专题16 统计与概率（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦北京中考统计与概率专题，整合2022-2026年5年真题及2026年模拟题，考点覆盖概率计算、样本估计总体、数据分析三大核心模块，题型稳定适配中考命题规律，助力针对性复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|24题/2分|概率（摸球/抛硬币）|一步及两步放回型概率，固定“结果数÷总可能数”逻辑| |填空题|22题/2分|样本估计总体|抽样调查场景，通过样本频率估算总体，结合统计表读取| |解答题|24题/6分|数据分析|折线图/直方图等载体，涉及平均数/方差计算及统计推理，三层设问逻辑|

专题16 统计与概率 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01概率 2026北京卷 2025北京卷 概率题为中考固定基础单选题，单题分值 2 分，属于试卷前中段送分小题；统一以摸球、抛掷硬币为核心载体，分为一步简单概率与两步放回型概率两类，遵循 “统计总等可能结果数→统计符合条件结果数→概率 = 符合条件结果数 ÷ 全部等可能结果数” 单层设问逻辑，综合概率基本公式、树状图 / 列表法两大核心能力。 考点02 样本估计总体 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 样本估计总体为中考稳定基础填空题，单题分值 2 分，属于统计板块送分小题；统一以抽样调查现实场景为载体，给出样本统计表 / 原始样本数据，遵循 “统计样本符合条件个体数→计算样本频率→总体数量 × 样本频率得到估计值” 单层解题逻辑，综合读取统计表格、计算频率、样本估计总体三大核心能力。 考点03 数据分析 2025北京卷 2023北京卷 数据分析题为中考固定统计解答大题，分值 6 分；载体包含折线图、条形统计图、频数直方图、原始数据、统计表格，遵循读取图表数据→计算统计量（平均数、中位数、众数、方差）→结合统计量意义分析推理、举反例三层解题逻辑，综合图表信息读取、四大统计量计算理解、统计推理与反例构造三大核心能力。 考点01 概率 1．D 2．A 3．D 4．A 5．A 考点02 样本估计总体 1．200 2．1500 3．160 4．460 5．120 考点03 数据分析 1． 【答案】(1)2；2 (2) (3)不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为，但平均数为，小于乙8轮得分的平均数． 2． 【答案】(1) (2) (3)乙、丁、甲、丙 3． 【答案】(1)①，；② (2)甲， 4． 【答案】(1)，； (2)甲组 (3)170， 172 5． 【答案】(1) (2)甲 (3)丙 一、单选题 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．C 12．D 13．A 14．C 15．C 16．B 17．C 18．A 19．A 20．D 21．C 22．B 23．A 24．A 二、填空题 1．1800 2．240 3．13000 4．900 5．230 6．1400 7．630 8．480 9．2700 10．1900 11．240 12．800 13．720 14．240 15．0.96 16．960 17．丙 18．240 19．3 20．甲 21．＞ 22．93 三、解答题 1． 【答案】(1)，； (2)②； (3)． 2． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 3． 【答案】(1)①；②； (2)①94；②96，97 4． 【答案】(1)， (2) (3)甲 5． 【答案】(1)12.15 (2) (3)①③ (4)寒假 6． 【答案】(1) (2)乙； 7． 【答案】(1)， (2) (3)乙、甲、丙 8． 【答案】(1)28.5 (2) (3)乙、甲、丁、丙 9． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 10． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，乙 11． 【答案】(1)， (2) (3) 解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 12． 【答案】(1)750 (2) 的图象如下； (3)② (4)5.5 13． 【答案】(1)9，7.5 (2)① (3)，， 14． 【答案】(1)20.5； (2)>； (3)23；140，120 15． 【答案】(1) (2) (3)丙 16． 【答案】(1)； (2)B (3)4 17． 【答案】(1)3 (2)88 (3)<，> (4)多于 18． 【答案】(1) (2) (3)①乙同学，②，平均数、方差 19． 【答案】(1)25，30，31.5 (2)6800 20． 【答案】(1)12 (2) (3)23 (4)乙班、丙班、甲班；25 21． 【答案】(1)频数分布直方图见详解，； (2)； (3)乙； (4)． 22． 【答案】(1)82 (2)A (3)① (4)120 23． 【答案】(1)14；22；； (2)①17；②A． 24． 【答案】(1)； (2)； (3)①③； (4)乙． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 统计与概率 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01概率 2026北京卷 2025北京卷 概率题为中考固定基础单选题，单题分值 2 分，属于试卷前中段送分小题；统一以摸球、抛掷硬币为核心载体，分为一步简单概率与两步放回型概率两类，遵循 “统计总等可能结果数→统计符合条件结果数→概率 = 符合条件结果数 ÷ 全部等可能结果数” 单层设问逻辑，综合概率基本公式、树状图 / 列表法两大核心能力。 考点02 样本估计总体 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 样本估计总体为中考稳定基础填空题，单题分值 2 分，属于统计板块送分小题；统一以抽样调查现实场景为载体，给出样本统计表 / 原始样本数据，遵循 “统计样本符合条件个体数→计算样本频率→总体数量 × 样本频率得到估计值” 单层解题逻辑，综合读取统计表格、计算频率、样本估计总体三大核心能力。 考点03 数据分析 2025北京卷 2023北京卷 数据分析题为中考固定统计解答大题，分值 6 分；载体包含折线图、条形统计图、频数直方图、原始数据、统计表格，遵循读取图表数据→计算统计量（平均数、中位数、众数、方差）→结合统计量意义分析推理、举反例三层解题逻辑，综合图表信息读取、四大统计量计算理解、统计推理与反例构造三大核心能力。 考点01 概率 1．（2026·北京·中考）一个不透明的袋子中仅有个球，其中有个白球、个黄球，其余都是红球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出红球的个数，再用红球个数除以球的总个数，即可得到摸出红球的概率． 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中个白球，个黄球， ∴红球的个数为 ， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 2．（2025·北京·中考）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 3．（2024·北京·中考）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 4．（2023·北京·中考）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】    如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 考点02 样本估计总体 1．（2026·北京·中考）某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下： 每周体育活动时间 学生人数 3 7 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________． 【答案】 【分析】先求出样本中每周体育活动时间小于的学生人数，计算对应频率，再用全校总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由题意，抽取的样本中，每周体育活动时间小于的学生人数为， ∴该校名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数为． 2．（2025·北京·中考）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 3．（2024·北京·中考）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03    49.98    50.00    49.99    50.02 49.99    50.01    49.97    50.00    50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 【答案】160 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：160． 4．（2023·北京·中考）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 【答案】460 【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只）， 故答案为：460． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确． 5．（2022·北京·中考）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 【答案】120 【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解． 【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高， ∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双． 故答案为：120 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键． 考点03 数据分析 1．（2026·北京·中考）若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； (2)记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； (3)如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)2；2 (2) (3)不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为，但平均数为，小于乙8轮得分的平均数． 【分析】（1）根据统计图得出甲、乙的得分，进而求得平均数； （2）利用方差公式即可求解； （3）举例子说明． 【详解】（1）解：甲8轮得分的平均数为：； 乙8轮得分的平均数为：； （2）解： ， ． （3）略 2．（2025·北京·中考）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】(1) (2) (3)乙、丁、甲、丙 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； （2）解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； （3）解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 3．（2024·北京·中考）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】(1)①，；② (2)甲， 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 4．（2023·北京·中考）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n (1)写出表中m，n的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】(1)，； (2)甲组 (3)170， 172 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数， 16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166， ∴中位数， ∴，； （2）解：甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ∵ ∴舞台呈现效果更好的是甲组， 故答案为：甲组； （3）解：168，168，172的平均数为 ∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：170， 172， 且选择170， 172时，平均数会增大， 故答案为：170， 172． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1) (2)甲 (3)丙 【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解． （2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解． （3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：丙的平均数：， 则． （2）， ， ， ∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致， 故答案为：甲． （3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为： 甲：， 乙：， 丙：， ∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高， 因此最优秀的是丙， 故答案为：丙． 【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·北京门头沟·综合练）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 2．（2026·北京东城·一模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵摸出小球后放回再摸， ∴第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球也有4种等可能结果，可得总共有种等可能的结果，其中两次摸出标号相同的结果有，共4种， ∴两次摸出小球标号相同的概率为． 3．（2026·北京朝阳·一模）不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定总球数和红球的个数，代入概率公式即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有个红球个绿球， ∴球的总个数为， ∴可得随机摸出个球是红球的概率为． 4．（2026·北京大兴·一模）某校八年级大课间设置了四项体育活动：篮球投篮、排球垫球、1分钟跳绳、25米往返跑．将四个项目的名称分别写在四张完全相同不透明的卡片正面上，通过抽取卡片的方式确定各班参加的活动项目．现把四张卡片背面朝上，洗匀后，一班从中随机抽取一张后放回并洗匀，二班再随机抽取一张，则一班和二班恰好抽到同一项体育活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率，利用列举法得到所有等可能结果数，再得到满足条件的结果数，代入概率公式求解即可．　 【详解】解：记四个体育活动分别为，，，， ∵一班抽取后放回洗匀，二班再抽取， ∴一班有种等可能的抽取结果，二班也有种等可能的抽取结果， 所有等可能结果总数为 种， 其中一班和二班抽到同一项活动的结果，共种， ∴概率． 5．（2026·北京丰台·一模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键． 画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果， ∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为． 故选：C． 6．（2026·北京顺义·一模）一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出树状图，结合树状图可知共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，作出树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中含红球的结果有4种， ∴从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是 ． 7．（2026·北京石景山·一模）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 8．（2026·北京昌平·一模）京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两人恰好体验同一行当的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中两人恰好体验同一行当的情况有4种， ∴两人恰好体验同一行当的概率是． 9．（2026·北京西城·一模）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．先从袋子中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，那么第一次摸到的球是红球、第二次摸到的球是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种， 第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 10．（2026·北京海淀·一模）不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定所有可能的结果总数，以及符合要求的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有个小球，其中写着数字“”的小球共个， 则随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是． 11．（2026·北京通州·一模）在一个不透明的袋子中装有个红色小球，个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过列举所有等可能结果，再根据概率公式计算目标事件的概率即可. 【详解】解：根据题意，列举所有等可能结果： 所有等可能结果为：(红，红)，(红，绿)，(绿，红)，(绿，绿)，共种， ∵其中两次都摸到红色小球的结果有种， ∴两次都摸到红色小球的概率 . 12．（2026·北京平谷·一模）一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再计算两次摸到不同颜色的球的概率． 【详解】解：由题意，画树状图如下 所有等可能的结果共9种，其中两次摸到不同颜色的球有4种， 即两次摸到不同颜色的球的概率为 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 13．（2026·北京东城·二模）某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出列表，结合列表求解即可． 【详解】解：分别以A、B、C表示“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，根据题意，作出列表，如下所示， 乙甲 A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙都抽到“伯矩鬲”的结果只有1种， ∴所求概率为． 14．（2026·北京朝阳·二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数即可求解。 【详解】解：∵ 掷该正方体一次，共有种等可能的结果，其中朝上一面的数字为的结果有种， ∴ 朝上一面的数字是的概率为 ． 15．（2026·北京顺义·二模）小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：列表如下             小强小明 甲 乙 甲 甲甲 乙甲 乙 甲乙 乙乙 ∵共有种等可能的结果，小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的有2种情况， ∴小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为 16．（2026·北京石景山·二模）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】依题意有：， 解得：n=3． 故选：B． 17．（2026·北京丰台·二模）在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】有放回摸球时，每次摸球的结果互不影响，据此解答即可． 【详解】解：∵袋子中原有个红球个白球，摸球后将球放回摇匀，前四次摸球结果不影响第五次摸球的概率， ∴第五次摸球时，袋子中仍有个球，其中红球有个， ∴第五次摸出红球的概率为． 18．（2026·北京房山·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先后两次抛掷质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共种， 其中满足“一次正面向上、一次反面向上”的结果有种， 即所求概率． 19．（2026·北京大兴·二模）一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出球的总个数，再用蓝球个数除以总个数得到概率即可． 【详解】由题意可得，袋子中球的总个数为（个），其中蓝球的个数为 2， ∴随机摸出一个球，摸出蓝球的概率为． 20．（2026·北京平谷·二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意用列举法，即可求得掷一枚均匀的硬币两次，所有等可能的结果，又由两次均为反面朝上的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵掷一枚均匀的硬币两次，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， 又∵两次均为反面朝上的只有1种情况， ∴两次均为反面朝上的概率是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了用列举法求概率．注意不重不漏的表示出所有等可能的结果是解此题的关键，注意：概率所求情况数与总情况数之比． 21．（2026·北京海淀·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是正面向上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种， 两次都是正面向上的概率为． 故选：C． 22．（2026·北京燕山教育集团·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故选：B． 23．（2026·北京市西城区·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好都是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 白 黄 黄 红 （红，白） （红，黄） （红，黄） 白 （白，红） （白，黄） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好都是黄球的结果有2种， ∴摸出的两个球恰好都是黄球的概率是． 24．（2026·北京密云·一模）《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：设4枚邮票分别为（圆周率）、（勾股定理）、（欧拉公式）、（莫比乌斯带）， 从4枚邮票中随机抽取2枚，所有可能出现的结果有：，，，，，，共种等可能的结果，其中恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的结果只有这种， 抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率. 二、填空题 1．（2026·北京门头沟·综合练）某中学为推行“健康第一”的教育理念，积极组织师生开展综合体育活动．从2000名学生中随机抽取100名学生，获得他们每天的综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下： 时间 人数 4 6 70 20 根据相关规定，中学生每天的综合体育活动时间不低于2小时为“合格”．根据以上数据，估计该中学2000名学生中每天的综合体育活动时间达到“合格”的人数是_______． 【答案】 1800 【分析】先求出抽取的样本中体育活动时间合格的频率，再用总人数乘以该频率，即可估计出总体合格的人数． 【详解】解：由题意得，合格为每天综合体育活动时间不低于小时，对应样本中合格的人数为 ， 样本中合格的频率为 ， 因此，估计该校名学生中合格人数为 ． 2．（2026·北京东城·一模）年月日是第个中国环境日，某中学名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：），从中随机抽取了名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下： 活动时间 人数 根据以上信息，估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数是______． 【答案】 【分析】先计算样本中参加公益活动时间为的频率，再用全校总人数乘以该频率，得到总体的估计人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为，其中参加公益活动时间为的人数为， 则样本中参加公益活动时间为的频率为：， 估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数为：． 3．（2026·北京朝阳·一模）某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：），数据整理如下： 分组 人数 650 157 101 63 29 根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为________． 【答案】13000 【分析】先由表格得出抽取1000名学生样本中单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数，再求出该组数据的频率，最后用该集团校学生总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由表格可得，随机抽取的1000名学生中，单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数为650人， ∴该组数据的频率为， ∴估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过15min的人数为：． 4．（2026·北京大兴·一模）某校为调查学生对传统节日文化的了解情况，随机抽取150名学生针对春节、清明、端午、中秋四大传统节日的习俗、文化内涵等知识进行测评，测评结果按测评成绩分为4个等级，数据整理如下： 等级 待提升 合格 良好 优秀 测评成绩M（单位：分） 学生人数 15 45 66 24 根据以上信息，估计该校1500名学生中，达到良好及以上等级的人数是_______． 【答案】 【分析】先根据抽取的150名学生的数据算出达到良好及以上等级的学生所占的比例，再用这个比例去估计1500名学生中达到良好及以上等级的人数． 【详解】解：从数据中可知，良好等级的人数为66人，优秀等级的人数为24人， 所以达到良好及以上等级的人数为人， 达到良好及以上等级的学生所占比例为， 估计全校1500名学生中，达到良好及以上等级的学生人数为人． 5．（2026·北京丰台·一模）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是_______． 【答案】230 【分析】先求出样本中良好及以上的频率，再乘以九年级女生总人数，即可估计出总体中成绩达到良好及以上的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中成绩达到良好及以上的人数为 ， 样本容量为 ， 因此样本中良好及以上的频率为 ， 所以估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数为：． 6．（2026·北京顺义·一模）某地区七年级共有4000名女生．为了解这些女生的体能情况，从中随机抽取了100名女生，测得她们一分钟仰卧起坐的个数，数据整理如下： 仰卧起坐的个数 人数 6 15 21 23 27 8 根据以上数据，估计该地区七年级4000名女生中一分钟仰卧起坐的个数不低于50个的人数是_____． 【答案】1400 【分析】先计算出样本中一分钟仰卧起坐个数不低于个的频率，再用总人数乘该频率，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意得，样本中一分钟仰卧起坐个数不低于个的人数为， 样本中符合条件的频率为， ∴估计该地区七年级名女生中一分钟仰卧起坐个数不低于个的人数为． 7．（2026·北京石景山·一模）某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 数据 学生人数 3 12 24 21 根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有______名． 【答案】630 【分析】先求出样本中仰卧起坐等级为优秀的频率，再用总人数乘该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本中，优秀等级的学生人数为，样本容量为， 样本中优秀学生的频率为：． 估计名女生中优秀等级的学生人数为：． 8．（2026·北京西城·一模）某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 【答案】 【分析】先求出抽取样本中课外阅读时长不少于小时的频率，再用九年级总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由表格可得，抽取的名学生中，一周课外阅读时长不少于小时的人数为， 该组数据的频率为， 估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数为． 9．（2026·北京海淀·一模）有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 【答案】2700 【分析】根据总人数乘以达到骨骼健康受益标准的学生的百分比即可得解． 【详解】解：该校达到骨骼健康受益标准的学生约有人． 10．（2026·北京通州·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】1900 【分析】先计算抽取样本的总户数和样本的生活垃圾总量，再利用样本估计总体计算该小区的生活垃圾总量； 【详解】解：抽取样本的总户数为（户）， 样本中住户当日生活垃圾总量为， 估计该小区1000个住户当日生活垃圾总量为：． 11．（2026·北京平谷·一模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 12．（2026·北京密云·一模）某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 【答案】 【分析】先计算抽取样本中精品果的频率，再根据用样本估计总体的思想，用总体总个数乘以样本频率，得到这批水果中精品果个数的估计值. 【详解】解：由题意可得，样本中精品果的频率为， 故个水果中，精品果的个数估计为 . 13．（2026·北京市西城区·二模）北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 【答案】 【分析】先求出样本中“非常了解”的居民户数占样本的频率，再用总体总户数乘以该频率，得到总体中“非常了解”户数的估计值． 【详解】解：由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：． 14．（2026·北京燕山教育集团·二模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 15．（2026·北京海淀·二模）质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 【答案】 【分析】由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近，利用频率估计概率，估计这台发球机发球合格的概率为. 【详解】解：由统计图可知，随着发球次数的增加，发球合格的频率越来越接近， 估计这台发球机发球合格的概率为. 16．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 【答案】 【分析】本题考查的是统计知识的综合应用，灵活运用条形统计图与扇形统计图的信息是解题的关键．根据条形统计图与扇形统计图中足球项目的人数与占比，可先求出抽取的学生总数，再算出样本中篮球项目的人数与占比，进而用样本估计总体，求出全校最喜爱篮球运动的学生人数． 【详解】解：由条形图得抽取的学生中，最爱足球运动的学生有人，由扇形图得，抽取的学生中，最爱足球运动的学生占， 抽取的学生总数为人， 抽取的学生中最喜爱篮球运动的学生有人， 则在该校名学生中，最喜爱篮球运动的学生有人． 故答案为;． 17．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 【答案】丙 【分析】先计算三组数据的平均数，再根据方差公式计算三组数据的方差，比较方差大小，根据方差越小数据波动越小发挥越稳定的性质，得到结论． 【详解】解：，，， ∴，，， ∵， ∴丙同学的方差最小，发挥更稳定． 18．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 【答案】240 【分析】先求出抽取的样本中肺活量等级为良好及以上的频率，再用九年级男生总人数乘该频率，即可估计出对应人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为50，样本中肺活量等级达到良好及以上的人数为（人）， ∴样本中良好及以上人数的频率为， 估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数为：（人）． 19．（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 20．（2026·北京顺义·二模）某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数， ， 乙的平均数，， ∵， ∴， ∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐． 21．（2026·北京朝阳·二模）下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【分析】根据方差的计算公式，分别求出一周日最高气温的方差和日最低气温的方差，比较两个方差的大小即可得出结论. 【详解】解：由表格可知，日最高气温为，共个数据. ∴日最高气温的平均数， ∴， 由表格可知，日最低气温为，共个数据. ∴日最低气温的平均数， ∴， ∵， ∴. 22．（2026·北京东城·二模）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 三、解答题 1．（2026·北京门头沟·综合练）随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手的使用体验，随机抽取了名学生对四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．对两款智能助手满意度的评分数据的折线图： ．对款智能助手满意度的评分数据： ．对四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差： 智能助手 平均数 中位数 众数 方差 (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)表中的取值范围是 （填序号）； ①   ②   ③ (3)如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对四款智能助手的满意度按照由高到低排序 ． 【答案】(1)，； (2)②； (3)． 【分析】（1）由图求出对款智能助手满意度的评分数据，根据众数定义即可求解； 由对款智能助手满意度的评分数据，根据中位数定义即可求解； （2）由图求出对款智能助手满意度的评分数据结合表格的平均数，即可求出的取值范围； （3）根据数据结合题意比较即可求解． 【详解】（1）由的折线图可知，对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为，即众数为； 由对款智能助手满意度的评分数据：， 即中位数的值为； （2）由的折线图可知对款智能助手满意度的评分数据：， 排序后为， 由表格可知的平均数为， ∴， ∴的取值范围是②， （3）先比较平均数，的平均数的平均数的平均数的平均数， 若平均数相同，则比较方差，的方差的方差的方差, 若平均数，方差均相同，则比较中位数，的中位数的中位数， 若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，的众数的众数， ∴四款智能助手的满意度按照由高到低排序为． 2．（2026·北京东城·一模）某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 3．（2026·北京朝阳·一模）某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 【答案】(1)①；②； (2)①94；②96，97 【分析】（1）①根据中位数的定义即可得； ②方法一：先求出平均数，再求出方差即可；方法二：根据折线图观察七、八年级的成绩波动的大小关系即可； （2）①根据算术平均数的计算公式即可得； ②先求出的取值范围，再结合为整数求出的值，然后根据排序标准逐个分析即可． 【详解】（1）解：①七年级参赛学生基础知识比赛成绩从小到大排序为， ∴其中位数； ②方法一：七年级基础知识比赛成绩的平均数为， ∴其方差． 方法二：从折线图可看出七年级成绩波动比八年级小，所以七年级成绩的方差更小，即． （2）解：①． ②由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴或或， 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， 此时C会排在F后面，不符合题意，舍去； 当时，学生C成绩的平均数为， ∵， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 当时，学生C成绩的平均数为， 方差为， ∴此时后面三名学生的排序为B，C，F，符合题意； 综上，表中所有可能的值为96，97． 4．（2026·北京大兴·一模）为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，； b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：_______，_____； (2)社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (3)相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表： 甲组叶绿素含量 乙组叶绿素含量 若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 【答案】(1)， (2) (3)甲 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）计算其余13个数据的平均数，与比较大小，即可求解； （3）分别计算甲、乙两组数据的方差，再根据方差越小数据越稳定的原则进行判断． 【详解】（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数． （2）解：． （3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差， 因为， 所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 5．（2026·北京丰台·一模）某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：h）的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．北京及国内其他四个城市的地理经纬度： b．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图： c．喀什二十四节气日白昼时长： 9.5  9.8  10.3  10.9  11.5  12.2  12.8  13.5  14.0  14.5  14.8  15.0 14.8  14.5  14.0  13.4  12.8  12.1  11.5  10.9  10.3  9.8  9.5  9.4 d．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差： 北京 敦煌 喀什 武汉 广州 平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14 中位数 12.10 12.15 12.10 12.10 方差 3.89 3.66 1.84 0.96 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为_________； (2)表中n______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)下列推断正确的是_____（填写序号）； ①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多； ③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显． (4)手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在_______期间（填“寒假”或“暑假”）． 【答案】(1)12.15 (2) (3)①③ (4)寒假 【分析】（1）根据中位数的计算公式进行求解即可； （2）根据折线图判断波动大小，即可得出结果； （3）根据折线图，中位数和平均数的意义，逐一进行判断即可； （4）根据题意得到广州的白昼时长比北京的长，结合广州的纬度比北京的低，即可得出结果． 【详解】（1）解：喀什二十四节气日白昼时长的数据排序后，第12个和第13个数据分别为和， ∴； （2）解：由折线图可知，北京的数据波动比武汉的大，故北京的二十四节气日白昼时长的方差比武汉的大， 故； （3）解：由折线图可知：北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分；故①正确； 平均数受极端值影响较大，中位数只能表示中间水平，故平均数和中位数相同不能说明全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多；故②错误； 由经纬度图和折线图可知，在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显；故③正确； （4）解：由题意，可知，广州的白昼时长比北京的长，结合广州和北京的经度相近，且北京的纬度高于广州，可知北京的白昼时长的季节性变化越明显，故该学生此次旅游在“寒假”期间． 6．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 【答案】(1) (2)乙； 【分析】（1）根据中位数的定义分析即可求解； （2）比较平均数和方差，即可求解． 【详解】（1）解：甲同学的得分从小到大排列为：，，， 则中位数； （2）解：依题意，丙在四位同学中排序第三， 乙、丁的平均成绩较大，排前两位，乙、丁平均数相同，而乙的方差较小，则这四位同学中排序最靠前的是乙； 当丙在四位同学中排序第三，则， ∴ 当时，则甲排第三，不合题意； 当时，则则丙排第三，符合题意 7．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】(1)， (2) (3)乙、甲、丙 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． （2）解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． （3）解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 8．（2026·北京昌平·一模）2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 【答案】(1)28.5 (2) (3)乙、甲、丁、丙 【分析】（1）根据中位数定义计算即可得答案； （2）根据方差的概念和意义即可解答即可； （3）先比较平均数得出丙最高，再比较方差得出乙的波动幅度，最后根据比较月均浓度小于月均浓度平均数的月份的多少得出结论即可． 【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 9．（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 10．（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，乙 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 11．（2026·北京通州·一模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差与稳定性之间的关系，读懂折线统计图是解题的关键． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，即可判断； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【详解】（1）解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴； ， 故答案为：9.1，9.1； （2）解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， ∴， 故答案为：； （3）略 12．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2) 的图象如下； (3)② (4)5.5 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）略 （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学匀速跑步阶段速度为，且在时恰好跑了， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为5.5分． 13．（2026·北京东城·二模）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中________，________； (2)综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． (3)使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 【答案】(1)9，7.5 (2)① (3)，， 【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的定义，即可获得答案； （2）根据中位数和众数的定义，逐一分析判断即可； （3）首先确定第二次调查后，使用者对甲、乙两款软件的评分，然后根据平均数和方差的定义分别计算，，，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：结合信息处理速度得分统计图可知，使用者对甲款软件的评分中，出现次数最多的是9分，共出现5次， ∴使用者对甲款软件评分的众数为9； 将使用者对乙款软件的评分按照从小到大的顺序排列，其中排在第10和11位的是7分和8分， ∴使用者对乙款软件评分的中位数为； （2）解：①由众数的定义可知，乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，该结论正确； ②在甲款软件的信息处理速度得分中，任意删去1个数据后，中位数仍然是7， 在乙款软件的信息处理速度得分中，若删去得分为5分、6分、7分中的1个数据，则剩余数据的中位数为8， 若删去得分为8分、9分、10分中的1个数据，则剩余数据的中位数为7， 所以该结论不正确． （3）解：根据题意，甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分， 则新的得分数据为3，3，4，4，4，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10， 则这组数据的平均数， ， 乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变， 则新的得分数据为8，8，8，9，3，5，5，5，7，6，6，7，7，4，8，6，8，9，8，7， 按照从小到大的顺序排列，为3，4，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9， 则这组数据的平均数， ， ∴，4.84，5.74． 14．（2026·北京朝阳·二模）某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 【答案】(1)20.5； (2)>； (3)23；140，120 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）分别求出p，q，再比较即可； （3）①根据加权平均数的定义求解即可； ②根据样本估计总体的方法结合题意解答即可； 【详解】（1）解：女员工共抽取了25个数据，中位数是排序后第个数据，数出已排序的女员工数据，第13个数据为，因此． （2）解：体重较好的范围是： 男样本共40人：有20人（全部符合），中符合，共人，据此估计， 女样本共25人：符合条件的共9人，据此估计， ∴． （3）解：① 总体平均数：； ② 估计优先关注人数： 总人数1300，前共人， 抽样比例为：男，女， 样本总人数，样本中前共个最大数据， 根据题干可得13个最大数据中，男员工7人，女员工6人， 按抽样比例放大： 男员工：人，女员工：人． 15．（2026·北京顺义·二模）某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由中位数的定义求解即可； （2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较； （3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可． 【详解】（1）解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：， ∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是， ∴； （2）解：由题意得，， ∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为， ∴实操技能成绩超过平均数的人数为， ∴； （3）解：甲同学的加权成绩为（分）， 乙同学的加权成绩为（分）， 丙同学的加权成绩为（分）， 丁同学的加权成绩为（分）， ∵， ∴这四位学生中加权成绩最高的是丙． 16．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 【答案】(1)； (2)B (3)4 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义即可求解； （2）根据方差的定义分析即可； （3）根据B系统的平均数可知A系统和C系统满足条件，进而可知的取值范围，然后即可求解的取值． 【详解】（1）解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， （2）解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； （3）解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 17．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 【答案】(1)3 (2)88 (3)<，> (4)多于 【分析】（1）观察图即可得出结论； （2）分别根据知识竞答和实践成果所占的比例求出个人综合得分，比较得出答案； （3）根据中位数的定义解答，再根据方差的性质解答； （4）先判断得分超过80分的人数，再比较确定人数即可． 【详解】（1）解：观察图可知，七年级知识竞答得分最高的选手为图中最右边的点，其在实践成果得分中处于第三名； （2）解：八年级知识竞答最高得分是90分，实践成果得分是85分，所以其个人综合得分是（分）；八年级实践成果得分最高得分是90分，知识竞答得分是85分，所以其个人综合得分是（分）， 则八年级选手中个人综合得分的最高分是88分； （3）解：七年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，在80和85之间，可知在80和85之间；八年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，一个数是85，另一个超过85，可知大于85，所以；观察七年级和八年级的实践成果得分可知八年级实践成果的成绩比较集中，数据比较稳定，所以； （4）解：观察频数分布直方图可知七年级个人综合得分超过80分有6人，八年级超过80分的有5人，七年级第6名的成绩大约为（分），八年级第5名的成绩大约为（分），所以个人综合得分前十名的选手中七年级的人数多于八年级人数． 18．（2026·北京房山·二模）某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228    238    240    244    250    250    252    253    256    259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 (1)表中的值为________； (2)表中________（填“＞”“”或“＜”）； (3)根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 【答案】(1) (2) (3)①乙同学，②，平均数、方差 【分析】（1）将甲同学的成绩从低到高排列，即可找出中位数； （2）从折线图中读出乙同学的成绩，根据方差的计算公式计算即可； （3）①依据指定的规则比较即可解得；②甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且，根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数列出不等式即可求解；根据数据的变化即可计算出新的平均数、方差、众数，问题随之得解． 【详解】（1）解：甲同学的成绩从低到高排列：228，240，245，247，248，252，254，254，258，264， 则中位数为：； （2）从折线图中读出乙同学的成绩：250，252，242，245，254，256，244，260，255，232， 则方差为： 即， 故答案为； （3）①优秀次数多的是乙同学、丙同学，其中乙同学的中位数高于丙同学， 故这四名同学胜出的是乙同学； ②剔除甲同学的第五次成绩，余下的成绩依次排列为：240，245，247，248，252，254，254，258，264， 甲同学要想胜出，首先至少满足有6次成绩达到优秀，即设第五次的成绩至少为x，且， 根据甲同学的中位数大于乙同学的中位数，即有：， 解得：， 则能够取的最小整数为：， 即甲的第次测试成绩至少应该达到； 甲同学的成绩由228，240，245，247，248，252，254，254，258，264变为：240，245，247，248，251，252，254，254，258，264， 通过计算可知甲同学新数据的平均数为：251.3，方差为：，众数不变依旧为254， 甲同学的10次测试成绩的统计量会发生变化的有平均数、方差． 19．（2026·北京大兴·二模）五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 【答案】(1)25，30，31.5 (2)6800 【分析】（1）利用扇形统计图的数据可求得A组所占百分比，再通过北检票口20名游客中C组占8个求得该组所占百分比，进而求得B组所占百分比，即m的值，观察南检票口20名游客等候时间数据出现次数最多的即为众数，求得n的值，再通过计算求出北检票口20名游客等候时间中第10、11名游客等候时间之和的平均数即为中位数，求得p的值； （2）利用样本估计总体，分别求出北检票口超过30分钟的游客所占频率和南检票口超过30分钟的游客所占频率，再用各自的总数分别乘以对应的频率再相加即可得出结果． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，北检票口A组的圆心角度数为， ∴所占百分比为：， ∵北检票口20名游客等候时间在C组内的数据共有8个， ∴所占百分比为：， ∴B组所占百分比为：，即， 在南检票口20名游客等候时间数据中，出现次数最多的为30，共出现3次， ∴， 在北检票口的20名游客等候时间数据中，中位数为第10、11名游客等候时间数据之和的平均数， 而第10、11名游客等候时间为31、32， ∴． （2）解：由题可知，在南检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客有8名， ∴频率为， 在北检票口20名游客等候时间数据中，超过30分钟的游客占比为， ∴（人）， ∴估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有6800人． 20．（2026·北京平谷·二模）平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 【答案】(1)12 (2) (3)23 (4)乙班、丙班、甲班；25 【分析】（1）利用总数减去已知的频数即可求解； （2）根据（1）求得的的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据各组频数，将数据按从小到大排列后，找到第25个和第26个数据即可求解； （4）先计算各班的平均数，根据丙班在三个班级中活跃度排名居中，可得或或，再分别计算方差进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：略． （3）解：∵和共有（人），、和共有（人），共抽取了50名学生志愿者， ∴数据按从小到大排列后的第25个和第26个数据是内的第7个和第8个数据，均为23， ∴中位数为． （4）解：甲班平均数为， 乙班平均数为， 丙班平均数为， ∵丙班在三个班级中活跃度排名居中， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 当时，丙班平均数为，与甲班平均数相同， ∵甲班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴甲班优于丙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、甲班、丙班，不符合题意； 当时，丙班平均数为，与乙班平均数相同， ∵乙班的方差为， 丙班的方差为， ∵， ∴丙班优于乙班， ∴三个班级的排名由前到后依次为丙班、乙班、甲班，不符合题意； 当时，丙班平均数为， ∵， ∴三个班级的排名由前到后依次为乙班、丙班、甲班，符合题意； 综上所述，． 21．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 【答案】(1)频数分布直方图见详解，； (2)； (3)乙； (4)． 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数的计算、用样本估计总体以及平均数的应用，熟练掌握相关统计量的计算方法和直方图的解读是解答本题的关键． （1）①根据频数分布直方图中各组频数之和为，补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图；②根据中位数的定义，先确定中位数所在的组，再结合组内数据计算中位数； （2）先根据乙片区的频数分布直方图，确定“达标监测点”的频数，再用样本估计总体，计算乙片区个监测点中“达标监测点”的数量； （3）结合甲、乙两个片区的中位数，分析固沙量为在两个片区中的排名情况，从而判断所在的片区； （4）先根据乙片区的平均数求出个数据的总和，再根据剔除极值后的平均数求出剩余个数据的总和，最后根据原总和、剔除的最小值和剩余数据总和求出最大值． 【详解】（1）解：①频数分布直方图如图所示， ②共抽取了个监测点，中位数为第个监测点和第个监测点固沙量的平均值， ，， 中位数在这一组，由给出的数据排序得，中位数为， ； （2）解：乙片区抽取的监测点中，“达标监测点”有个， 个， 答：乙片区的个监测点中约有个“达标监测点”； （3）解：甲片区：中位数为，说明有个数据，比小，因此在甲片区的排名在第名之后（即名次靠后）； 乙片区：中位数为，说明有个数据，比大，因此在乙片区的排名在第名之前（即名次靠前）； （4）解：乙片区个数据的平均数为，因此总和为： 剔除一个最大值和一个最小值后，剩余个数据的平均数为，剩余数据总和为：， 根据“原总和剔除的两个数据剩余数据总和”，可得：， 解得：． 22．（2026·北京燕山教育集团·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【答案】(1)82 (2)A (3)① (4)120 【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：∵A课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴A课程的中位数为 ，即； （2）解：∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A， 故答案为：A． （3）解：①两门课程总成绩的平均数为，学生乙的总成绩为，，所以①正确； ②总成绩高于平均数的人数不一定只有10人，可能有更多人总成绩高于平均数， 因此乙不一定排在前10名，所以②错误； 故选：①； （4）解：由题意可得，人， 即估计A课程成绩不低于80分的学生有人． 23．（2026·北京市西城区·二模）某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 【答案】(1)14；22；； (2)①17；②A． 【分析】（1）用100减去各组数据即可求得m，根据中位数的定义和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的计算公式计算后再比较即可． 【详解】（1）解： 100个数据的中位数为第和位的平均数， ∵，， ∴100个数据的中位数为， ； （2）解：①， ， ， 解得； ②， ， ∴排序最靠前的是A组． 24．（2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】(1)； (2)； (3)①③； (4)乙． 【分析】（1）根据频数分布表即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图和频数分布表逐一分析即可； （4）由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近，得到乙的方差小于甲，得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：每立方米总磷去除量在的数有3个，在的数有2个， ∴20块水域每立方米总磷去除量从小到大排列，排在第10和11的两个数是， ∴中位数为：； （3）解：①12号水域的总磷去除量是， 总磷去除量在的有6个，在的有1个， ∴在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名的，符合题意； ②由统计图可知，20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为，不符合题意； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量有个， ∴20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为，符合题意； （4）解：由统计图和频数分布表可知，甲种植物（）数据分布较分散，乙种植物（）数据更集中于均值附近， ∴乙的方差小于甲， ∴这个地区比较适合种植的净水植物是乙． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 统计与概率 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01概率 2026北京卷 2025北京卷 概率题为中考固定基础单选题，单题分值 2 分，属于试卷前中段送分小题；统一以摸球、抛掷硬币为核心载体，分为一步简单概率与两步放回型概率两类，遵循 “统计总等可能结果数→统计符合条件结果数→概率 = 符合条件结果数 ÷ 全部等可能结果数” 单层设问逻辑，综合概率基本公式、树状图 / 列表法两大核心能力。 考点02 样本估计总体 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 样本估计总体为中考稳定基础填空题，单题分值 2 分，属于统计板块送分小题；统一以抽样调查现实场景为载体，给出样本统计表 / 原始样本数据，遵循 “统计样本符合条件个体数→计算样本频率→总体数量 × 样本频率得到估计值” 单层解题逻辑，综合读取统计表格、计算频率、样本估计总体三大核心能力。 考点03 数据分析 2025北京卷 2023北京卷 数据分析题为中考固定统计解答大题，分值 6 分；载体包含折线图、条形统计图、频数直方图、原始数据、统计表格，遵循读取图表数据→计算统计量（平均数、中位数、众数、方差）→结合统计量意义分析推理、举反例三层解题逻辑，综合图表信息读取、四大统计量计算理解、统计推理与反例构造三大核心能力。 考点01 概率 1．（2026·北京·中考）一个不透明的袋子中仅有个球，其中有个白球、个黄球，其余都是红球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·中考）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·中考）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·中考）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京·中考）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 考点02 样本估计总体 1．（2026·北京·中考）某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下： 每周体育活动时间 学生人数 3 7 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________． 2．（2025·北京·中考）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 3．（2024·北京·中考）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03    49.98    50.00    49.99    50.02 49.99    50.01    49.97    50.00    50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 4．（2023·北京·中考）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 5．（2022·北京·中考）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 考点03 数据分析 1．（2026·北京·中考）若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； (2)记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； (3)如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 2．（2025·北京·中考）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 3．（2024·北京·中考）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 4．（2023·北京·中考）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a.16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175 b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 m n (1)写出表中m，n的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 5．（2022·北京·中考）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）． 一、单选题 1．（2026·北京门头沟·综合练）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 2．（2026·北京东城·一模）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球然后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京朝阳·一模）不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京大兴·一模）某校八年级大课间设置了四项体育活动：篮球投篮、排球垫球、1分钟跳绳、25米往返跑．将四个项目的名称分别写在四张完全相同不透明的卡片正面上，通过抽取卡片的方式确定各班参加的活动项目．现把四张卡片背面朝上，洗匀后，一班从中随机抽取一张后放回并洗匀，二班再随机抽取一张，则一班和二班恰好抽到同一项体育活动的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京丰台·一模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·一模）一个不透明袋子中仅有红、黄、白球各一个，三个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出两个球，其中有一个是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京石景山·一模）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京昌平·一模）京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京西城·一模）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．先从袋子中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，那么第一次摸到的球是红球、第二次摸到的球是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·北京海淀·一模）不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（    ）． A． B． C． D． 11．（2026·北京通州·一模）在一个不透明的袋子中装有个红色小球，个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京平谷·一模）一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·北京东城·二模）某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·北京朝阳·二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·北京顺义·二模）小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·北京石景山·二模）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2026·北京丰台·二模）在一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀．按此步骤重复操作，前4次每次摸出的都是红球，则摸第5次时摸出红球的概率是（     ） A． B． C． D．1 18．（2026·北京房山·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·北京大兴·二模）一个不透明的袋子中仅有5个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球为蓝球的概率为（     ） A． B． C． D． 20．（2026·北京平谷·二模）掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是    A． B． C． D． 21．（2026·北京海淀·二模）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都正面向上的概率是（） A． B． C． D． 22．（2026·北京燕山教育集团·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·北京市西城区·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·北京密云·一模）《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 1．（2026·北京门头沟·综合练）某中学为推行“健康第一”的教育理念，积极组织师生开展综合体育活动．从2000名学生中随机抽取100名学生，获得他们每天的综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下： 时间 人数 4 6 70 20 根据相关规定，中学生每天的综合体育活动时间不低于2小时为“合格”．根据以上数据，估计该中学2000名学生中每天的综合体育活动时间达到“合格”的人数是_______． 2．（2026·北京东城·一模）年月日是第个中国环境日，某中学名学生积极参加了公益活动，为了解这些学生参加公益活动的时间（单位：），从中随机抽取了名学生进行问卷调查，并将得到的数据整理如下： 活动时间 人数 根据以上信息，估计该中学名学生中参加公益活动时间是的人数是______． 3．（2026·北京朝阳·一模）某集团校有20000名学生．为了解这些学生单次使用电子屏幕时长的分布情况，从中随机抽取了1000名学生，获得他们单次使用电子屏幕时长的数据（单位：），数据整理如下： 分组 人数 650 157 101 63 29 根据以上信息，估计该集团校20000名学生单次使用电子屏幕时长不超过的人数为________． 4．（2026·北京大兴·一模）某校为调查学生对传统节日文化的了解情况，随机抽取150名学生针对春节、清明、端午、中秋四大传统节日的习俗、文化内涵等知识进行测评，测评结果按测评成绩分为4个等级，数据整理如下： 等级 待提升 合格 良好 优秀 测评成绩M（单位：分） 学生人数 15 45 66 24 根据以上信息，估计该校1500名学生中，达到良好及以上等级的人数是_______． 5．（2026·北京丰台·一模）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是_______． 6．（2026·北京顺义·一模）某地区七年级共有4000名女生．为了解这些女生的体能情况，从中随机抽取了100名女生，测得她们一分钟仰卧起坐的个数，数据整理如下： 仰卧起坐的个数 人数 6 15 21 23 27 8 根据以上数据，估计该地区七年级4000名女生中一分钟仰卧起坐的个数不低于50个的人数是_____． 7．（2026·北京石景山·一模）某地区九年级共有1800名女生，为了解这些女生一分钟仰卧起坐次数的分布情况，从中随机抽取了60名女生，测得她们的仰卧起坐数据（单位：次），并根据九年级女生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 数据 学生人数 3 12 24 21 根据以上数据，估计这1800名女生中仰卧起坐等级为优秀的学生有______名． 8．（2026·北京西城·一模）某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 9．（2026·北京海淀·一模）有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 10．（2026·北京通州·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 11．（2026·北京平谷·一模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 12．（2026·北京密云·一模）某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 果径范围（单位：） 个数 10 30 40 20 若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____． 13．（2026·北京市西城区·二模）北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 14．（2026·北京燕山教育集团·二模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 15．（2026·北京海淀·二模）质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 16．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 17．（2026·北京大兴·二模）在“课间一刻钟”活动中，甲、乙、丙三名同学相约到篮球场进行定点投篮练习，共设置5轮投篮，每轮每人投篮5次，投中次数统计整理如下： 甲：2，2，4，5，5； 乙：2，3，4，4，5； 丙：3，3，4，4，4． 根据方差越小，数据的波动越小，发挥越稳定这一统计意义，据此推断，________同学发挥更稳定． 18．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 19．（2026·北京丰台·二模）某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 20．（2026·北京顺义·二模）某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 21．（2026·北京朝阳·二模）下表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32 最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18 这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则________．（填“>”“=”或“<”） 22．（2026·北京东城·二模）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 三、解答题 1．（2026·北京门头沟·综合练）随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手的使用体验，随机抽取了名学生对四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．对两款智能助手满意度的评分数据的折线图： ．对款智能助手满意度的评分数据： ．对四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差： 智能助手 平均数 中位数 众数 方差 (1)表中的值为 ，的值为 ； (2)表中的取值范围是 （填序号）； ①   ②   ③ (3)如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对四款智能助手的满意度按照由高到低排序 ． 2．（2026·北京东城·一模）某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 3．（2026·北京朝阳·一模）某学校举办了七、八年级智能机器人应用比赛，比赛包括机器人基础知识、结构搭建、编程控制、综合应用四个分项，采用百分制记录比赛成绩（成绩取整数，单位：分），比赛分为两个阶段． (1)第一阶段为机器人基础知识比赛，该校七、八两个年级智能机器人应用代表队各有8名学生参赛，对他们的成绩进行描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的折线图： b．七、八年级参赛学生基础知识比赛成绩的中位数分别为，91，方差分别为，18． 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为________； ②________18；（填“”“”或“”） (2)七、八年级各选派基础知识比赛成绩前三名的学生，参加第二阶段结构搭建、编程控制、综合应用的比赛，部分数据如下： 年级 学生 基础知识 结构搭建 编程控制 综合应用 平均数 方差 七年级 A 91 93 96 95 93.75 3.6875 B 92 92 92 97 93.25 4.6875 C 96 92 88 八年级 D 98 90 92 96 10 E 95 92 93 95 93.75 1.6875 F 94 91 91 95 92.75 3.1875 ①表中的值为________； ②根据比赛成绩，学校对这六名学生进行最后的排序，排序标准为：平均数较大的优先；若平均数相等，则综合应用成绩较高的优先；若综合应用成绩也相等，则方差较小的优先．按上述标准排序后，这六名学生的排序由高到低依次为，，，，，，则表中所有可能的值为________． 4．（2026·北京大兴·一模）为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，； b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：_______，_____； (2)社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (3)相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表： 甲组叶绿素含量 乙组叶绿素含量 若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 5．（2026·北京丰台·一模）某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：h）的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．北京及国内其他四个城市的地理经纬度： b．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图： c．喀什二十四节气日白昼时长： 9.5  9.8  10.3  10.9  11.5  12.2  12.8  13.5  14.0  14.5  14.8  15.0 14.8  14.5  14.0  13.4  12.8  12.1  11.5  10.9  10.3  9.8  9.5  9.4 d．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差： 北京 敦煌 喀什 武汉 广州 平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14 中位数 12.10 12.15 12.10 12.10 方差 3.89 3.66 1.84 0.96 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为_________； (2)表中n______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)下列推断正确的是_____（填写序号）； ①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多； ③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显． (4)手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在_______期间（填“寒假”或“暑假”）． 6．（2026·北京顺义·一模）某学校举办歌唱比赛，5位评委对每位同学进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙、丁每位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学得分的折线图： b．丙同学的得分：，，，，； c．四位同学得分的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值为_____； (2)对每位同学，计算5个得分的平均数和方差，平均数较大的同学排序靠前；若平均数相同，则方差较小的同学排序靠前．已知丙在四位同学中排序第三，则这四位同学中排序最靠前的是____，m（m为整数）的值为_____． 7．（2026·北京石景山·一模）某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 8．（2026·北京昌平·一模）2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 9．（2026·北京西城·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 10．（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 11．（2026·北京通州·一模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 12．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 13．（2026·北京东城·二模）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中________，________； (2)综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． (3)使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 14．（2026·北京朝阳·二模）某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下． a．男员工数据的频数分布表如下： 人数 6 20 9 4 1 b．男员工数据在这一组的是： 23.3  23.4  24.1  25.2  25.6  26.3  26.4  27.3  27.8 c．女员工数据是： 14.2  16.0  16.1  16.6  17.7  18.0  18.1  18.8  19.1  19.4 19.5  19.9  20.5  21.7  22.1  23.2  24.6  25.2  26.4  27.5 27.8  28.4  29.1  29.3  30.8 d．男、女员工数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男员工 23.625 22.6 女员工 22 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)如果在（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好．记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为，女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为，根据抽取的员工的数据估计________（填“”“”或“”）； (3)公司把男、女员工数据合并为一组数据，进行分析． 估计该公司1300名员工数据的平均数约为________； 若公司计划对1300名员工中数据较大的前的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有________人，被优先关注的女员工约有________人． 15．（2026·北京顺义·二模）某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 16．（2026·北京石景山·二模）的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 (1)表中m的值为________，n的值为________； (2)已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； (3)为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 17．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 18．（2026·北京房山·二模）某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图： ．丙同学次测试成绩： 228    238    240    244    250    250    252    253    256    259 ．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩）次数： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 优秀次数 (1)表中的值为________； (2)表中________（填“＞”“”或“＜”）； (3)根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强． ①这四名同学中胜出的是________； ②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到________（结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有________（填“平均数”“众数”或“方差”）． 19．（2026·北京大兴·二模）五一假期，某景区为调查游客通行效率，某高峰时段工作人员在景区南、北两个检票口各随机抽取20名游客，记录他们从入园开始排队到通过检票口进入景区的等候时间（单位：分钟）．将数据整理，描述和分析，给出下面信息： a．将南、北两个检票口各20名游客等候时间t分别分成四组： A．，B．，C．，D． b．南检票口20名游客等候时间数据： 5  6  9  11  14  19  21  23  26  30  30  30  32  35  37  39  42  46  50  53 c．北检票口20名游客等候时间在C组内的数据： 31  32  32  33  35  36  39  42 d．北检票口20名游客等候时间扇形统计图如下： e．南、北检票口20名游客等候时间平均数、众数、中位数如下表： 项目 南检票口 北检票口 平均数 27.9 27.9 众数 n 32 中位数 30 p (1)写出图表中m，n，p的值：________，________，________； (2)已知当天该高峰时段从南检票口进入景区的游客约为6000人，从北检票口进入景区的游客约为8000人，估计从两个检票口进入景区的等候时间超过30分钟的游客有________人． 20．（2026·北京平谷·二模）平谷区教委积极引导广大学生参与各类有益活动，包括校园志愿服务、青少年科技创新、主题读书、思政教育及文体实践等，引导学生在实践中成长．为响应“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，2025年我区深入推进志愿共建等各项学生活动以来，我区广大学生积极参与志愿服务，助力打造文明、有序、温馨的社区环境．其中，某校有500名学生志愿者，为了解该校3月—4月期间学生参加志愿服务的情况，学校针对服务的次数随机抽取50名学生志愿者进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 志愿服务活动次数频数分布表 次数次 频数 频率 8 0.16 10 0.20 16 0.32 0.24 4 0.08 其中，参与志愿服务活动次数在这一组的数据是： 20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29 请根据所给信息，解答下列问题： (1)__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)随机抽取的50名学生参加志愿活动次数的中位数是__________； (4)为鼓励学生参与志愿服务，学校计划按“志愿活跃度”给不同班级分配志愿活动名额，活跃度排名规则为：先比较班级人均志愿次数，人均次数越高，排名越靠前；若人均次数相同，则比较班级志愿次数的方差，方差越小，排名越靠前．该校从甲、乙、丙三个班级各随机抽取了5名志愿者，记录他们的服务次数如下表： 志愿者1 志愿者2 志愿者3 志愿者4 志愿者5 甲班 25 26 25 25 27 乙班 23 28 26 24 29 丙班 25 27 26 26 若丙班在三个班级中活跃度排名居中，则这三个班级的排名由前到后依次为__________，此时表中（为整数）的值为__________． 21．（2026·北京海淀·二模）沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是：                              ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； (2)若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 22．（2026·北京燕山教育集团·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 23．（2026·北京市西城区·二模）某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20   20   21   21   23   23   23   24   24   24   25   25   25   26   26 26   26   27   27   27   27   27   28   28   28   29   29   29   29   29 (1)的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； (2)从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 24．（2026·北京密云·一模）水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息： ①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下： 总磷去除量 频数 3 2 8 1 ②水域总磷去除量在这一组的是： ； ③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下： (1)写出表中的值； (2)随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为________； (3)下列推断合理的是________（填序号） ①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名； ②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为； ③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为 (4)号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是________（填“甲”或“乙”）． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $