第05讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题型为载体，系统整合一元二次不等式解法、基本不等式应用及数学思想，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次不等式|3题型（含参、参数确定、恒成立）|含参分类讨论、解集与参数关系、判别式/分离参数法|从解法到参数反推，再到恒成立，形成“解-定-证”递进| |基本不等式|3题型（“1”代换、条件最值、恒成立）|配凑法、“1”的代换、不等式链应用|结合等式条件求最值，关联恒成立体现转化思想| |数学应用与思想|4题型（实际问题、函数方程、分类讨论、化归转化）|建模分析、函数与方程互化、分类整合|实际问题落地数学建模，思想方法统摄知识应用|

第05讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01一元二次不等式（含参） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【变式1】求关于的不等式的解集. 【变式2】解下列关于的不等式. 【变式3】解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 题型02由一元二次不等式的解确定参数 【典例1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 题型03一元二次不等式的恒成立（有解）问题 【典例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04“1”的代换转化为基本不等式求最值 【典例1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【典例2】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【变式3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 题型05基本不等式（条件最值问题） 【典例1】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【变式1】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式3】（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 题型06与基本不等式有关的恒成立问题 【典例1】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【变式1】（多选）（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·吉林白城·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式3】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 题型07不等式与实际问题的关联 【典例1】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【变式1】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【变式2】（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 题型08函数与方程的思想 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，则的值是________ 【变式1】（多选）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集． 题型09分类讨论思想 【典例1】（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【变式1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是______． 【变式2】（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________． 【变式3】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）求关于的不等式的解集. 题型10化归与转化的思想 【典例1】关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·安徽·期中）若a，b均为正实数，，则的最小值是______. 【变式1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三上·广东·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 第二章 一元二次函数、方程和不等式题型大总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01一元二次不等式（含参） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式1】求关于的不等式的解集. 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2】解下列关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 【变式3】解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 题型02由一元二次不等式的解确定参数 【典例1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 【典例2】（25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 【变式2】（25-26高一下·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，即可求解． 【详解】由得，， 因为，所以， 得， 由不等式（）解集中恰有2个整数， 得，得， 故实数取值范围是． 【变式3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 题型03一元二次不等式的恒成立（有解）问题 【典例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数m后，利用基本不等式求解． 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为．     故选：A． 【变式1】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 【变式2】（25-26高一上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为和两种情况分别讨论，结合二次函数的图象列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，，， 当时，不等式化为，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·福建福州·期中）“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，可推得关于的不等式在上恒成立，对的取值分类讨论，结合二次函数的图象性质列出关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意，命题“”的否定为“”是真命题， 即在上恒成立. 显然当时不合题意； 若时，设，其图象对称轴为直线， 当时，方程的根的判别式， 即抛物线与轴相交，此时，显然不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：D. 题型04“1”的代换转化为基本不等式求最值 【典例1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 【典例2】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 【变式3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】． 当且仅当且，即时取等号， 所以． 题型05基本不等式（条件最值问题） 【典例1】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，化简题设条件为，又由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 【变式1】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知正实数满足，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为正实数满足，即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立，联立可得， 所以当时，取最大值，， 故选：A 【变式2】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 【变式3】（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 题型06与基本不等式有关的恒成立问题 【典例1】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【典例2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】因为，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 【变式1】（多选）（24-25高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 【变式2】（24-25高二下·吉林白城·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 题型07不等式与实际问题的关联 【典例1】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【变式1】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式2】（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【变式3】（25-26高一上·上海·期中）某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米． (1)池底的周长最小为多少？（单位：米） (2)假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位） 【答案】(1)40 (2)长：米，宽：米，最小成本：10456.85元 【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解； （2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中， 则容积立方米，，代入， 得，即，池底的周长， 当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米. （2）当深度米时，则平方米，则总成本元. 当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 . 题型08函数与方程的思想 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若关于的不等式的解集是，则的值是________ 【答案】0 【分析】根据分式不等式特点转化为一元二次不等式，然后根据解集求解系数； 【详解】等价于且， 又因为解集为， 所以是的根，解得， 故是方程的根， 根据韦达定理， 解得：. 故答案为：0. 【变式1】（多选）（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 题型09分类讨论思想 【典例1】（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为. 【分析】由不等式，得，通过讨论，求得不等式的解集. 【详解】由不等式，得. 当时，，所以； 当时，，所以，恒成立； 当时，，所以. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R 当时，不等式的解集为. 【变式1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解. 【详解】由得：， ①当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有1个整数，所以； ②当时，不等式的解集为，不符合题意； ③当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有1个整数，所以； 综上所述：实数m的取值范围是：或. 故答案为：或 【变式2】（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________． 【答案】2 【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论. 【详解】由， ①当时，， 而，可得至少有一个不小于2, 则的最小值为2； ②当时， ， 而，可得至少有一个不小于2， 的最小值不小于2. 综上，的最小值为2. 故答案为：2 【变式3】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析. 【分析】分、、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式， 即为， 又因为方程的两根分别为， 当时，， 则不等式的解集为； 当时，， 则不等式的解集为； 当时，， 则不等式的解集为； 当时，， 则不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型10化归与转化的思想 【典例1】关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据绝对值不等式的性质，将其转化为不含绝对值的不等式，对进行分类讨论，再结合已知解集的端点值，求出的值即可. 【详解】解：由等价于，由题意知， 当时，，则，解得（舍）； 当时，，则，解得，符合题意. 【典例2】（23-24高一上·安徽·期中）若a，b均为正实数，，则的最小值是______. 【答案】8 【分析】由，可化简为：，再结合基本不等式求解. 【详解】由题意得：， 当且仅当，即或时，取到等号， 故的最小值是. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 【变式2】（2025高三上·广东·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】原式等价于， 解集为， 故选:A. 学科网（北京）股份有限公司 $