专练26&专练27 角度计算中的数学思想-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

.'BN=9cm,.QN=QB-BN= ∴.∠COP=∠MOP-∠COM= ∠DOF= 7cm.综上所述：QN的长度为5cm 90°-40°=50°. 2∠BOD,:∠EOF= 或7cm. 专练25余角与补角 ∠COE+∠COD+∠DOF, 专练3线段计算中的数学 典例导练 ∴.∠EOF= ∠A0C+90°+ 思想（二）整体思想 (1)直线AB,CD相交于点O, 典例导练 ∴.∠AOC和∠BOD与∠AOD互 合∠0D=X(∠A0c+∠B0D :M是AB的中点，N是CB的中点， 补，OF平分∠AOE,·∠AOF= .BM-T AB,BN-CB.AC- ∠EOF,OF⊥CD,∴∠COF= +90=2×90+90°=135 ∠DOF=90°，∴.∠DOE=∠AOC, 2.(1)6 m..MN-BM-BN-TAB-BC .∠DOE也是∠AOD的补角，综 (2)∠COD=m°，∠AOB=n°， 上所述，与∠AOD互补的角有 ∴.∠AOC+∠AOD+∠AOB+ 2 ∠AOC,∠BOD,∠DOE. ∠COD+∠COB+∠DOB= 知能检测 (2):∠AOE=120°，.∠BOE= (∠AOC+∠COB)+(∠AOD+ 1.因为AE=12,BD=5,所以所有 180°-∠AOE=60°，由(1)∠DOE ∠DOB)+∠AOB+∠COD= 线段的和为AB+AD+AE+BD =∠AOC=∠BOD,.∠BOD= ∠AOB+∠AOB+∠AOB+ +BE+DE=(AB+BE)+(AD ∠DOE=30°. ∠COD=3∠AOB+∠COD=3n +DE)+AE+BD=AE+AE+ 知能检测 +m°. AE+BD=12+12+12+5=41. (1)∠FOC=90°，.∠FOD= 专练28角度计算（一） 2.:点E、F分别是AC、BD的中90°，∴.∠AOD=90°-32°18′40”= 与邻补角及对顶角有关的计算 点，CE=2AC,DF=号BD, 5741'20”,OE平分∠AOD, 典例导练 .AB=m,CD=n,..AC+BD= ÷∠E0D-号∠A0D=2850'40. ∠AOC=70°，.∠BOD=∠AOC =70°，∠BOE:∠EOD=2:3, m-n.:.CE+DF-(m-), (2).∠AOD=∠BOC,∠FOD= ∠B0E=2X70°=28 90°，.∠AOF的余角有∠AOD、 ,EF=CE+DF+CD,∴.EF= ∠BOC .∠AOE=180°-28°=152°. 1 1 (m-n)+n=2(m+n. 专练26角度计算中的数学 知能检测 1.(1)26(2)40°140° 专练24分步计算求角度 思想（一）分类讨论思想 2.OE平分∠BOD,∴.∠DOE= 典例导练 典例导练 24°或36°或48° ∠EOB,:∠AOD:∠DOE=4:1, 因为∠BOD=90°，∠COD=25°，所 ∴.∠AOD:∠DOB=4:2, 以∠BOC=65°，因为OC平分 知能检测 1.5或55° 又：∠AOD+∠DOB=180°， ∠BOE,所以∠COE=∠BOC= 65°，因为∠COD=25°，所以∠DOE 2.(1)9060100 ∴.∠DOB=60°，∠AOD=120°， ∴.∠COB=∠AOD=120°， =40°，所以∠AOD=180°-∠DOE (2)当射线OE在∠AOB内部时， =180°-40°=140°. ∠BOE=∠AOB-∠AOE=60°-40° ,OF平分∠COB,∴.∠COF=60°， :∠AOC=∠DOB=60°，∴.∠AOF 知能检测 =20°. =∠COF+∠AOC=120°. 1.121°301 专练27角度计算中的数学 2.(1):∠BOC=100°，.∠AOC 思想（二）整体思想 专练29角度计算（二） 典例导练 与垂线有关的计算 180°-100°=80°，.OM平分 典例导练 ∠A0C,∠c0M=号∠A0C ∠MON=∠MOC-∠CON= AOLBC,.∠AOC=90°，：∠DOE 40°，.∠COD=90°，∴.∠MOD= 2（∠BOC-∠AOC)三Z∠AOB =90°，∴.∠AOD=∠COE,由∠BOE 90°-∠COM=50°. 45°. +∠COE=180°，可得5∠COE+ (2):∠BOP与∠AOM互余， 知能检测 ∠COE=180°，∴.∠COE=30°， .∠BOP+∠AOM=90°， 1..