第4章 基本平面图形（专题专练）-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

19 第四章 基本平面图形 专练19线段、射线、直线的计数问题 【方法规律】①1十2+3+…十n= 2n(n十1)：②线段AB之间有n个点，则一共可组 成不同线段的条教为1+2+3十…+(n十1)=2(n十1)(n十2)。 ⑦典例导练 示范题 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系： 图形 直线条数 2 3 4 最多交点个数 1 3=1+2 6=1+2+3 按此规律，6条直线相交，最多有 个交点；n条直线相交，最多有 个交点.(n为正整数) 【思路点拨】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交，点是1+2十3十…十(n一1)， 可得答案. 之知能检测 1.如图1线段AB.即图中共有1条线段，1=12：如图2线段AB上有1个点C,则图中 共有3条线段，3=1+2=2X3 2； 如图3线段AB上有2个点CD,则图中共有6条线段，6=1十2十3=3X4 思考问题： A B图1 (1)如果线段AB上有3个点，则图中共有 条线段； C (2)如果线段AB上有9个点，则图中共有 条线段； B图2 (3)如果线段AB上有n个点，则图中共有 C B图3 条线段（用含n的代数式来表示）. 2.如图，公共汽车往返于A、B两地之间，中途有3个停靠点（共5个站点），若相邻各站 之间距离互不相等，则需要多少种车票？有多少种票价？ 20 专练20分步计算求线段的长 【方法规律】根据图形的特征，不需要列方程，运用线段的和、差、倍、分关系，逐步求 出有关线段长. )典例导练 示范题 如图，已知线段AB=20,BC=2AB,DA=AB,M是DA中点，N是AC 中点.求MN的长. D M A N B C 【思路点拨】由题意，可得BC、DA、AC的长，从而求出MA、NA的长，因为MN MA+NA,可得MN的长. 【自主解答】 知能检测 1,如图，AB=24cm,C是线段AB的中点，D,E分别是线段AC.CB上的点，AD=了AC, DE=号AB,求线段CE的长. AD 2.如图，点C、D是线段AB上两点，AC:BC=3:2,点D为AB的中点，点E为AC的中 点，ED=5,求线段AB的长 E DC B 21 专练21线段计算中的数学思想（一）分类讨论思想 【方法规律】几何问题中没给出图形，或给出图形但已知点的位置没给出来，这时往 往考虑分类讨论求解 典例导练 示范题 已知点A,B,C在一条直线上，点M是线段AC的中点，BC=号AB,AM= 6cm,求AB的长， 【思路点拨】根据中点定义求得AC,分两种情况：点C在线段AB上；点C在线段 AB的延长线上.分别列出方程便可求得结果. 【自主解答】 之知能检测 如图，已知点C在线段AB上，AB=30cm,AC=12cm,点M,N分别是AB,BC的中点. A CM N B (1)MN的长为 cm. (2)若点P在直线AB上，且PA=2cm,点Q为BP的中点，求QN的长. 22 专练22 线段计算中的数学思想（二） 整体思想 【方法规律】在求线段长度时，若已知条件个数少于未知量的个数，或动，点运动问题 中，部分线段的长是不确定的量，往往设参数，运用整体法求线段长. )典例导练 示范题如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AC =m,求MN的长度. A M C N B 【思路点拨】根据线段中点的定义和线段的和差以及整体代入思想，即可得到结论 【自主解答】 知能检测 1.如图，B,D两点均为线段AE上的动点，若AE=12,BD=5,求图中所有线段的和. B D E 2.如图，点E、F是线段AB上的两点，点E、F分别是AC、BD的中点，若AB=m,CD= n,请用含m,n的式子表示线段EF的长. AEC DF B 23 专练23 分步计算求角度 【方法规律】根据图形的特征，不需要列方程，运用角的和、差、倍、分关系，逐步求出 有关角的度数 )典例导练 示范题已知点O是直线AE上一点，∠BOD=90°，OC平分 ∠BOE,∠COD=25°，求∠AOD的度数. 【思路点拨】根据已知条件求出∠BOC,再根据OC平分∠BOE,可得出∠COE的度 数，进而求出∠DOE的度数，再根据∠AOD=180°一∠DOE,即可得出答案， 【自主解答】 之知能检测 1.如图，O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE,OA 平分∠COE,射线OD在∠BOE的内部，∠BOD=36°，则∠DOF= (用度、分、秒表示). 2.如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC=100°，∠COD=90°，OM平分∠AOC (1)求∠MOD的度数. (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数. 24 专练24角度计算中的数学思想（一）分类讨论思想 【方法规律】关于角度计算问题中，若没给出图形，或给出图形但关键射线的位置没 有给出来，这时往往考虑分类讨论求解. 典例导练 示范题如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角： ∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两 倍，则称射线OC是∠AOB的“平衡线”.若∠AOB=72°，且射线OC是 ∠AOB的“平衡线”，则∠AOC的度数为 【思路点拨】分①∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,②∠AOC=2∠BOC,③∠BOC= 2∠AOC三种情况，再根据角的和差进行计算即可得. 知能检测 1.已知∠AOB=80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC=20°，∠COD=50°，射线OE、 OF分别平分∠BOC、∠COD,则∠EOF的度数是 2.如图1，∠AOB与∠BOC互余，且∠AOB=2∠BOC,若∠AOE=40°，请你补全图形， 并求∠BOE的度数. 图1 图2 图3 以下是娜娜的解答过程： 解：如图2，因为∠AOB与∠BOC互余，所以∠AOB+∠BOC= 又∠A0B=2∠BOC,即∠B0C-2∠AOB,所以∠A0B+2∠AOB=90°， 解得∠AOB= 0 由题意得∠AOE=40°，所以∠BOE=∠AOE+∠AOB= 静静说：“我认为娜娜考虑的不完整，应该还有一种情况.” 请回答下面两个问题： (1)请你将娜娜的解答过程补充完整. (2)根据静静的想法，请你在图3中补画出另一种情况，并直接写出此时∠BOE的度 数为 (25 专练25角度计算中的数学思想（二） 整体思想 【方法规律】求角度大小时，若已知条件个数少于未知量的个数，或角的旋转运动问 题中，部分角的大小是不确定的值，往往设参数，运用整体思想求角的大小 )典例导练 示范题如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC 的平分线，当锐角∠AOC=a时，求∠MON的大小. 【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠MON=∠MOC一∠NOC= (∠B0C-∠A0C)=2∠AOB,依此即可求解. 【自主解答】 知能检测 1.如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC,OD,使∠COD= 90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD,求∠EOF的度数、 2.如图，射线OC,OD在∠AOB的内部 (1)图中共有个角.（注：图中所有角均指小于180°的角） (2)若∠COD=m°，∠AOB=n°，求(1)中所有角的度数之和.（结果用含m,n的式子表示）知能检测 知能检测 (1)根据题意知，B=2x2一3x-3- 1.4a-8b (3x2-x+2)=2x2-3x-3-3x2+2.(1)2[(a+c)+(a-c)]=2(a+c x-2=-x2-2x-5,则A-B= +a-c)=4a(m). (3x2-x+2)-（-x2-2x-5)= (2)2[(a+a+c)+(a+a-c)]= 3x2-x+2+x2+2x+5=4x2+x 2(a+a+c+a+a-c)=8a(m). +7 (3)当a=25,c=10时，长为2a十 (2)由题意，得x=一1，则原式=4 c=60(m),宽为2a-c=40(m), ×(-1)2-1+7=4-1+7=10. 所以面积=60×40=2400(m2). 专练14整式的加减（二） 专练17 整式加减的综合应用 与整式有关的说理题 典例导练 典例导练 (1)由题意得：到甲图书店购买的费 (1)35+53=88,88÷11=8 用为：0.7×(100×15+8x)=(5.6x (2)10a+ba+10b10a+b+a+ 十1050)元；到乙图书店购买的费用 10b=11a+11b,(11a+11b)÷11= 为：100×15+8(x-50)-200=(8x a+b +900)元. (3)能 (2)还需要科学类图书：1500×1.5 知能检测 一2000=250（本），则增订国学类图 1.375 书100本，科学类图书150本，即x 2.(1)由已知得所挡住的式子为： =150.到甲图书店购买的费用为： 3(x-2)-(x2+9x-7)=3x-6 5.6×150+1050=1890<2000,到 -x2一9x+7=一x2一6.x+1,即 乙图书店购买的费用为：8×150十 所捂的二次三项式是一x2一6x 900=2100>2000,所以这批经费 够，应在甲书店采购. +1. 专练18 利用代数式揭示规律 (2)当x= 号时，-6+1 典例导练 示范题1 A =-（- 2 6×（- 2 ）+1示范题2 D 3 3 知能检测 = 41 1.A 9 2.212-192=441-361=80=8×10 专练15整式的加减（三） (2m+1)2-(2n-1)2=8m 绝对值的化简 第四章基本平面图形 典例导练 专练19线段、射线、直线的计数问题 (1)< 典例导练 (2)原式=b-c+2c+2-a-c=b n(n-1) a+2. 15 2 知能检测 知能检测 1.(1)> 1. (1)10 (2)55 (2):a<-1,0b<1,∴.a+1< 0,-b+1>0,b-a>0, (3)n+1)(n+2) 2 a+1|-|-b+1|+|b-a|= 2.该条线路上需要制定的不同的票 1-a-(-b+1)+b-a=2b-2a -2. 价的总数为：X-10种 2.(1)5 如果车票上起点不同为一种票 (2)令x一5=0，x十2=0，解得x =5,x=-2,①当x<-2时，|x 面，那么这趟客运线路有45×2 2 -5|+|x+2|=-x+5-x-2 =20种不同的车票 =一2x十3；②一2≤x5时，x 专练20分步计算求线段的长 -5|+|x+2|=-x+5+x+2 典例导练 =7;③x>5时，|x-5|+|x+2 x-5+x+2=2x-3; AB-20,BC-AB,DA-AB, 所以x一5+|x+21 .BC=10,DA=30,AC=30, f-2x十3(x<-2) ,M是DA中点，N是AC中点， =7(-2≤x≤5) 2x-3(x>5) ∴MA=号DA=15,NA=7AC=15, 专练16整式加减的实际应用 .MN=MA+NA,.'.MN=30. 典例导练 知能检测 (1)房的地面总面积为：(14一1一4) x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+3 1.AD=子AC,DC=号AC, =9x+5x-10+4y+8+3y=(14x 而C是线段AB的中点，.AC +7y-2)(m). (2)当x=4,y=3时，14x+7y-2 2AB,DC=号XAB- =14×4+7×3-2=56+21-2= 75(m2),80×75=6000(元)，即铺地 吉AB, 砖的总费用是6000元. 64 又CE=DE-DC,六CE三号AB BE+(AD+DE)+AE+BD= AE+AE+AE+BD=12+12+ -号AB=行AB=号×24=8，故2.点E、F分别是AC、BD的中 12+5=41. 线段CE的长为8cm 2..AC:BC=3:2,AC+BC-AB, 点，∴CE=2AC,DF=BD, AC-3AB, AB=m,CD=n,∴.AC+BD= E为AC的中点，∴AE=CE= m-n,∴.CE+DF= 2（m-n), 合AC=8AB, ,EF=CE十DF十CD,.EF= 点D为AB的中点，AD= 合(m-0+a-合(m十. B, 1 专练23 分步计算求角度 典例导练 .'ED=5,..ED-AD-AE= 因为∠BOD=90°，∠COD=25°，所 2AB-8AB=吉ABAB=25 以∠BOC=65°，因为OC平分 ∠BOE,所以∠COE=∠BOC= 专练21 线段计算中的数学思想（一） 65°，因为∠COD=25°，所以∠DOE 分类讨论思想 =40°，所以∠AOD=180°-∠DOE 典例导练 =180°-40°=140° :AM=6cm,点M是线段AC的中 知能检测 点，.AC=12cm, 1.121°30 ①当C在线段AB上时，AC=AB一 2.(1).∠BOC=100°，.∠AOC= BC=号AB号AB=12,AB=15: 180°-100°=80°，.OM平分 1 ②当C在线段AB的延长线上时， ∠AOC,∴.∠COM= 2∠AOC= AC-AB+BC=号AB∴号AB= 40°，∠COD=90°，∴.∠MOD= 90°-∠C0M=50°. 12,.AB=10 (2)∠BOP与∠AOM互余， 综上，AB=10cm或15cm. ∠BOP+∠AOM=90°，. 知能检测 ∠AOB=180°，.∠MOP=180% (1)6 一90°=90°，.OM平分∠AOC, (2)分两种情况：当点P在线段AB 1 上时，如图1： ∠C0M=乞∠A0C=40, AP .'PA=2cm,AB=30cm,.'BP= ∠COP=∠MOP-∠COM=90 AB-AP=30-2=28cm,,点Q为 -40°=50°. BP的中点， 专练24 角度计算中的数学思想（一） 分类讨论思想 .QB BP 14cm,BN= 典例导练 9cm,,',QN=QB-BN=5cm: 24°或36°或48 当P在袋段A的廷长袋上时，知能被 pP032cm. :2.(1)9060100 (2)20° 点Q为BP的中点，QB=2BP 如图，当射线OE在∠AOB内部 =16cm,'.BN=9cm,.QN=QB 时，∠BOE=∠AOB-∠AOE= -BN=7cm. 60°-40°=20° 综上所述：QN的长度为5cm 专练25角度计算中的数学思想（二） 或7cm. 整体思想 专练22线段计算中的数学思想（二） 典例导练 整体思想 ∠MON=∠MOC- ∠CON= 典例导练 ,M是AB的中点，N是CB的中 2(∠BOC-∠AOC)=5∠AOB 点BM=2AB,BN=号CB,: =45° 知能检测 AC=m,∴MN=BM-BN=2AB 1.∠AOB=180°，∠COD=90°， ·∠AOC+∠BOD=90°， -号BC=(AB-BC)= 2AC= 1 .OE平分∠AOC,OF平分 ∠BOD,∠COE=2∠A0C, 2m. 知能检测 ∠DOF=1 ∠BOD,N∠EOF= 1.因为AE=12,BD=5, ∠COE+∠COD+∠DOF, 所以所有线段的和为AB十AD十 AE+BD+BE+DE=(AB+ ·∠E0F=2∠A0C+90+ 65 3∠BOD= 1 X(∠A0C+(5)28 3 ∠BOD)+90°= 1 ×90°+90° 专练29列方程的基本方法（一） 2 部分量之和等于总和 =135° 典例导练 2.(1)6 设每辆A型汽车的售价为x万元， (2).∠COD=m°，∠AOB=n° 则每辆B型汽车的售价为(x十8)万 .∠AOC+∠AOD+ ∠AOB+ 元，依题意，得：x十3(x十8)=96，解 ∠COD+ ∠COB+ ∠DOB 得：x=18,,.x+8=26. (∠AOC+∠COB)+(∠AOD+ 答：每辆A型汽车的售价为18万 ∠DOB)+∠AOB+∠COD= 元，每辆B型汽车的售价为26 ∠AOB+ AOB+ ∠AOB+ 万元 ∠COD=3∠AOB+∠COD=3n° 知能检测 +m. 1.设严重缺水城市有x座，依题意 第五章 一元一次方程 得：(3x+52)+x+2x=664 专练26运用方程的解求字母系数 解得：x=102 典例导练 答：严重缺水城市有102座 示范题1 2.设一个水杯x元，则一个暖瓶(22 设■为a,将x=一3代入原方程得： 一x)元，根据题意得：3x十2(22一 2-[a-(-3)]=-2,a+3=4,a x)=46, =1, 解得：x=2,则22一x=20. .“■”处被墨盖住的数为1. 答：一个暖瓶20元，一个水杯 示范题2 2元. 将x=一1代入方程得：一8一4一k 专练30列方程的基本方法（二） 十9=0，解得：k=一3， 不同的式子表示同一个量 当k=-3时，3k2-15k-95=27+ 典例导练 45-95=-23 (x+8)×54%=40%x+6 知能检测 知能检测 1.C2.C 1.设长木长x尺，则绳子长为(x+ 3.x=3不是方程2ax一5=3x一4a 4.5)尺，根据题意，得.+4.5+1 的解，理由为： 2 把x=2代入得：2a-4=0,解得： =x, a=2,将a=2代入方程2ax -5 解得x=6.5. =3x-4a,得4x-5=3x-8,将 答：木长为6.5尺 x=3代入该方程左边，则左边= 2.设租45座的客车x辆，则60座 7,代入右边，则右边=1，左边≠ 的客车为(x-3)辆，45x十25=60 右边，所以x=3不是方程4x一5 (x-3)-20,解得x=15,45x十 =3x一8的解. 25=45×15+25=700. 专练27 等式的性质及其运用 答：共有700人秋游. 典例导练 专练31一元一次方程的实际 示范题1 应用（一）行程与工程问题 由题意，可得4a一2b十1=6，∴.4a一 典例导练 2b=5,.∴.-8a+4b=-2(4a-2b) 设听到回响的时候，汽车离山谷的 =-2×5=-10. 距离是xm, 示范题2 由题意得2x+6×30=6×340,解 当x=0时，y=3,即c=3,当x= 得x=930 一1时，y=5,即-a-b十c=5,得答：这时汽车离山谷为930m. a十b=一2；当x=1时，y=a十b十 知能检测 c=-2+3=1.答：当x=1时，y的1.280 值是1. 2.(1)设甲、乙两车合作还需要x天 知能检测 运完垃圾，依题意，得： 1.S=(a+b)h 2 十3+=1，解得：x=8 15 2S=(a+b)h,∴h=2S 答：甲、乙两车合作还需要8天运 a+b' 完垃圾 2.根据等式性质1，等式两边都减 (2)设乙车每天的租金为y元，则 去式子3a-2b+1,得5b-5a 甲车每天的租金为(y十100)元， 三 依题意，得：(8+3)(y+100)+8y 根据等式性质2，等式两边都除 =3950, 以5，得b-a=5>0,…b>a. 解得：y=150,.y十100=250. 答：甲车每天的租金为250元，乙 专练28解方程之易错点 车每天的租金为150元. 知能检测 专练32 一元一次方程的实际 (1)一2 (3) 应用（二）调配与配套问题 (2)2. 4 (4)2, 典例导练 设安排x人编织花心，则(30一x)人 66