详解 (2)2V7 【小问1详解】 证明：：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠BDC, .∠ABD=∠BCD=90° .△ABDP△BCD AD BD ∴.BDCD, BD2=AD.CD 【小问2详解】 解：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠BDC, .·BM∥CD .∠MBD=∠BDC,∠MBC=180°-∠DCB=90°=∠ABD ∴.∠ADB=∠MBD,∠MAB+∠ADB=∠MBA+∠MBD=90°， —16 .BM=MD,∠MAB=∠MBA, BM=M0=AM=4D 2×8=4 又BD2=AD.CD=6×8=48,BC2=BD2-CD2=48-36=12, .MC2=MB2+BC2=16+12=28, :.MC=V28=2W7. 23、如图，在口ABCD中，，点E在AD上，点F在边AB上，连接CE,CF,∠DCF=∠BCE D B (1)求证：△DCE∽△BCF; (2)若E为AD的中，点，AB=10,BC=6,求AF的长. 41 【答案】(1)见详解(2)5 小问1详解】 证明：，口ABCD ∠D=∠B ,·∠DCF=∠BCE .∠DCE=∠BCF, .△DCE∽△BCF. 【小问2详解】 解：四边形ABCD是平行四边形， .DC=AB=10,AD=BC=6, 0E=40=)x6=3 2 2 —17 ADCE∽ △BCF, DC DE .BC BF, BF=6x3 9 105, 4F=AB-BF=10-9-41 55. 24、请阅读下面的材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线 分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例， E D D DM 图1 图2 图3 BD AB (1)已知：如图1，在△ABC中，AD是角平分线，求证：DCAC 证明：过C作CE∥DA,交BA的延长线于E.(完成以下证明过程) (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7Cm,求BD的长. ②如图3，在△ABC中，AB=7,AC=I1,,点M是BC的中，点，AD是∠BAC的平分线，FM∥AD ,则FC的长为 【答案】(1)见详解 (2)① BD=35 b9cm；②9 【详解】(1)证明：如图，过，点C作CE∥DA，,交BA的延长线于，点E, —18— E 3 B D CE∥DA, BD BA .CDAE,∠2=∠3，I=∠E, :AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠ACE=∠E! .AE=AC, BDAB :DC AC; (2)解：①：AD是角平分线， AB BD ..AC CD .AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm, 5 BD .47-BD BD=35 解 9 cm; ②解：AD是角平分线， ABBD7 .AC CD 11 CD=liBD 1 —19— BC-CD+BD-11BD+BD-18BD ∴ 7 7 .M是BC中，点， CM-MB-2BD 7 .FM∥AD, 9 CF CM 9 .AC-CD1BD 11, > c7c=g 故答案为：9 -20 第2章 图形的相似（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2、如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 3、如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、如图，在△ABC所在平面上任意取一点O（与A、B、C不重合），连接OA、OB、OC，分别取OA、OB、OC的中点A1、B1、C1，再连接A1B1、A1C1、B1C1得到△A1B1C1，则下列说法不正确的是（　　） A．△ABC与△A1B1C1是位似图形 B．△ABC与是△A1B1C1相似图形 C．△ABC与△A1B1C1的周长比为2：1 D．△ABC与△A1B1C1的面积比为2：1 5、已知在△ABC中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（　　） A. B. C. D. 6、如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7、如图，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　） A. 9.3m B. 10.5m C. 12.4m D. 14m 9、如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 10、如图，在等边△ABC中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图， 已知点D、E分别在△ABC的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 12、如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ． 13、如图，△ABC中，点在边上，连接，，，，则的长为______． 14、如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为______． 15、如图，在矩形中，是对角线，点在边上，连接交于点，，，，则的长为______． 16、如图，在中，，于，平分，交于点，交于点，，，则的长为___________. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，△ABC与是位似图形，位似中心为M． （1）画出点M的位置； （2）与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 18、 如图，四边形中，，，平分，，求证：． 19、如图，四边形中，点P在边上，连接，，，求证：． 20、如图，于，于，，，，，说明的理由. 21、如图，正方形的边长为8，是的中点，连接，过作交于，连接，求的长. 22、如图，，平分，过点B作交于点M，连接交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23、如图，在中，点在上，点在边上，连接，，． （1）求证：△BCF； （2）若为的中点，，，求的长． 24、请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在△ABC中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在△ABC中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $