专练19 正方体的展开图与三视图&专练20 线段、射线、直线的计数问题&专练21 分步计算求线段的长-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

19 专练19 正方体的展开图与三视图 【方法规律】正方体的展开图有11种，其中同颜色的是正方体中相对的面. 141型有6种 231型有3种 于-凸日2型有1 333型有1种 ③典例导练 示范题 如图所示，正方体的展开图为 A 【思路点拨】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可. 之知能检测 1.如图，是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母，现沿箭头所指方向将盒子剪开， 则展开后的图形是 2.把如图所示的正方体展开，得到的平面展开图可以是 A B D 3.如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭成这个 几何体最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体. 从正面看 从上面看 20 专练20 线段、射线、直线的计数问题 【方法规律】①1十2+3十…十n= 2n(n十1)；②线段AB之间有n个点，则一共可组 成不同线段的条教为1十2+3十…十(n+1D=号(m十1)n十2) ②典创导练 示范题 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 直线条数 2 3 4 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点.(n为正整数) 【思路点拨】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交，点是1十2十3十…十(n一1)， 可得答案. 之知能检测 1.如图1线段AB,即图中共有1条线段，1=12，如图2线段AB上有1个点C则图中 共有3条线段，3=1+2=23，如图3线段AB上有2个点C,D.则图中共有6条线 段，6=1+2+3=3×4 21 思考问题： B图1 (1)如果线段AB上有3个点，则图中共有 条线段； B图2 (2)如果线段AB上有9个点，则图中共有 条线段； A C D (3)如果线段AB上有n个点，则图中共有 B图3 条线段（用含n的代数式来表示）. 2.如图，公共汽车往返于A、B两地之间，中途有3个停靠点（共5个站点），若相邻各站 之间距离互不相等，则需要多少种车票？有多少种票价？ 21 专练21分步计算求线段的长 【方法规律】根据图形的特征，不需要列方程，运用线段的和、差、倍、分关系，逐步求 出有关线段长. )典例导练 示范题 如图，已知线段AB=20,BC=2AB,DA=AB,M是DA中点，N是AC 中点.求MN的长. D M A N B C 【思路点拨】由题意，可得BC、DA、AC的长，从而求出MA、NA的长，因为MN MA+NA,可得MN的长. 【自主解答】 知能检测 1,如图，AB=24cm,C是线段AB的中点，D,E分别是线段AC.CB上的点，AD=了AC, DE=子AB,求线段CE的长. 2.如图，点C、D是线段AB上两点，AC:BC=3:2,点D为AB的中点，点E为AC的中 点，ED=5,求线段AB的长 DC B-子，即-号×（一3），第③行数的 专练09绝对值与最值问题 典例导练 比第①行的数大1，即（一3）+1. (1)7(2)-1 (3)由题意，可知x=(一3)04，y= (3)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 1×(-3)4,2=(-3)024+1, (4)有，最小值为6一3=3. 知能检测 所以x6y+。=3+6×(-） 1.-5≤x≤2 ×32024+32024+1=32021X2-2× 2.(1)42(2)8 -1≤x≤2 32024+1=0+1=1. 专练10整式及其应用（一）》 专练07数轴与点的距离 列代数式 典例导练 典例导练 (1)③ 示范题1B (2)因为AC=5,BC=3,所以AB= 示范题2(1)2 2,因为b=-1,所以a=-1-2= (2)(2x+6) 知能检测 -3. 1.B2.C3.B 知能检测 (1)-3 专练11整式及其应用（二） -1 -4 (2)因为点B为原点，AC=9,AB= 整式的有关概念 2BC,所以点A所对应的数为-6， 典例导练 点C所对应的数为3，所以m=一6 (1)由题意，得2+m+1=6,2n十5 -m=6,解得：m=3,n=2. +3十0=一3. (3)因为原点O到点C的距离为6， (2)原多项式为：-5xy十xy一3x 所以点C所对应的数为士6，因为 一6，将该多项式按x的降幂重新排 OC=AB,所以AB=6,①当点C对 列为：-3x-5x2y十xy2-6. 应的数为6，因为AB=6,AB= 知能检测 2BC,所以BC=3,所以点B所对应 1.(1)由题意，得2a-1=7,b+2=4, 的数为3，点A所对应的数为一3， 解得a=4,b=2,a=4=16. (2)由题意，得a=3,a-3≠0，b 所以m=3一3十6=6； +2=0,.a=-3,b=-2,a2 ②当点C所对应的数为-6，因为AB 3ab+b=(-3)2-3×(-3)× =6,AB=2BC,所以BC=3,所以点B (-2)+(-2)2=-5. 所对应的数为一9，点A所对应的数 2.(1)6m-14n+2 为-15，所以m=-15-9-6=-30. (2)由题意，得6m-1=0,4n+2 综上所述m=6或-30. 专练08数轴与动点问题 =0,.m= 6,n=- 2,.3m+ 典例导练 1 (1).|a=5,|b|=2,∴.a=±5，b 2n= Γ2 =±2，由数轴得，a<0,b<0, 专练12整式及其应用（三） ∴.a=-5,b=-2. 求代数式的值 (2)一2-（一5）=-2+5=3，即A, 典例导练 B两点相距3个单位长度， 示范题112 (3)由题意得，-5-1十2-3+4- 示范题2 ·-2021+2022-2023+2024=-5 由题意，得3p+33g+1=2024,.3p +(-1+2)+(-3+4)+…+ +33q=2023.当x=一3时，代数式 (一2021+2022)+(-2023+2024) px+q.x3+1=(-3)5p+(-3)3q+1 =-5+1012=1007. =-3p-3g+1=-(3p+3q)+1 所以点P表示的数为1007. =-2023+1=-2022. 知能检测 知能检测 2-6π 1.(1)-6(2)3 52 2.(1)原式=-2(x+1)=-2x-2. a+b 当x=-7时，原式=14-2=12. (3)能 (2)∴.m-n=2,.∴.n-m=-2, 知能检测 ∴.2(n-m)-4m+4n-3=2(n-m) 1.375 +4(n-m)-3=6(n-m)-3=6×: 2.(1)由已知得所挡住的式子为： (-2)-3=-15. 3(x-2)-(x2+9x-7)=3x-6 (3)9 -x2-9x十7=一x2-6x十1，即所 专练13整式及其应用（四） 捂的二次三项式是一x2一6x十1. 利用代数式揭示规律 (2)当x= 典例导练 号时。-7-x+1 示范题1A (-号)-6x(-)+1-9 示范题2D 专练16整式的加减（三） 知能检测 绝对值的化简 1.A 典例导练 2.212-192=441-361=80=8× (1)<> 10(2n+1)2-(2n-1)2=8n 专练14整式的加减（一） (2)原式=b-c+2c+2-a-c=b一 a+2. 整式的化简与求值 知能检测 典例导练 1.(1)> 示范题1 (2).a-1,0<b<1,..a+1 原式=5x2-2y-8xy+2y2-5x2= 0,-b+1>0,b-a>0,la+1|- -8a.x+ |+(y-1)2=0, 1-b+1|+|b-a=-1-a (-b+1)+b-a=2b-2a-2. ∴.x=一 8y=1,当x=-y=1 2.(1)5 时，原式=-8×(-吉)×1=1. (2)令x-5=0,x+2=0,解得x =5,x=一2，①当x<-2时，|x 示范题2 -5|+|x+2|=-x+5-x-2 x3+ax2+2x-3-bx-5x2=x3+ =-2x+3;②-2≤x≤5时，|x (a-5)x2+(2一b)x-3,由题意，得 -5|+|x+2|=-x+5+x+2= a-5=0,2-b=0,解得：a=5,b=2, 7;③x>5时，|x-5|+|x+2=x 3(a2-2b+3)-2(a2-3b2+ab -5+x+2=2x-3; -4)=3a2-6b2+9-2a2+6b2- 所以|x-5|+|x+2|= 2ab+8=a2-2ab+17=52-2X5× (-2x+3(x<-2) 2+17=22 {7(-2≤x≤5) 知能检测 (2x-3(x>5) (1)根据题意知，B=2x2一3x一3 专练17整式加减的实际应用 (3x2-x+2)=2x2-3x-3-3x2+ 典例导练 x-2=-x2-2x-5,则A-B= (1)房的地面总面积为：(14一1一4)x (3x2-x+2)-(-x2-2x-5)= +(4+1)(x-2)+4(y+2)+3y= 3x2-x+2+x2+2x+5=4x2+x+7. 9.x+5x-10+4y+8+3y=(14x+ (2)由题意，得x=-1,则原式=47y-2)(m). ×(-1)2-1+7=4-1+7=10. (2)当x=4,y=3时，14x+7y-2 专练15整式的加减（二） =14×4+7×3-2=56+21-2= 与整式有关的说理题 75(m),80×75=6000(元)，即铺地 典例导练 砖的总费用是6000元 (1)35+53=88,88÷11=8 知能检测 (2)10a+ba+10b10a+b+a+ 1.4a-8b 10b=11a+11b,(11a+11b)÷11=2.(1)2[(a+c)+(a-c)]=2(a+c 53 十a-c)=4a(m). (2)2[(a+a+c)+(a+a-c)]= DA=15,NA=Ac=15, = 2(a+a+c+a+a-c)=8a(m). .MN=MA+NA,.MN=30. (3)当a=25,c=10时，长为2a+c 知能检测 二m.宽为2a0m.所以1.：AD=子ACDC- 3AC, 面积=60×40=2400(m2). 专练18整式加减的综合应用 而C是线段AB的中点，∴.AC 1 典例导练 ABDC-号×号AB-吉AB, (1)由题意得：到甲图书店购买的费 用为：0.7×(100×15+8x)=(5.6x CE=DE-DC,CE=号AB +1050)元： 到乙图书店购买的费用为：100×15 子AB=子AB=号×24=8，放 +8(.x-50)-200=(8x+900)元. 线段CE的长为8cm. (2)还需要科学类图书：1500×1.52.：AC:BC=3:2,AC+BC=AB, -2000=250(本)， 则增订国学类图书100本，科学类 AC=是AB,:E为AC的中 图书150本，即x=150. 点∴AE=CE-2AC-是AB, 到甲图书店购买的费用为：5.6× 150+1050=18902000, :点D为AB的中点AD=之AB, 到乙图书店购买的费用为：8×150 +900=2100>2000, .ED=5,ED-AD-AE-7AB 所以这批经费够，应在甲书店采购 专练19正方体的展开图与三视图 -0AB=吉AB,AB=25. 典例导练 专练22线段计算中的数学思 D 想（一）分类讨论思想 知能检测 典例导练 1.A2.B3.1015 :AM=6cm,点M是线段AC的中 专练20线段、射线、直线的计 点，∴.AC=12cm, 数问题 ①当C在线段AB上时，AC=AB 典例导练 BC-号AB,号AB=12AB=15: 15 n(n-1) 2 ②当C在线段AB的延长线上时， 知能检测 AC=AB+BC=号AB.号AB= 1.(1)10(2)55 (3)n+1)(n+2) 12,∴.AB=10. 2 综上，AB=10cm或15cm. 2.该条线路上需要制定的不同的票 知能检测 价的总数为：5=10种， (1)6 (2)分两种情况：当点P在线段AB 如果车票上起点不同为一种票 上时，：PA=2cm,AB=30cm,∴.BP 面，哪么这髓客运线路有×2 =AB-AP=30-2=28cm,.点Q为 =20种不同的车票. BP的中点，QB-2Bp-l4cm, 专练21分步计算求线段的长 .BN=9cm,.'.QN=QB-BN=5cm; 典例导练 当点P在线段BA的延长线上时， :AB20,BC-号AB,DA=含AB, .'PA =2cm,AB=30cm,.'BP= AB+AP=30+2=32cm,.点Q为 ∴.BC=10,DA=30,AC=30,.M 是DA中点，N是AC中点，：MABP的中点，QB=号BP=I6cm, 54