专题1.7 集合与常用逻辑用语 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心知识点，系统梳理13大压轴题型，涵盖元素个数与性质、数集关系、集合运算、新定义及逻辑命题等，构建从基础到综合的学习支架，助力学生逐步掌握知识脉络。 资料以分层例题设计为特色，通过新定义题型培养数学眼光，充要条件证明锻炼逻辑思维，容斥原理应用提升数学语言表达能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

专题1.7 集合与常用逻辑用语52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据集合中元素的个数求参数 题型二、利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型三、常用数集或数集关系应用 题型四、根据集合的包含关系求。参数 题型五、根据两个集合相等求参数 题型六、根据交集结果求集合或参数 题型七、根据并集结果求集合或参数 题型八、根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九、容斥原理的应用 题型十、集合新定义 题型十一、充要条件的证明 题型十二、根据全称命题的真假求参数 题型十三、根据特称(存在性)命题的真假求参数 【经典例题一 根据集合中元素的个数求参数】 1．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 2．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 3．若集合是单元素集（集合的元素个数是1），则实数=______ 【答案】或或. 【分析】时，，集合，满足题意，时，方程有两相等实根，由判别式，能求出实数的值. 【详解】时，，， 方程只有一个解，集合，满足题意， 时，方程有两相等实根，判别式， 即，整理得， 解得或， 所以实数的值为或或， 故答案为：或或. 【点睛】该题考查的是有关根据集合中元素的个数求参数的取值的问题，在解题的过程中，注意对最高次项系数是否为零进行讨论，属于较难题目. 4．设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得到有关于的两个一元二次方程，再根据有四个元素可得到两个二次方程均有两个实数根可求得结果； （2）根据（1）中的不等式可得到只能让有一解，让有两个解，即可得到之间的关系. 【详解】（1）有4个元素，即等价于与分别有两个不同实数根， 因为， 于是要求即可； （2）由于有3个元素，因此仅有一解，可以得到， 设是方程的两个解，于是得到， 可解得， 由于点到直线的距离为3，因此三个点构成的三角形为等边三角形， 所以. 【经典例题二 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设中的最大元素为， 将其余元素分组：，，，…，，共组， 一定不包含. 若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾. 所以中元素不能多于个. 所以当时，中元素个数最多，为个. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律. 6．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得. 【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误； 选项B：由知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由所确定的实数集合为，故B正确； 选项C：， ，当时，；当时，；当时，， 故集合可以化简为，故C正确； 选项D：， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 故中含有4个元素，故D错误， 故选：BC 7．设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 8．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有1个公共元素， 因为有5个元素，则T最少有2组，8个元素， 因为S中的1组元素与T中的2组元素最多有2个公共元素， 则S最少有3组，9个元素，才能使有5个元素， 则中最少有个元素， 且存在，符合， 所以的元素个数最小值为12. 【经典例题三 常用数集或数集关系应用】 9．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：，当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 10．（多选）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】ABD 【分析】根据“.”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即可得出结果． 【详解】对A，对所有的，有，且满足乘法结合律；，使得，有；，有，故A正确. 对B，若，，有，满足加法结合律；当时，满足③；，使，即④成立，故B正确. 对C，因为，且，但，故C错误. 对D，，可设， 则，则G满足加法结合律，即，有；，使得，有； ，，，使得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据题干给出的定义对每个选项是否满足四个条件的要求进行逐项判断，从而得出结果. 11．非空集合，且满足条件“，则”，则集合的所有元素之和的总和为______. 【答案】720. 【分析】欲求中所有元素和的总和，需要知道中的元素和分别是多少；中的元素都可以通过题中已知条件：，则求出． 【详解】解：依题意得为正整数集， ，且 及均为正整数即可 可取的任意正整数， 1和9要么必须同时出现，要么都不出现； 同理：2和8、3和7、4和6依此类推单独考虑，共5组． 那么：只选1组是45，即 依此类推： 选2组是180， 选3组是270， 选4组是180， 选5组是45， 共计． 故答案为：． 12．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或． (3)9 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算； （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． （3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 13．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 14．（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 15．已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 【答案】 【分析】根据的取值范围与的区间关系，通过区间端点对应关系建立方程求解. 【详解】依题意，， ， 又， 而，则，且， 解得. 故答案为：. 16．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【详解】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 【经典例题五 根据两个集合相等求参数】 17．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【答案】B 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【详解】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 18．（多选）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】由题意知，只有一个实数根，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】根据题意，只有一个实数根， 当时，化为，所以. 当时，，则. 若，则的解集为，所以； 若，则的解集为，所以. 故选：ABD. 19．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 20．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【经典例题六 根据交集结果求集合或参数】 21．已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a= A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2 【答案】A 【详解】试题分析集合M表示y﹣3=3（x﹣2）上除去（2，3）的点集，集合N表示恒过（﹣1，0）的直线方程，根据两集合的交集为空集，求出a的值即可． 解：集合M表示y﹣3=3（x﹣2），除去（2，3）的直线上的点集； 集合N中的方程变形得：a（x+1）+2y=0，表示恒过（﹣1，0）的直线方程， ∵M∩N=∅， ∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过（2，3）， 将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=﹣2； 若两直线平行，则有﹣=3，即a=﹣6， 综上，a=﹣6或﹣2． 故选A． 考点：交集及其运算． 22．（多选）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【详解】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 23．设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为__________. 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 24．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，再对进行分类讨论，由此求得的取值范围. （2）先判断出有个元素，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 【经典例题七 根据并集结果求集合或参数】 25．若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案. 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 26．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 27．已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝_____． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【详解】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 28．已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）因为，可知是方程的根， 则，解得． （2）因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． （3）因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 29．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据集合运算的性质，得出，而集合中的元素为方程的根，所以分两种情况讨论集合中的元素分别是和的根，解出的值，进而求出两个方程的所有根，即可确定集合. 【详解】设的根为，，则，； 设的根，，则. 因为，所以，即， 当1是的根，2是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素； 当2是的根，1是的根，即，， 代入方程可解得集合，有4个元素. 故选：B. 30．（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 31．已知全集，是质数，，，，求___________. 【答案】 【分析】首先确定全集，再根据补集、交集的结果确定元素与集合的关系，即可得解. 【详解】因为，是质数， 已知，这表示19和17属于，但不属于. 已知，这表示11和7属于，但不属于. 已知，根据德摩根定律， 即，所以， 这表示5和3既不属于也不属于. 由上述分析可知，19和17不属于，11和7属于，5和3不属于. 那么剩下的元素2、13需要进一步分析. 因为，，， 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 综上，. 故答案为：. 32．设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. (1)判断集合是否为好集合； (2)若，S不是好集合，证明：； (3)若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 【答案】(1)T是好集合；U不是好集合. (2) 假设，，集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得，不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得，矛盾. 如果，则，进而， 此时矛盾，所以. (3) 首先证明，当时，， 集合S的两个子集A与B满足， 且这两个集合都不包含整数a，b，c，使得， 不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a，b，c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则，进而，此时矛盾. 所以，集合S一定是好集合. 当时，令， ， A与B都不包含整数a，b，c（不一定相异）使得，即此时S不是好集合. 所以满足S是好集合，n的最小值为243. 【分析】（1）根据定义代入验证即可； （2）利用反证法假设,，通过论证得到矛盾点即可； （3）首先证明，集合S一定是好集合，再证明时，集合S不是好集合即可. 【详解】（1）T是好集合；U不是好集合. 对，举例，，或，，或，， 均满足条件①②，T是好集合； 对集合U，举例显然满足条件①，不满足条件②，则U不是好集合. （2）略 （3）略 【经典例题九 容斥原理的应用】 33．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即得. 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 34．（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    35．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 36．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？ 【答案】6个 【分析】只解出甲、乙、丙的学生人数分别为，同时解出甲乙、乙丙、甲丙、甲乙丙的人数分别为，由题意①；②；③；④．联立方程组求b即可． 【详解】设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示， 只解出甲、乙、丙的学生人数分别为， 同时解出甲乙、乙丙、甲丙、甲乙丙的人数分别为，如下图示    由于每个同学至少选作一题，故①， 由没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故②， 由解出甲题的人数比余下的人数多1人，故③， 由只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故④， 由②得：⑤， 将⑤代入①有⑥， 将③代入⑥得⑦， 联立③④得，代入⑦得⑧， 2×⑧-⑦得：⑨，又，则，即， 联立⑤⑨得：，则，且，故， 所以共有6个同学只解出乙题． 【经典例题十 集合新定义】 37．若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分.例如：集合、、均为集合的一个2划分.设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有.则对于、有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】通过举特例即可判断①②③，利用反证法即可判断④. 【详解】①可能成立，如， ②可能成立，如， ③可能成立，如， ④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为， 中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 又因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立； 故选：B 38．（多选）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】由题意得出或3，然后分类讨论求得的取值集合，再根据新定义得结论． 【详解】， ，则或3， 时，，满足题意， 时，有两解和，由题意必有， 若，即，时，，时，，均符合题意； 若，即或， 则有两个不等实根，要使得，则，， 所以的取值集合，， 所以或2， 故选：BD． 39．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________. 【答案】 【分析】设，集合M所有子集的容量之和为展开式所有项系数之和减1，令即可求解. 【详解】设， 将其括号打开得 ， 发现上述式子的除以外的每一个系数，刚好是集合M所有非空子集的容量， 故令，则， 而的系数是1，故集合M所有子集的容量之和为， 故答案为：. 40．对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 【经典例题十一 充要条件的证明】 41．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立； ④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立. 【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 42．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 43．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 44．设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数．对的任意非空真子集，定义向量，其中. (1)当时，求； (2)当时，求证：的充要条件是； (3)当时，求所有使的集合． 【答案】(1)； (2) 先证明集合中共有个元素. 因为，设，则每个的值对应个连续的值， 因为中共有个元素，所以共有个不同的取值， 所以，其中奇数有个， 所以集合中共有个元素. 再证明时，的充要条件是， 先证必要性：因为，所以，故； 再证充分性：若，则， 因为，所以中的元素个数为， 因此中存在元素，满足且，所以， 所以，证明完毕. (3)，，，. 【分析】（1）根据新定义，分讨论求解； （2）先证明集合中共有个元素，结合新定义分别证明必要性和充分性； （3）根据题意可得且，且，由此分析得解. 【详解】（1）当时，，， 当时，， 由于且，故， 当时，， 由于且，故， 当时，， 由于，故， 综上所述，. （2）略 （3）当时，，所以，， 因为，所以且，且， 即且，且， 所以所有可能的为，，，，验证均满足题意. 【经典例题十二 根据全称命题的真假求参数】 45．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 46．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可. 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 47．若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 48．（1）已知集合，若命题:“”是命题:“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)； （2）. 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，再分情况讨论集合是否为空集来求解的取值范围； （2）分别求出命题和命题成立时的取值范围，再根据与不同时为真命题来确定的取值范围. 【详解】（1）因为命题是命题的必要不充分条件，所以为的真子集，； 当时，满足为的真子集，此时，解得； 当时，即，解得； 要使，则，解得； 解得； 所以此种情况下； 综上，实数的取值范围是； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 【经典例题十三 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 49．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 50．（多选）若命题“，”是假命题，则可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】转化为命题的否定“，”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意， 知原命题的否定为真命题，所以，， 令， ，解得. 故选：BD. 51．若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 【答案】 【分析】由题意在时有解，故，，进一步即可求解. 【详解】因为命题“，使得”为真命题， 所以在时有解，所以，， 因为，所以，所以，所以， 所以， 故答案为：. 52．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 集合与常用逻辑用语52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据集合中元素的个数求参数 题型二、利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型三、常用数集或数集关系应用 题型四、根据集合的包含关系求。参数 题型五、根据两个集合相等求参数 题型六、根据交集结果求集合或参数 题型七、根据并集结果求集合或参数 题型八、根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九、容斥原理的应用 题型十、集合新定义 题型十一、充要条件的证明 题型十二、根据全称命题的真假求参数 题型十三、根据特称(存在性)命题的真假求参数 【经典例题一 根据集合中元素的个数求参数】 1．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 3．若集合是单元素集（集合的元素个数是1），则实数=______ 4．设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【经典例题二 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 5．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 6．（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 7．设，则集合中的元素个数为______． 8．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【经典例题三 常用数集或数集关系应用】 9．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：，当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 10．（多选）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的、，有； ②、、，有； ③，使得，有，称为单位元； ④，，使，称与互为逆元． 则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．实数集关于数的加法构成群 C．关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 11．非空集合，且满足条件“，则”，则集合的所有元素之和的总和为______. 12．已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求； (3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 13．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 14．（多选）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 15．已知，集合或，若，使得，都有，则__________. 16．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【经典例题五 根据两个集合相等求参数】 17．设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 18．（多选）若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 19．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 20．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题六 根据交集结果求集合或参数】 21．已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a= A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2 22．（多选）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 23．设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为__________. 24．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【经典例题七 根据并集结果求集合或参数】 25．若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝_____． 28．已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 29．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 30．（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 31．已知全集，是质数，，，，求___________. 32．设，，集合.若集合S的任意两个子集A，B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. (1)判断集合是否为好集合； (2)若，S不是好集合，证明：； (3)若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 【经典例题九 容斥原理的应用】 33．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 34．（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 35．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 36．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？ 【经典例题十 集合新定义】 37．若集合，其中、…、为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分.例如：集合、、均为集合的一个2划分.设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有.则对于、有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 38．（多选）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 39．已知集合M，将集合M的所有元素的乘积称为M的容量（若M中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0），若，则集合M所有子集的容量之和为__________. 40．对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【经典例题十一 充要条件的证明】 41．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 42．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 43．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 44．设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数．对的任意非空真子集，定义向量，其中. (1)当时，求； (2)当时，求证：的充要条件是； (3)当时，求所有使的集合． 【经典例题十二 根据全称命题的真假求参数】 45．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 46．（多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 47．若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 48．（1）已知集合，若命题:“”是命题:“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【经典例题十三 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 49．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（多选）若命题“，”是假命题，则可以是（    ） A． B． C．1 D． 51．若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则__________. 52．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $