2.2.1基本不等式 同步练习-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

2.2.1　基本不等式

一、选择题

1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为(　　)

A. B.1 C.2 D.2

2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　)

A.x≥2y B.x>2y

C.x≤2y D.x<2y

3.下列不等式中正确的是(　　)

A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab

C. D.x2+≥2

4.已知a>1，b>1，记M=N=则M与N的大小关系为(　　)

A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定

5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

6.设x>0，则3-3x-的最大值是(　　)

A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2

7.已知任意的正数a，b，c，有成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0<m<3，则m2(3-m)的最大值为(　　)

A.6 B.4 C.5 D.3

8.的最小值为(　　)

A.3 B.4 C.6 D.8

9.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　)

A.∀x>0，x+≥2 B.∃x<0，x+>-2

C.∀x>0 D.∃x<0≤-

10.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　)

A. B.ab≤

C.≥2 D.

二、填空题

11.若x>0，则的最小值是　　　　.

12.若a∈R，则的最小值是　　　　，此时a=　　　　.

13.已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是　　　　.

 

三、解答题

14.已知x>3，求+x的最小值.

 

 

 

 

 

15..(1)已知x<求的最大值；

(2)已知0<b<2，求(2-b)(1+2b)的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

16.已知实数a>b>0，

(1)比较b(a-b)与的大小；

(2)求a2+的最小值及取最小值时a，b的值.

 

 

 

 

参考答案

1.答案　B

解析　因为a，b为正实数，且a+b=2≥2当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1.

2.答案　B

解析　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x-2y+≥2成立的前提条件为x-2y>0，即x>2y.

3.答案　D

解析　若a<0，则a+≥4不成立，故A错；

若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错；

若a=4，b=16，则故C错；

由基本不等式可知D项正确.

4.答案　A

解析　因为a>1，b>1，

所以M=≥2

当且仅当时取等号，

又故M>N.

5.答案　C

解析　x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，

所以x+2+y+1≥2=8，即x+y≥5，

当且仅当x+2=y+1=4，即x=2，y=3时取等号，

则x+y的最小值为5.

6.答案　D

解析　∵x>0，∴3x+≥2=2当且仅当x=时，等号成立，

∴-≤-2

则3-3x-≤3-2

即3-3x-的最大值为3-2.

7.答案　B

解析　根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4，

当且仅当m=6-2m，即m=2时，等号成立，

故m2(3-m)的最大值为4.

8.答案　B