专练22&专练23 线段计算中的数学思想-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

-子，即-号×（一3），第③行数的 专练09绝对值与最值问题 典例导练 比第①行的数大1，即（一3）+1. (1)7(2)-1 (3)由题意，可知x=(一3)04，y= (3)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 1×(-3)4,2=(-3)024+1, (4)有，最小值为6一3=3. 知能检测 所以x6y+。=3+6×(-） 1.-5≤x≤2 ×32024+32024+1=32021X2-2× 2.(1)42(2)8 -1≤x≤2 32024+1=0+1=1. 专练10整式及其应用（一）》 专练07数轴与点的距离 列代数式 典例导练 典例导练 (1)③ 示范题1B (2)因为AC=5,BC=3,所以AB= 示范题2(1)2 2,因为b=-1,所以a=-1-2= (2)(2x+6) 知能检测 -3. 1.B2.C3.B 知能检测 (1)-3 专练11整式及其应用（二） -1 -4 (2)因为点B为原点，AC=9,AB= 整式的有关概念 2BC,所以点A所对应的数为-6， 典例导练 点C所对应的数为3，所以m=一6 (1)由题意，得2+m+1=6,2n十5 -m=6,解得：m=3,n=2. +3十0=一3. (3)因为原点O到点C的距离为6， (2)原多项式为：-5xy十xy一3x 所以点C所对应的数为士6，因为 一6，将该多项式按x的降幂重新排 OC=AB,所以AB=6,①当点C对 列为：-3x-5x2y十xy2-6. 应的数为6，因为AB=6,AB= 知能检测 2BC,所以BC=3,所以点B所对应 1.(1)由题意，得2a-1=7,b+2=4, 的数为3，点A所对应的数为一3， 解得a=4,b=2,a=4=16. (2)由题意，得a=3,a-3≠0，b 所以m=3一3十6=6； +2=0,.a=-3,b=-2,a2 ②当点C所对应的数为-6，因为AB 3ab+b=(-3)2-3×(-3)× =6,AB=2BC,所以BC=3,所以点B (-2)+(-2)2=-5. 所对应的数为一9，点A所对应的数 2.(1)6m-14n+2 为-15，所以m=-15-9-6=-30. (2)由题意，得6m-1=0,4n+2 综上所述m=6或-30. 专练08数轴与动点问题 =0,.m= 6,n=- 2,.3m+ 典例导练 1 (1).|a=5,|b|=2,∴.a=±5，b 2n= Γ2 =±2，由数轴得，a<0,b<0, 专练12整式及其应用（三） ∴.a=-5,b=-2. 求代数式的值 (2)一2-（一5）=-2+5=3，即A, 典例导练 B两点相距3个单位长度， 示范题112 (3)由题意得，-5-1十2-3+4- 示范题2 ·-2021+2022-2023+2024=-5 由题意，得3p+33g+1=2024,.3p +(-1+2)+(-3+4)+…+ +33q=2023.当x=一3时，代数式 (一2021+2022)+(-2023+2024) px+q.x3+1=(-3)5p+(-3)3q+1 =-5+1012=1007. =-3p-3g+1=-(3p+3q)+1 所以点P表示的数为1007. =-2023+1=-2022. 知能检测 知能检测 2-6π 1.(1)-6(2)3 52 2.(1)原式=-2(x+1)=-2x-2. a+b 当x=-7时，原式=14-2=12. (3)能 (2)∴.m-n=2,.∴.n-m=-2, 知能检测 ∴.2(n-m)-4m+4n-3=2(n-m) 1.375 +4(n-m)-3=6(n-m)-3=6×: 2.(1)由已知得所挡住的式子为： (-2)-3=-15. 3(x-2)-(x2+9x-7)=3x-6 (3)9 -x2-9x十7=一x2-6x十1，即所 专练13整式及其应用（四） 捂的二次三项式是一x2一6x十1. 利用代数式揭示规律 (2)当x= 典例导练 号时。-7-x+1 示范题1A (-号)-6x(-)+1-9 示范题2D 专练16整式的加减（三） 知能检测 绝对值的化简 1.A 典例导练 2.212-192=441-361=80=8× (1)<> 10(2n+1)2-(2n-1)2=8n 专练14整式的加减（一） (2)原式=b-c+2c+2-a-c=b一 a+2. 整式的化简与求值 知能检测 典例导练 1.(1)> 示范题1 (2).a-1,0<b<1,..a+1 原式=5x2-2y-8xy+2y2-5x2= 0,-b+1>0,b-a>0,la+1|- -8a.x+ |+(y-1)2=0, 1-b+1|+|b-a=-1-a (-b+1)+b-a=2b-2a-2. ∴.x=一 8y=1,当x=-y=1 2.(1)5 时，原式=-8×(-吉)×1=1. (2)令x-5=0,x+2=0,解得x =5,x=一2，①当x<-2时，|x 示范题2 -5|+|x+2|=-x+5-x-2 x3+ax2+2x-3-bx-5x2=x3+ =-2x+3;②-2≤x≤5时，|x (a-5)x2+(2一b)x-3,由题意，得 -5|+|x+2|=-x+5+x+2= a-5=0,2-b=0,解得：a=5,b=2, 7;③x>5时，|x-5|+|x+2=x 3(a2-2b+3)-2(a2-3b2+ab -5+x+2=2x-3; -4)=3a2-6b2+9-2a2+6b2- 所以|x-5|+|x+2|= 2ab+8=a2-2ab+17=52-2X5× (-2x+3(x<-2) 2+17=22 {7(-2≤x≤5) 知能检测 (2x-3(x>5) (1)根据题意知，B=2x2一3x一3 专练17整式加减的实际应用 (3x2-x+2)=2x2-3x-3-3x2+ 典例导练 x-2=-x2-2x-5,则A-B= (1)房的地面总面积为：(14一1一4)x (3x2-x+2)-(-x2-2x-5)= +(4+1)(x-2)+4(y+2)+3y= 3x2-x+2+x2+2x+5=4x2+x+7. 9.x+5x-10+4y+8+3y=(14x+ (2)由题意，得x=-1,则原式=47y-2)(m). ×(-1)2-1+7=4-1+7=10. (2)当x=4,y=3时，14x+7y-2 专练15整式的加减（二） =14×4+7×3-2=56+21-2= 与整式有关的说理题 75(m),80×75=6000(元)，即铺地 典例导练 砖的总费用是6000元 (1)35+53=88,88÷11=8 知能检测 (2)10a+ba+10b10a+b+a+ 1.4a-8b 10b=11a+11b,(11a+11b)÷11=2.(1)2[(a+c)+(a-c)]=2(a+c 53 十a-c)=4a(m). (2)2[(a+a+c)+(a+a-c)]= DA=15,NA=Ac=15, = 2(a+a+c+a+a-c)=8a(m). .MN=MA+NA,.MN=30. (3)当a=25,c=10时，长为2a+c 知能检测 二m.宽为2a0m.所以1.：AD=子ACDC- 3AC, 面积=60×40=2400(m2). 专练18整式加减的综合应用 而C是线段AB的中点，∴.AC 1 典例导练 ABDC-号×号AB-吉AB, (1)由题意得：到甲图书店购买的费 用为：0.7×(100×15+8x)=(5.6x CE=DE-DC,CE=号AB +1050)元： 到乙图书店购买的费用为：100×15 子AB=子AB=号×24=8，放 +8(.x-50)-200=(8x+900)元. 线段CE的长为8cm. (2)还需要科学类图书：1500×1.52.：AC:BC=3:2,AC+BC=AB, -2000=250(本)， 则增订国学类图书100本，科学类 AC=是AB,:E为AC的中 图书150本，即x=150. 点∴AE=CE-2AC-是AB, 到甲图书店购买的费用为：5.6× 150+1050=18902000, :点D为AB的中点AD=之AB, 到乙图书店购买的费用为：8×150 +900=2100>2000, .ED=5,ED-AD-AE-7AB 所以这批经费够，应在甲书店采购 专练19正方体的展开图与三视图 -0AB=吉AB,AB=25. 典例导练 专练22线段计算中的数学思 D 想（一）分类讨论思想 知能检测 典例导练 1.A2.B3.1015 :AM=6cm,点M是线段AC的中 专练20线段、射线、直线的计 点，∴.AC=12cm, 数问题 ①当C在线段AB上时，AC=AB 典例导练 BC-号AB,号AB=12AB=15: 15 n(n-1) 2 ②当C在线段AB的延长线上时， 知能检测 AC=AB+BC=号AB.号AB= 1.(1)10(2)55 (3)n+1)(n+2) 12,∴.AB=10. 2 综上，AB=10cm或15cm. 2.该条线路上需要制定的不同的票 知能检测 价的总数为：5=10种， (1)6 (2)分两种情况：当点P在线段AB 如果车票上起点不同为一种票 上时，：PA=2cm,AB=30cm,∴.BP 面，哪么这髓客运线路有×2 =AB-AP=30-2=28cm,.点Q为 =20种不同的车票. BP的中点，QB-2Bp-l4cm, 专练21分步计算求线段的长 .BN=9cm,.'.QN=QB-BN=5cm; 典例导练 当点P在线段BA的延长线上时， :AB20,BC-号AB,DA=含AB, .'PA =2cm,AB=30cm,.'BP= AB+AP=30+2=32cm,.点Q为 ∴.BC=10,DA=30,AC=30,.M 是DA中点，N是AC中点，：MABP的中点，QB=号BP=I6cm, 54 .'BN=9cm,.QN=QB-BN= ∴.∠COP=∠MOP-∠COM= ∠DOF= 7cm.综上所述：QN的长度为5cm 90°-40°=50°. 2∠BOD,:∠EOF= 或7cm. 专练25余角与补角 ∠COE+∠COD+∠DOF, 专练3线段计算中的数学 典例导练 ∴.∠EOF= ∠A0C+90°+ 思想（二）整体思想 (1)直线AB,CD相交于点O, 典例导练 ∴.∠AOC和∠BOD与∠AOD互 合∠0D=X(∠A0c+∠B0D :M是AB的中点，N是CB的中点， 补，OF平分∠AOE,·∠AOF= .BM-T AB,BN-CB.AC- ∠EOF,OF⊥CD,∴∠COF= +90=2×90+90°=135 ∠DOF=90°，∴.∠DOE=∠AOC, 2.(1)6 m..MN-BM-BN-TAB-BC .∠DOE也是∠AOD的补角，综 (2)∠COD=m°，∠AOB=n°， 上所述，与∠AOD互补的角有 ∴.∠AOC+∠AOD+∠AOB+ 2 ∠AOC,∠BOD,∠DOE. ∠COD+∠COB+∠DOB= 知能检测 (2):∠AOE=120°，.∠BOE= (∠AOC+∠COB)+(∠AOD+ 1.因为AE=12,BD=5,所以所有 180°-∠AOE=60°，由(1)∠DOE ∠DOB)+∠AOB+∠COD= 线段的和为AB+AD+AE+BD =∠AOC=∠BOD,.∠BOD= ∠AOB+∠AOB+∠AOB+ +BE+DE=(AB+BE)+(AD ∠DOE=30°. ∠COD=3∠AOB+∠COD=3n +DE)+AE+BD=AE+AE+ 知能检测 +m°. AE+BD=12+12+12+5=41. (1)∠FOC=90°，.∠FOD= 专练28角度计算（一） 2.:点E、F分别是AC、BD的中90°，∴.∠AOD=90°-32°18′40”= 与邻补角及对顶角有关的计算 点，CE=2AC,DF=号BD, 5741'20”,OE平分∠AOD, 典例导练 .AB=m,CD=n,..AC+BD= ÷∠E0D-号∠A0D=2850'40. ∠AOC=70°，.∠BOD=∠AOC =70°，∠BOE:∠EOD=2:3, m-n.:.CE+DF-(m-), (2).∠AOD=∠BOC,∠FOD= ∠B0E=2X70°=28 90°，.∠AOF的余角有∠AOD、 ,EF=CE+DF+CD,∴.EF= ∠BOC .∠AOE=180°-28°=152°. 1 1 (m-n)+n=2(m+n. 专练26角度计算中的数学 知能检测 1.(1)26(2)40°140° 专练24分步计算求角度 思想（一）分类讨论思想 2.OE平分∠BOD,∴.∠DOE= 典例导练 典例导练 24°或36°或48° ∠EOB,:∠AOD:∠DOE=4:1, 因为∠BOD=90°，∠COD=25°，所 ∴.∠AOD:∠DOB=4:2, 以∠BOC=65°，因为OC平分 知能检测 1.5或55° 又：∠AOD+∠DOB=180°， ∠BOE,所以∠COE=∠BOC= 65°，因为∠COD=25°，所以∠DOE 2.(1)9060100 ∴.∠DOB=60°，∠AOD=120°， ∴.∠COB=∠AOD=120°， =40°，所以∠AOD=180°-∠DOE (2)当射线OE在∠AOB内部时， =180°-40°=140°. ∠BOE=∠AOB-∠AOE=60°-40° ,OF平分∠COB,∴.∠COF=60°， :∠AOC=∠DOB=60°，∴.∠AOF 知能检测 =20°. =∠COF+∠AOC=120°. 1.121°301 专练27角度计算中的数学 2.(1):∠BOC=100°，.∠AOC 思想（二）整体思想 专练29角度计算（二） 典例导练 与垂线有关的计算 180°-100°=80°，.OM平分 典例导练 ∠A0C,∠c0M=号∠A0C ∠MON=∠MOC-∠CON= AOLBC,.∠AOC=90°，：∠DOE 40°，.∠COD=90°，∴.∠MOD= 2（∠BOC-∠AOC)三Z∠AOB =90°，∴.∠AOD=∠COE,由∠BOE 90°-∠COM=50°. 45°. +∠COE=180°，可得5∠COE+ (2):∠BOP与∠AOM互余， 知能检测 ∠COE=180°，∴.∠COE=30°， .∠BOP+∠AOM=90°， 1..∠AOB=180°，∠COD=90°， ∴.∠COD=∠DOE+∠COE=90°+ :∠AOB=180°，∴.∠MOP=180 ∴.∠AOC+∠BOD=90°， 30°=120°，∠AOE=∠A0C-∠COE -90°=90°，，OM平分∠AOC, :OE平分∠AOC,OF平分 =90°-30°=60°. ∠c0M=号∠A0C=40, 知能检测 ∠B0D.·∠COE=号∠A0C. 1.70° 55 2.(1)∠AOC=∠BOD,∠BOD =30°，∠CDG=180°-100°=80°，∴.∠C,.∠BEC=80°，∴.∠BEF+ =28°，.∠AOC=28°，：∠COE ∠CDE=∠CDG+∠GDE=110°. ∠FEC=80°，.180°-∠B+∠C= =2∠AOC,∴.∠COE=2×28°= 专练32平行线（三）综合题 80°，.∠B-∠C=100°. 56°. 典例导练 (3)∠BPD=∠B-∠D,理由：过点 (2)OE⊥AB,理由如下：，OF⊥ (1)∠EAB∠DAC180° P作PE∥CD,.∠D=∠DPE, CD,.∠DOF=90°.：∠BOF= (2)过点E作EF∥AB,∴.∠B+AB∥CD,.AB∥PE,∴.∠B= 60°，∴.∠BOD=30°，∴.∠COE= ∠BEF=18O°，∴∠BEF=180°-∠B,∠BPE,:∠BPD=∠BPE 2∠AOC=2∠BOD=60°， .AB∥CD,.EF∥CD,∴.∠FEC= ∠DPE,∴.∠BPD=∠B-∠D. ∴.∠AOE=∠AOC+∠COE= 《学情监测》参考答案 30°+60°=90°，即OE⊥AB. 学情监测（一） :195>180,.收工前需要中 专练30平行线（一） 1-5 ADCCC 6-10 BCBCC 途加油，195-180=15（升）， 平行线的判定方法 11.312.-513.-1或5 答：应加15升. 典例导练 14.115.74 22.(1)1-3+5-7+9-11+13 ∠1=78°，∠2=102°，∠1+∠2 16.(1)5-2.51 2.5 一4 15+17-19+21-23=-12 =180°，.BD∥CE,.∠C= (2)-4<-2.5<1<2.5<5. (2)-8091-4046 ∠ABD;又∠C=∠D,∴.∠D= 17.(1)原式=-32； (3)原式=10×(1-3)+9× ∠ABD,.AC∥DF. (2)原式=-18； (5-7)+8×(9-11)+7× 知能检测 (3)原式=-9日 (13-15)+…+2×(33-35) 1.过点E作EF∥AB,.∠1= ∠AEF, +37=-2×10-2×9-2×8 18.佳佳的解题过程不正确，计算 -2×7+…-2×2+37=-2 :∠1+∠2=∠AEC,∠AEF+ ∠CEF=∠AEC,∴.∠1+∠2= 如下：50÷（号-+） ×(10+9+8+…+2)+37= ∠AEF+∠CEF,.∠2= 3+1 =50÷（1212+12 4 -2×9X2,+10+37=-108 1=50÷ 2 ∠CEF,.EF∥CD,EF∥AB, +37=-71. .AB∥CD. 1 =50×6=300. 23.(1)2 2.EF⊥BC,DM⊥BC(已知)， 6 (2)①-3 ∠EFC=∠DMC=90°（垂直定 19.由题意，得x=3,y=一3或x 义)，∴EF∥DM(同位角相等，两 =-3,y=1,x+y=0或x十y ②设折痕为点C,则AC=BC 直线平行)，.∠2=∠CDM(两 =-2. =6,.点A表示的数为1一6 直线平行，同位角相等)，∠1= 20.(1)10月2日人数最多；10月 =一5，点B表示的数为1十6 ∠2（已知），∴.∠1=∠CDM(等 6日人数最少；它们相差：0.78 =7. 量代换)，∴.CD∥MN(内错角相 -(-1.6)=2.38(万人). 学情监测（二） 等，两直线平行)，∠3=∠C(已 答：游客最多的人数与最少的1-5 CDCBD6一10 BBCBD 知)，∴AB∥CD(内错角相等，两 人数的差是2.38万人； 11.-x3y-3.x2+2xy2-1 直线平行)，∴.AB∥MN(平行于 (2)1.9×7+0.78+0.18-0.0612.113.1814.0.12a15.7 同一直线的两直线互相平行). -0.1-1.6-1.15=11.35(万16.(1)原式=4x-2y. 专练31平行线（二）角度的计算 人) (2)原式=-2a2+b2. 典例导练 答：来贵州乌江源百里画廊景区17.原式=一2mm2;由(m一3)2+n (1)25°(2)52°(3)65 旅游的游客共有11.35万人. +1=0,解得m=3,n=-1,当 知能检测 21.(1)+15+(-2)+5+(-1) m=3,n=一1时，原式=一6. 1.15° +(-10)+(-3)+(-2)+18.2x2+my-12-(nx2-3y+6) 2.过点D作DG∥AB,过点E作EH 12+4+(-5)+6=19(km), =(2-n)x2+(m+3)y-18, ∥AB,.AB∥MN,∴.AB∥DG∥ 答：检修小组在A地东边，距 由题意，得2-n=0,m十3= EH∥MN,:EF⊥MN,.∠MFE A地19千米； 0,解得n=2,m=-3,m十n十 =90°，∴.∠ACD+∠CDG=180°， (2)(+15+|-2|+5+|-1 mn=2+(-3)+2×(-3)= ∠GDE=∠DEH,∠HEF= +-10|+1-3|+1-2+ -7. ∠MFE=90°，.∠DEF=120°， 12+4+|-5|+6)×3=65× ∠BCD=100°，∴.∠GDE=∠DEH 3=195(升)， 19.2 6>22 专练22线段计算中的数学思想（一）分类讨论思想 【方法规律】几何问题中没给出图形，或给出图形但已知点的位置没给出来，这时往 往考虑分类讨论求解 典例导练 示范题 已知点A,B,C在一条直线上，点M是线段AC的中点，BC=号AB,AM= 6cm,求AB的长， 【思路点拨】根据中点定义求得AC,分两种情况：点C在线段AB上；点C在线段 AB的延长线上.分别列出方程便可求得结果. 【自主解答】 心知能检测 如图，已知点C在线段AB上，AB=30cm,AC=12cm,点M,N分别是AB,BC的中点. A CM N B (1)MN的长为 cm. (2)若点P在直线AB上，且PA=2cm,点Q为BP的中点，求QN的长. C M N B 23 专练23 线段计算中的数学思想（二） 整体思想 【方法规律】在求线段长度时，若已知条件个数少于未知量的个数，或动，点运动问题 中，部分线段的长是不确定的量，往往设参数，运用整体法求线段长. )典例导练 示范题如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AC =m,求MN的长度. MC N B 【思路点拨】根据线段中点的定义和线段的和差以及整体代入思想，即可得到结论 【自主解答】 知能检测 1.如图，B,D两点均为线段AE上的动点，若AE=12,BD=5,求图中所有线段的和. B D E 2.如图，点E、F是线段AB上的两点，点E、F分别是AC、BD的中点，若AB=m,CD= n,请用含m,n的式子表示线段EF的长. AEC DF B