∠AOB=180°，∠COD=90°， ∴.∠COD=∠DOE+∠COE=90°+ :∠AOB=180°，∴.∠MOP=180 ∴.∠AOC+∠BOD=90°， 30°=120°，∠AOE=∠A0C-∠COE -90°=90°，，OM平分∠AOC, :OE平分∠AOC,OF平分 =90°-30°=60°. ∠c0M=号∠A0C=40, 知能检测 ∠B0D.·∠COE=号∠A0C. 1.70° 55 2.(1)∠AOC=∠BOD,∠BOD =30°，∠CDG=180°-100°=80°，∴.∠C,.∠BEC=80°，∴.∠BEF+ =28°，.∠AOC=28°，：∠COE ∠CDE=∠CDG+∠GDE=110°. ∠FEC=80°，.180°-∠B+∠C= =2∠AOC,∴.∠COE=2×28°= 专练32平行线（三）综合题 80°，.∠B-∠C=100°. 56°. 典例导练 (3)∠BPD=∠B-∠D,理由：过点 (2)OE⊥AB,理由如下：，OF⊥ (1)∠EAB∠DAC180° P作PE∥CD,.∠D=∠DPE, CD,.∠DOF=90°.：∠BOF= (2)过点E作EF∥AB,∴.∠B+AB∥CD,.AB∥PE,∴.∠B= 60°，∴.∠BOD=30°，∴.∠COE= ∠BEF=18O°，∴∠BEF=180°-∠B,∠BPE,:∠BPD=∠BPE 2∠AOC=2∠BOD=60°， .AB∥CD,.EF∥CD,∴.∠FEC= ∠DPE,∴.∠BPD=∠B-∠D. ∴.∠AOE=∠AOC+∠COE= 《学情监测》参考答案 30°+60°=90°，即OE⊥AB. 学情监测（一） :195>180,.收工前需要中 专练30平行线（一） 1-5 ADCCC 6-10 BCBCC 途加油，195-180=15（升）， 平行线的判定方法 11.312.-513.-1或5 答：应加15升. 典例导练 14.115.74 22.(1)1-3+5-7+9-11+13 ∠1=78°，∠2=102°，∠1+∠2 16.(1)5-2.51 2.5 一4 15+17-19+21-23=-12 =180°，.BD∥CE,.∠C= (2)-4<-2.5<1<2.5<5. (2)-8091-4046 ∠ABD;又∠C=∠D,∴.∠D= 17.(1)原式=-32； (3)原式=10×(1-3)+9× ∠ABD,.AC∥DF. (2)原式=-18； (5-7)+8×(9-11)+7× 知能检测 (3)原式=-9日 (13-15)+…+2×(33-35) 1.过点E作EF∥AB,.∠1= ∠AEF, +37=-2×10-2×9-2×8 18.佳佳的解题过程不正确，计算 -2×7+…-2×2+37=-2 :∠1+∠2=∠AEC,∠AEF+ ∠CEF=∠AEC,∴.∠1+∠2= 如下：50÷（号-+） ×(10+9+8+…+2)+37= ∠AEF+∠CEF,.∠2= 3+1 =50÷（1212+12 4 -2×9X2,+10+37=-108 1=50÷ 2 ∠CEF,.EF∥CD,EF∥AB, +37=-71. .AB∥CD. 1 =50×6=300. 23.(1)2 2.EF⊥BC,DM⊥BC(已知)， 6 (2)①-3 ∠EFC=∠DMC=90°（垂直定 19.由题意，得x=3,y=一3或x 义)，∴EF∥DM(同位角相等，两 =-3,y=1,x+y=0或x十y ②设折痕为点C,则AC=BC 直线平行)，.∠2=∠CDM(两 =-2. =6,.点A表示的数为1一6 直线平行，同位角相等)，∠1= 20.(1)10月2日人数最多；10月 =一5，点B表示的数为1十6 ∠2（已知），∴.∠1=∠CDM(等 6日人数最少；它们相差：0.78 =7. 量代换)，∴.CD∥MN(内错角相 -(-1.6)=2.38(万人). 学情监测（二） 等，两直线平行)，∠3=∠C(已 答：游客最多的人数与最少的1-5 CDCBD6一10 BBCBD 知)，∴AB∥CD(内错角相等，两 人数的差是2.38万人； 11.-x3y-3.x2+2xy2-1 直线平行)，∴.AB∥MN(平行于 (2)1.9×7+0.78+0.18-0.0612.113.1814.0.12a15.7 同一直线的两直线互相平行). -0.1-1.6-1.15=11.35(万16.(1)原式=4x-2y. 专练31平行线（二）角度的计算 人) (2)原式=-2a2+b2. 典例导练 答：来贵州乌江源百里画廊景区17.原式=一2mm2;由(m一3)2+n (1)25°(2)52°(3)65 旅游的游客共有11.35万人. +1=0,解得m=3,n=-1,当 知能检测 21.(1)+15+(-2)+5+(-1) m=3,n=一1时，原式=一6. 1.15° +(-10)+(-3)+(-2)+18.2x2+my-12-(nx2-3y+6) 2.过点D作DG∥AB,过点E作EH 12+4+(-5)+6=19(km), =(2-n)x2+(m+3)y-18, ∥AB,.AB∥MN,∴.AB∥DG∥ 答：检修小组在A地东边，距 由题意，得2-n=0,m十3= EH∥MN,:EF⊥MN,.∠MFE A地19千米； 0,解得n=2,m=-3,m十n十 =90°，∴.∠ACD+∠CDG=180°， (2)(+15+|-2|+5+|-1 mn=2+(-3)+2×(-3)= ∠GDE=∠DEH,∠HEF= +-10|+1-3|+1-2+ -7. ∠MFE=90°，.∠DEF=120°， 12+4+|-5|+6)×3=65× ∠BCD=100°，∴.∠GDE=∠DEH 3=195(升)， 19.2 6>26 专练26角度计算中的数学思想（一）分类讨论思想 【方法规律】关于角度计算问题中，若没给出图形，或给出图形但关键射线的位置没 有给出来，这时往往考虑分类讨论求解. 心典例导练 示范题如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角： ∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两 倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”.若∠AOB=72°，且射线OC是 ∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 【思路点拨】分①∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,②∠AOC=2∠BOC,③∠BOC= 2∠AOC三种情况，再根据角的和差进行计算即可得. 知能检测 1.已知∠AOB=80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC=20°，∠COD=50°，射线OE、 OF分别平分∠BOC、∠COD,则∠EOF的度数是 2.如图1，∠AOB与∠BOC互余，且∠AOB=2∠BOC,若∠AOE=40°，请你补全图形， 并求∠BOE的度数. 图1 图2 图3 以下是娜娜的解答过程： 解：如图2，因为∠AOB与∠BOC互余，所以∠AOB+∠BOC= 又∠A0B=2∠BOC,即∠B0C-2∠AOB,所以∠A0B+2∠AOB=90°， 解得∠AOB= 0 由题意得∠AOE=40°，所以∠BOE=∠AOE+∠AOB= 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况.” 请回答下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整. (2)根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时∠BOE的度 数为 (27 专练27角度计算中的数学思想（二） 整体思想 【方法规律】求角度大小时，若已知条件个数少于未知量的个数，或角的旋转运动问 题中，部分角的大小是不确定的值，往往设参数，运用整体思想求角的大小 )典例导练 示范题如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC 的平分线，当锐角∠AOC=a时，求∠MON的大小， 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠MON=∠MOC一∠NOC (∠B0C-∠A0C)=2∠AOB,依此即可求解. 【自主解答】 知能检测 1.如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC,OD,使∠COD= 90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD,求∠EOF的度数 2.如图，射线OC,OD在∠AOB的内部. (1)图中共有个角.（注：图中所有角均指小于180°的角） (2)若∠COD=m°，∠AOB=n°，求(1)中所有角的度数之和.（结果用含m,n的式子表示）