专题1.6 空间向量与立体几何易错必刷题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“空间向量与立体几何”为核心，通过16个考点专题框架系统构建知识体系，将空间向量概念、运算、坐标表示及立体几何中的线面角、面面角等重难点按“易错必刷”逻辑梳理，用题型归类呈现知识内在联系。 讲义亮点在于“易错必刷”分层练习设计，64题涵盖选择、多选、解答等题型，如异面直线夹角计算（第45题）、线面角正弦值求解（第52题），培养空间观念与运算能力。每个专题聚焦易错点，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

专题1.6 空间向量与立体几何易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 空间向量的有关概念】 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 2．（多选）向量坐标为则下列结论正确的是（ ） A．该向量模为2 B．该向量的相反向量为 C．与该向量平行的单位向量是 D．该向量为零向量 3．空间四个向量两两成等角，则其等角的余弦值是______． 4．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【易错必刷二 空间向量的加减运算】 5．长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 8．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 【易错必刷三 判定空间向量共面】 9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 11．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    12．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【易错必刷四 空间向量的数乘运算】 13．已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 15．化简算式：______． 16．已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2+|; (2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点) 【易错必刷五 空间向量数量积的概念辨析】 17．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 18．（多选）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 19．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为________. 20．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【易错必刷六 空间向量基底概念及辨析】 21．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 22．（多选）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 23．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 24．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【易错必刷七 空间向量的坐标运算】 25．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 26．（多选）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 27．已知点，，若，则点的坐标是______. 28．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【易错必刷八 空间向量模长的坐标表示】 29．在空间直角坐标系Oxyz中，点是点在坐标平面Oxy内的射影，则（   ） A．5 B． C． D． 30．（多选）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．的单位向量是 31．若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 32．已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【易错必刷九 平面法向量的概念及辨析】 33．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 34．（多选）已知为两个不重合的平面，l为上的一条直线，且其方向向量为，若，则平面的法向量可能为（    ） A． B． C． D． 35．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 36．在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【易错必刷十 空间向量平行的坐标表示】 37．与向量共线的向量的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 38．（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ） A． B． C． D． 39．已知向量，若，则___________ 40．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【易错必刷十一 空间向量垂直的坐标表示】 41．已知，，若，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 42．（多选）（多选）已知三条直线的一个方向向量分别为，则下列说法错误的是（   ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．两两互相垂直 43．已知向量，，若，则________． 44．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC; （2）BD1⊥EB1. 【易错必刷十二 异面直线夹角的向量求法】 45．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 46．（多选）正方体中和直线成角的直线有（  ） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 47．在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 48．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 【易错必刷十三 线面角的向量求法】 49．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 50．（多选）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 51．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 52．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【易错必刷十四 面面角的向量求法】 53．已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A． B． C． D． 54．（多选）设两条不同直线的方向向量分别为，两个不同平面的法向量分别为，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若的夹角为，则 55．已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 56．如图，在三棱锥中，两两垂直，    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【易错必刷十五 共面直线夹角的向量求法】 57．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）. A． B． C． D． 58．（多选）给出下列命题，其中不正确的有（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则与为同一线段 D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面 59．平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________. 60．如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 【易错必刷十六 异面直线距离的向量求法】 61．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 62．（多选）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 63．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 64．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 空间向量与立体几何易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 空间向量的有关概念】 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2．（多选）向量坐标为则下列结论正确的是（ ） A．该向量模为2 B．该向量的相反向量为 C．与该向量平行的单位向量是 D．该向量为零向量 【答案】AB 【分析】根据空间向量的相关概念逐一验证即可求解. 【详解】由向量的坐标为，得向量的模为2，故A正确；D错误； 该向量的相反向量为，故B正确； 与该向量平行的单位向量为，故C错误， 故选：AB. 3．空间四个向量两两成等角，则其等角的余弦值是______． 【答案】 【分析】易知正四面体中心为起点，四个顶点为向量的终点，此时空间四个向量两两成等角，再计算余弦值即可. 【详解】以正四面体的中心为向量的起点，四个顶点为向量的终点（如图36），则由正四面体的中心性质知（为正四面体外接球半径），不妨设正四面体边长为1，则， . 故答案为：. 4．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答. （3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）的相反向量是. （3）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 【易错必刷二 空间向量的加减运算】 5．长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法运算化简. 【详解】. 故选：C 6．（多选）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 7．如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 【答案】 【分析】由及及，即可化简求解. 【详解】由， 故答案为：. 8．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，是的中点，用基底表示向量. 【答案】， 【分析】利用空间向量的加法运算及数乘运算求解即可． 【详解】如图，由已知得是三棱柱，所以各侧面均为平行四边形， 因为是的中点， 所以， 因为是的中点， 所以． 【易错必刷三 判定空间向量共面】 9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可. 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以不共面，故A错误， 对于B：，则，则， 不存在，使得所以不共面，故B错误； 对于C：，所以共面，故C正确； 对于D：设， 故不存在，使得， 所以不共面，故D错误. 故选：C. 10．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】ACD 【分析】通过向量数量积定义以及共面向量性质，分别判断各选项. 【详解】对于A，若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，故A正确； 对于B，对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为，不是锐角，故B错误； 对于C，若，，是共面的向量，则存在实数、使得，显然无解，所以，，是不共面的向量，故C正确； 对于D，由，可知系数和为，根据空间向量共面的推论可知，，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 11．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得. 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 12．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】略 【易错必刷四 空间向量的数乘运算】 13．已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 14．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】综合应用平面向量的线性运算即可求得结果. 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD.    15．化简算式：______． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 16．已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2+|; (2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点) 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可． （2）假设存在点E，则+t，再根据⊥b,建立方程可求出t=． 【详解】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. (2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为E. 【易错必刷五 空间向量数量积的概念辨析】 17．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 18．（多选）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 19．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为________. 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 20．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】由图形特征求向量夹角. 【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 【易错必刷六 空间向量基底概念及辨析】 21．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】A选项：若空间向量，， 则，故、、共面，A选项错误； B选项：若空间向量，， 则，故、、共面，B选项错误； C选项：若空间向量，，， 设，即，方程无解， 即不存在实数对使，即、、不共面，可以作为基底，C选项正确； D选项：为零向量，与，不能构成空间的一个基底，D选项错误； 故选：C. 22．（多选）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 23．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【答案】4 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 24．已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 【易错必刷七 空间向量的坐标运算】 25．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 26．（多选）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据共线的单位向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，， 即或. 故选：AC 27．已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，，得，则， 所以点的坐标是. 故答案为： 28．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 【易错必刷八 空间向量模长的坐标表示】 29．在空间直角坐标系Oxyz中，点是点在坐标平面Oxy内的射影，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据射影的定义求出点的坐标，再根据向量模的计算公式计算. 【详解】因为点是点在坐标平面Oxy内的射影，所以点的坐标为， 所以. 故选：A 30．（多选）已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．的单位向量是 【答案】ABC 【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由可得，，故AB正确， ，故C正确， 的单位向量是，故D错误； 故选：ABC 31．若，，则与方向相反的单位向量的坐标为_______． 【答案】 【详解】因为，，所以， 则与方向相反的单位向量为． 32．已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【详解】（1）由题意，，则； （2）由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 【易错必刷九 平面法向量的概念及辨析】 33．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 34．（多选）已知为两个不重合的平面，l为上的一条直线，且其方向向量为，若，则平面的法向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由法向量与平面内的所有向量垂直判断． 【详解】，， ，． 知ABC都有可能，D不可能． 故选：ABC． 35．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 36．在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【答案】 【分析】根据是平面的一个法向量可得，再由向量坐标运算可得答案. 【详解】由题得， 因为是平面的一个法向量，所以，从而， 即， 所以， 整理可得，即为所求. 【易错必刷十 空间向量平行的坐标表示】 37．与向量共线的向量的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共线向量的坐标公式进行判断即可. 【详解】因为，所以选项A向量不与向量共线； 因为，所以选项B向量与向量共线； 因为，所以选项C向量不与向量共线； 因为，所以选项D向量不与向量共线； 故选：B 38．（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由平行平面的法向量共线，可求解. 【详解】设平面的法向量可能为，则由题意可得， 对于选项，，满足题意； 对于选项，设，无解，所以不符合题意； 对于选项，设，无解，所以不符合题意； 对于选项，，满足题意． 故选：AD． 39．已知向量，若，则___________ 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 所以. 故答案为： 40．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【答案】 以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】略 【易错必刷十一 空间向量垂直的坐标表示】 41．已知，，若，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】因为，，， 所以，解得. 42．（多选）（多选）已知三条直线的一个方向向量分别为，则下列说法错误的是（   ） A．，但与不垂直 B．，但与不垂直 C．，但与不垂直 D．两两互相垂直 【答案】BCD 【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可判断. 【详解】， 所以，与不垂直， 只有A正确，BCD错误． 故选：BCD 43．已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 44．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC; （2）BD1⊥EB1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，写出对应点的坐标，求得向量的坐标，利用向量数量积等于零得到向量垂直，进而证得线线垂直； （2）与（1）同理可得. 【详解】证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1). （1）∵=(-1，-1，1)， =(-1，1，0)， ∴=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. ∴，∴BD1⊥AC. （2）∵=(-1，-1，1)，， ∴=(-1)×+(-1)×+1×1=0， ∴，∴BD1⊥EB1. 【易错必刷十二 异面直线夹角的向量求法】 45．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角. 【详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 46．（多选）正方体中和直线成角的直线有（  ） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 【答案】AB 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角即可得解. 【详解】正方体中，令棱长，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 对于A，，而， 因此，即直线与成角，A是； 对于B，，而， 因此，即直线与成角，B是； 对于C，，即，则直线与成角，C不是； 对于D，，即，则直线与成角，D不是. 故选：AB 47．在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 48．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 【易错必刷十三 线面角的向量求法】 49．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 50．（多选）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BD 【分析】对于AB：根据空间向量分析线、面位置关系即可；对于CD：利用空间向量分析线面夹角. 【详解】对于A，若，则直线平面或直线平面，A错； 对于B，若，则直线平面，B对； 对于C，若，可知直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的大小为，C错； 对于D，若，则， 可知直线与平面所成角的正弦值为， 则平则直线与平面所成角的大小为，D对. 故选：BD. 51．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【答案】/ 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 52．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行判定定理和面面平行的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面为正方形， 所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，由所以 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【易错必刷十四 面面角的向量求法】 53．已知平面的法向量，平面的法向量，则平面与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积可判断两平面垂直，从而可得答案. 【详解】因为，所以，故， 所以平面与的夹角为. 故选：D 54．（多选）设两条不同直线的方向向量分别为，两个不同平面的法向量分别为，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若的夹角为，则 【答案】AC 【分析】根据方向向量和法向量的定义，结合线面关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由于，故，A正确， 对于B，，则或者，故B错误， 对于C，若，则，C正确， 对于D, 若的夹角为，则或，故D错误， 故选：AC 55．已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 56．如图，在三棱锥中，两两垂直，    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为.    【易错必刷十五 共面直线夹角的向量求法】 57．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解. 【详解】因为是正方形中心，所以， 为二面角的平面角， 又正方形沿对角线折起成直二面角， 即二面角是直二面角，所以， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 又， 所以. 因为 所以， 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题. 58．（多选）给出下列命题，其中不正确的有（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则与为同一线段 D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面 【答案】ACD 【分析】A. 由判断； B.利用共线向量定理判断； C.由线段与可能平行或重合判断；D.举例判断. 【详解】A. 当时，，但不是钝角，故错误； B. 当时，，所以与一定共线，故正确； C.当时，与共线，线段与可能平行或重合，故错误； D.如图所示：， 设 满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故错误； 故选：ACD 59．平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________. 【答案】 【分析】利用基底表示，结合向量夹角公式求得的余弦值. 【详解】连接，，连，设， 不妨设棱长为1，则，易知平面，E是的中心， 又与相似，∴， ∴，又，有， ∴，， ， ， ，， ∴， . 所以. 故答案为： 60．如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； (2)． 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 【易错必刷十六 异面直线距离的向量求法】 61．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 62．（多选）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 63．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 64．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $