专题02 整式的加法与减法（10题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 整式的加法与减法（10题型突破·举一反三） 题型01 同类项的辨别与利用概念求值 题型02 合并同类项 题型03 去括号与添括号 题型04 整式的加减运算 题型05 整式的加减化简求值 题型06 整式加减的实际应用 题型07 整体代入求值 题型08 与数轴、绝对值结合的化简 题型09 规律探究题 题型10 整式加减中的无关与错中求解问题 ▌题型01 同类项的辨别与利用概念求值 判断同类项抓"两个相同"：字母相同、相同字母的指数相同；"两个无关"：与系数无关、与字母顺序无关。利用同类项概念求值时，令对应字母的指数分别相等，列方程求解。 【典例1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【典例1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等， 可得 ，，解得 ， ∴ ． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项， A、与所含字母相同，但的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，相同字母的指数都是，的指数都是，符合同类项定义，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与中x的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． ▌题型02 合并同类项 "一找二移三合并"：①找出所有同类项（连同前面的符号）；②利用加法交换律将同类项集中（移项要带符号）；③系数相加，字母和指数不变。建议用不同标记（如划线、圈点）区分不同类同类项，防止漏项。 【典例2-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【典例2-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 【变式2-3】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）化简： 【答案】 【详解】解：． ▌题型03 去括号与添括号 去括号口诀："遇正不变，遇负全变"。括号前有数字因数时，先用分配律将数字因数乘遍括号内每一项，再处理符号。多重括号由内向外（或由外向内）逐层去掉，每去一层及时合并同类项可简化运算。 添括号是去括号的逆运算：括号前添"+"，括进去的各项不变号；括号前添"−"，括进去的各项全变号。常用于整体代入求值。 【典例3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 【变式3-3】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴原式． ▌题型04 整式的加减运算 整式加减的本质就是"去括号 + 合并同类项"。求两个多项式的和（差）时，先将每个多项式用括号括起来再相加减，防止符号错误。结果通常按某个字母的降幂排列。 【典例4-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典例4-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）化简： 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-2】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． ▌题型05 整式的加减化简求值 "先化简，再代入"是基本原则——直接代入往往计算量大且易错。化简后若字母取值为负数或分数，代入时务必加括号。规范步骤：化简 → 写"当…时" → 代入 → 计算。 【典例5-1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【典例5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【详解】解： 当，时， 原式 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，原式的值为 【详解】解： 当，时， 原式 【变式5-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． ▌题型06 整式加减的实际应用 实际应用题关键是"用字母表示数量关系"，再根据题意列整式并化简。常见场景：行程问题、面积周长问题、销售利润问题、数字问题等。注意单位统一和结果的实际意义。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）有三箱橙子，数量相等，每箱至少有8个．从第一箱中取出7个放入第二箱，从第三箱中取出8个放入第二箱，再从第二箱中取出与第一箱剩余橙子数相同的橙子数放入第一箱．求最后第二箱中橙子数量． 【答案】22个 【详解】解：设原来每箱橙子的数量均为个 依题意，最后第二箱中橙子的数量为： （个）． 答：最后第二箱中橙子数量为22个． 【典例6-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 【典例6-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【详解】（1）解：依题意得：原三位数为，新三位数为 故两数和为： ． (2)证明：两数差为： ． 因为、为之间的整数，所以也为整数． 那么是9的整数倍，即这个差能被9整除． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 【答案】32（平方厘米） 【详解】设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米， 则厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 所以厘米， 厘米， 又因为三个阴影长方形的周长相等， 所以， 即， 化简得（厘米）， 则（厘米）， （厘米）， 所以长方形的面积（平方厘米）． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）敦煌莫高窟是世界文化遗产，其壁画修复工程需要精确计算材料用量．某洞窟有一面壁画墙，因年代久远，墙面需分层修复：最内层为核心修复区，面积为m平方米，每平方米修复费用为30元；中间层为加固区，面积比核心修复区多6平方米，需涂两层保护涂料，每平方米每层费用为50元；最外层为覆盖区，面积是中间层面积的3倍，需覆盖透明防护膜，每平方米费用为60元．一位参与修复的学者触景生情，吟咏道：“大漠石窟岁月深，壁画修复需匠心．核心面积定为基，中层加六护其心．外层三倍覆其上，总面积数可厘清．试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？” (1)最外层需要覆盖防护膜的面积为 平方米，需修复的总面积为 平方米．（用含m的式子表示） (2)请解答诗中最后提出的问题：“试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”即时，完成全部修复需多少钱？ 【详解】解：（1）由题知， 中间区域的面积为平方米，最外层的面积为平方米， 则需修复的总面积为：平方米． 故答案为：； （2）当时， 核心区域的面积为15平方米，中间层的面积为21平方米，最外层的面积为63平方米， 所以完成全部修复需要的费用为：（元）． 【变式6-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． ▌题型07 整体代入求值 当已知条件无法（或不易）求出每个字母的具体值时，将某个代数式看作一个整体，通过变形将待求式用这个整体表示，再整体代入。常用技巧：扩倍、取相反数、添括号重组。 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【详解】（1）解： 把代入得：原式． （2）解：把两边同乘以可得： 把和，两边相加， 得：． 【变式7-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：将代入中得， ， ∴， ∴， 当时，． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ ▌题型08 与数轴、绝对值结合的化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，再利用"正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数"去掉绝对值符号，最后合并同类项。核心是"判号→去绝对值→化简"三步。 【典例8-1】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0，______0； (2)求的值． 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ． （2）解：∵， ∴ ． 【典例8-2】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 【典例8-3】（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 【详解】（1）解：数轴上，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）解：当时， 可得：，，， ， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 综上所述，当时，取最小值，最小值为， 故答案为：； （3）解：设运动秒时，点表示的数为， 则，， 点到点、点的距离之和为， ， 当时， 可得：，， ， 解得：； 当时， 可得：，， ， 点到点、点的距离之和不能为； 当时， 可得：，， ， 解得：； 综上所述，当或时，点到点、点的距离之和为． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 【变式8-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，b，c所对应的点到原点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____：表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____； (2)确定符号：_____0，_____0，_____，_____0；（填“>”“<”或“=”） (3)化简：． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式得： 数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间的距离是3，则有： ， 解得，或； 故答案为：3；5；2或； （2）解：由数轴得，，，，， 故可得，，，， 故答案为：； （3）解：因为，，， ∴， 所以， ． 【变式8-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【详解】（1）解：， 或， 或1． 故答案为：5或1． （2）解：表示数轴上到与到8的距离之和， 当在与8之间时，取最小值，最小值为； 表示数轴上到、到2与到的距离之和， 当时，，此时和最小． 故答案为：11；5． （3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图， 设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元， ， 当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（元），取得最小值， 物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元． 【变式8-4】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 【变式8-5】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ 【详解】（1）解：表示x的点与表示的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：若，可知表示x的点与表示的点之间的距离为2， ∴x的值是或1； 故答案为：或1； （3）解：①当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在1的右边时，； 当表示x的数在和1之间时，， 所以最小值为2； ②当表示x的数在左边时，； 当表示x的数在3的右边时，； 当表示x的数在和2之间时，， 当表示x的数在3和2之间时，， 当表示x的数是2时，， 所以最小值为6． ▌题型09 规律探究题 规律探究题通常给出一列单项式或图形，要求写出第n个式子。解题步骤：①标序号；②分别观察系数、字母、指数的变化规律；③用含n的代数式表示；④验证。常见规律：等差（一次式）、等比（乘方）、平方、奇偶交替。 【典例9-1】（25-26七年级上·广西贵港·期中）综合与实践 规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 5 ．．． ．．． 8 5 2 ．．． (1)【初步感知】根据表中信息可知：___________，___________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请对你的猜想进行验证． 【详解】（1）解：，； 故答案为：； （2）解：由数据可知：的值每增加1，值就减少3； （3）的值每增加2时，代数式的值减少10， 证明：当时，； 当时，； ， 当的值每增加2时，代数式的值减少10． 【典例9-2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数学活动课“自然数被3整除的规律”的探究学习结束后，同学们梳理了如下的学习方法： 甲：我学会用“举例——观察——猜想——验证”的方法对“自然数被3整除的规律”进行探究： 先列举一些简单的可以被3整除的数，如12，54，126，345，1200，…，观察这些数的规律，提出一个猜想，然后用一般性的式子去验证这个规律． 乙：我学会从推理的角度进行探究性的学习： 第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？ 比如：两位数，三位数 第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？ 先看两位数的情形： 要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从先凑出能被3整除的数，根据，可知一定要被3整除；类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律． (1)根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果； (2)若自然数能被11整除，求x的值． 【答案】(1) 法一：从甲的角度进行的探究过程： 举例、观察： 能被11整除的数有：11，22，33，44，121，132，143， 猜想：如果一个自然数（个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推）奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除． 验证： 设两位数， 因为能被11整除，所以只需要能被11整除，即或11的倍数，而a和b都是大于等于0且小于10的自然数，故当时即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除． 设三位数， 则只需要能被11整除，即可得可被11整除； 设四位数 ， ， 则只需要能被11整除，即可得可被11整除； 依此类推，超过四位的自然数也可用同样的方法进行证明，…… 由上述的探究过程可以得出结论：如果一个自然数（个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推）奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除． 法二：从乙的角度进行的探究过程： 设两位数 已知能被11整除，要使得能被11整除，则只需要能被11整除，即或11的倍数，而a和b都是大于等于0且小于10的自然数，故此时，即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除； 设三位数 已知能被11整除，要使得能被11整除，则只需要能被11整除，而a，b，c都是大于等于0且小于10的自然数，故此时或11，即三位数的个位数字和百位数字之和与十位数字之差等于0或11时，这个三位数能被11整除； 类似地，设四位数 已知能被11整除，要使得能被11整除，则只需要能被11整除，即四位数的个位数字和百位数字之和减十位数字与千位数字之和的差等于0或或时，这个四位数能被11整除； 依此类推，多位数也用同样的方法探究可以得到“自然数能被11整除的规律是奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除”． （2）解：自然数的奇数位数字之和 自然数的偶数位数字之和 若自然数能被11整除，则根据上述规律可得： 能被11整除 即被11整除， 因为x是大于等于0且小于10的自然数，所以 解得 【典例9-3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则；无论移动到哪，总有，，，则； （2）解：设，则，，， 可得，， 则； (3)解：选择A，的值均为0，理由如下： 设，则，，， ， 则的值均为0； 选择B，的值均为，理由如下： 设，则，，， ， 则的值均为． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知；_______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1． 类似地，的值的变化规律是：______； （3）观察表格，下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④当时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（a，b，m，n为常数且，），若无论x取何值，始终大于，试写出a与m，b与n满足的条件． 【详解】解：（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：；； （2）的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加2； 故答案为：x的值每增加1，的值就增加2； （3）①∵的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1，的值的变化规律是x的值每增加1，的值就增加2，且当时，和的值相同， ∴当时，的值大于的值， ∴当时，，故①正确； ②同理可知当时，，故②正确； ③同理可知，当时，，故③正确； ④同理可知当时，时，故④错误； ∴正确的有①②③ ， 故答案为：①②③； （4）由题意可得：， 整理得， ∵若无论x取何值，的值始终大于的值， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【变式9-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是某月的日历，小乐在其中任意画出一个的方框，框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为___________；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，__________． ， __________． (3)拓展探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究，请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【详解】（1）解： ； ； (2)解：设，则，，． ． (3)解：A．，理由如下： 如图3，设，则，，， ． B．，理由如下： 如图4，设，则，，， ． 【变式9-3】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵， ∴3738能被7整除； （2）若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除； ∵ ， ∵、能被7整除， ∴这个三位数能被7整除； （3）∵自然数能被7整除， ∴能被7整除， ∵x是0到9的整数， ∴当，能被7整除，当，能被7整除， ∴x的值为1或8． 【变式9-4】（25-26七年级上·重庆·期末）【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． 【详解】（1）解：通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，当时第个多边形数为． 故答案为：． （2）根据题目中总结的规律，第个三角形数为， 第个正方形数为． 100以内所有的三角形数有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91． 100以内所有的正方形数有：1，4，9，16，25，36，49，64，81． ∴所有100以内既是三角形数又是正方形数的数为：1和36． 故答案为：1和36． （3） ， 为正整数，1，3，5，15． ，2，0，． ∴满足条件的值的和为． ▌题型10 整式加减中的无关与错中求解问题 题目常设置"某同学将A+B误算成A−B"或"看错系数"等情境。解题思路：利用错误的运算结果和已知的一个多项式，反推另一个多项式（"将错就错"），再代入正确的运算求出正确答案。核心公式：若误将 A+B 算成 A−B = C，则 B = A−C，正确结果 A+B = A+(A−C) = 2A−C。 【典例10-1】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 【典例10-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 【典例10-3】（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 【典例10-4】（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【详解】（1） 解：中心数为，故幻方和为； 由中间列和为，得， ． 故答案为：；． （2） ①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得， ，即． 由一列之和等于一对角线之和得：， ∴． ②解：设幻方和为，由题意得， 前二式相加再减去第三式得，， 上式代入，，得，， 整理得，， 因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则， 则． 即幻方和为. 【变式10-1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【变式10-2】（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【详解】（1）解：∵，的结果为， ∴ ； （2）解： ； （3）解：， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 【变式10-4】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【详解】（1）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成， 即， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； ； 发现规律，经过“伴随运算”所得结果为上面四个结果依次循环出现， 又∵被整除， ∴把数对经过次“伴随运算”变成， ∴即为， ∴，， ∴． （3）解：∵数对经过“伴随运算”所得结果为，，，依次出现，即四个数对一循环， ∵， ∴一个循环内右边所有数的和为，与、的取值无关， 设多个循环的数为， ∴，，， ∴要使右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加， ∵，，，， ∴数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关， ∴的取值为，，， 故答案为：②③④． 【变式10-5】（25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加法与减法（10题型突破·举一反三） 题型01 同类项的辨别与利用概念求值 题型02 合并同类项 题型03 去括号与添括号 题型04 整式的加减运算 题型05 整式的加减化简求值 题型06 整式加减的实际应用 题型07 整体代入求值 题型08 与数轴、绝对值结合的化简 题型09 规律探究题 题型10 整式加减中的无关与错中求解问题 ▌题型01 同类项的辨别与利用概念求值 判断同类项抓"两个相同"：字母相同、相同字母的指数相同；"两个无关"：与系数无关、与字母顺序无关。利用同类项概念求值时，令对应字母的指数分别相等，列方程求解。 【典例1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【典例1-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌题型02 合并同类项 "一找二移三合并"：①找出所有同类项（连同前面的符号）；②利用加法交换律将同类项集中（移项要带符号）；③系数相加，字母和指数不变。建议用不同标记（如划线、圈点）区分不同类同类项，防止漏项。 【典例2-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）化简： ▌题型03 去括号与添括号 去括号口诀："遇正不变，遇负全变"。括号前有数字因数时，先用分配律将数字因数乘遍括号内每一项，再处理符号。多重括号由内向外（或由外向内）逐层去掉，每去一层及时合并同类项可简化运算。 添括号是去括号的逆运算：括号前添"+"，括进去的各项不变号；括号前添"−"，括进去的各项全变号。常用于整体代入求值。 【典例3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 ▌题型04 整式的加减运算 整式加减的本质就是"去括号 + 合并同类项"。求两个多项式的和（差）时，先将每个多项式用括号括起来再相加减，防止符号错误。结果通常按某个字母的降幂排列。 【典例4-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【典例4-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）化简： 【变式4-2】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1) ； (2)． ▌题型05 整式的加减化简求值 "先化简，再代入"是基本原则——直接代入往往计算量大且易错。化简后若字母取值为负数或分数，代入时务必加括号。规范步骤：化简 → 写"当…时" → 代入 → 计算。 【典例5-1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【典例5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． ▌题型06 整式加减的实际应用 实际应用题关键是"用字母表示数量关系"，再根据题意列整式并化简。常见场景：行程问题、面积周长问题、销售利润问题、数字问题等。注意单位统一和结果的实际意义。 【典例6-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）有三箱橙子，数量相等，每箱至少有8个．从第一箱中取出7个放入第二箱，从第三箱中取出8个放入第二箱，再从第二箱中取出与第一箱剩余橙子数相同的橙子数放入第一箱．求最后第二箱中橙子数量． 【典例6-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【典例6-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 【变式6-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）敦煌莫高窟是世界文化遗产，其壁画修复工程需要精确计算材料用量．某洞窟有一面壁画墙，因年代久远，墙面需分层修复：最内层为核心修复区，面积为m平方米，每平方米修复费用为30元；中间层为加固区，面积比核心修复区多6平方米，需涂两层保护涂料，每平方米每层费用为50元；最外层为覆盖区，面积是中间层面积的3倍，需覆盖透明防护膜，每平方米费用为60元．一位参与修复的学者触景生情，吟咏道：“大漠石窟岁月深，壁画修复需匠心．核心面积定为基，中层加六护其心．外层三倍覆其上，总面积数可厘清．试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？” (1)最外层需要覆盖防护膜的面积为 平方米，需修复的总面积为 平方米．（用含m的式子表示） (2)请解答诗中最后提出的问题：“试问匠心巧运处，十五平方米需多少元？”即时，完成全部修复需多少钱？ 【变式6-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ ▌题型07 整体代入求值 当已知条件无法（或不易）求出每个字母的具体值时，将某个代数式看作一个整体，通过变形将待求式用这个整体表示，再整体代入。常用技巧：扩倍、取相反数、添括号重组。 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式7-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要思想，它在整式的加减中应用极为广泛．我们知道， ①； ②． ①、②中就是把和各看成了一个整体进行的化简． 请利用“整体思想”尝试解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简； (2)若时，整式，当时，求整式的值． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． ▌题型08 与数轴、绝对值结合的化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，再利用"正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数"去掉绝对值符号，最后合并同类项。核心是"判号→去绝对值→化简"三步。 【典例8-1】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0，______0； (2)求的值． 【典例8-2】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【典例8-3】（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【变式8-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，b，c所对应的点到原点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____：表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____； (2)确定符号：_____0，_____0，_____，_____0；（填“>”“<”或“=”） (3)化简：． 【变式8-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题： (1)若，则________； (2)的最小值为________； 的最小值为________； (3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费． 【变式8-4】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【变式8-5】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读以下材料：数学活动课上，李老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： (1)的几何意义是表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)观察数轴，若，则的值可以是_____； (3)［拓展延伸]①求的最小值． ②当取不同的值时，代数式的值会随之变化，当的值取多少时，有最小值，最小值是多少？ ▌题型09 规律探究题 规律探究题通常给出一列单项式或图形，要求写出第n个式子。解题步骤：①标序号；②分别观察系数、字母、指数的变化规律；③用含n的代数式表示；④验证。常见规律：等差（一次式）、等比（乘方）、平方、奇偶交替。 【典例9-1】（25-26七年级上·广西贵港·期中）综合与实践 规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 5 ．．． ．．． 8 5 2 ．．． (1)【初步感知】根据表中信息可知：___________，___________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请对你的猜想进行验证． 【典例9-2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数学活动课“自然数被3整除的规律”的探究学习结束后，同学们梳理了如下的学习方法： 甲：我学会用“举例——观察——猜想——验证”的方法对“自然数被3整除的规律”进行探究： 先列举一些简单的可以被3整除的数，如12，54，126，345，1200，…，观察这些数的规律，提出一个猜想，然后用一般性的式子去验证这个规律． 乙：我学会从推理的角度进行探究性的学习： 第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？ 比如：两位数，三位数 第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？ 先看两位数的情形： 要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从先凑出能被3整除的数，根据，可知一定要被3整除；类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律． (1)根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果； (2)若自然数能被11整除，求x的值． 【典例9-3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 0 a … … b 0 2 … … 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知；_______；______； 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少1． 类似地，的值的变化规律是：______； （3）观察表格，下列说法正确的有______（填序号）： ①当时，    ②当时， ③当时，    ④当时， 【应用迁移】 （4）已知代数式与（a，b，m，n为常数且，），若无论x取何值，始终大于，试写出a与m，b与n满足的条件． 【变式9-2】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是某月的日历，小乐在其中任意画出一个的方框，框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为___________；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，__________． ， __________． (3)拓展探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究，请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式9-3】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【变式9-4】（25-26七年级上·重庆·期末）【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3） 按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． ▌题型10 整式加减中的无关与错中求解问题 题目常设置"某同学将A+B误算成A−B"或"看错系数"等情境。解题思路：利用错误的运算结果和已知的一个多项式，反推另一个多项式（"将错就错"），再代入正确的运算求出正确答案。核心公式：若误将 A+B 算成 A−B = C，则 B = A−C，正确结果 A+B = A+(A−C) = 2A−C。 【典例10-1】（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【典例10-2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【典例10-3】（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【典例10-4】（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【变式10-1】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式10-2】（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【变式10-4】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【变式10-5】（25-26七年级上·山东德州·期末）我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $