（暑假作业）基础与拔高专题：二元一次方程组-2025-2026学年人教版 数学七年级下册

**基本信息** 本专项以二元一次方程组为核心，通过基础巩固与拔高训练分层设计，系统整合概念辨析、解法技巧及实际应用，突出整体换元等思想方法，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-19题（如代入法选择、《九章算术》应用题）|代入/加减消元法、解的应用|从二元一次方程定义到方程组解法，再到简单实际应用，形成概念-解法-初步应用链条| |拔高训练|20-22题（如整体换元、机器人分拣问题）|整体换元法、新定义理解、复杂模型构建|深化解法技巧，结合新定义与跨情境问题，培养运算能力与模型意识，实现知识迁移|

（暑假作业）基础与拔高专题：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 基础巩固 1．下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程（为常数）的一组解，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 4．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 5．若，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知是方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中表示的是 （     ） A．买鸡的人数 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．鸡的数量 8．已知关于，，的方程组，若为定值，则（     ） A． B． C． D． 9．国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中用算筹布列二元一次方程组，图1，图2中每行从左到右的算筹数依次表示，的系数及常数项．图1的算筹图对应的方程组是，图2的算筹图中的系数被墨水覆盖，其对应的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形是（     ） A． B． C． D． 10．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 11．若是二元一次方程的一组解，则的值是______． 12．已知，则_______． 13．如图，某新型休闲凳可无缝堆叠在一起，从而节省收纳空间，则高的收纳柜恰好可以叠合收纳这款休闲凳共________把． 14．某班准备举办一场智力竞赛，购买奖品一共花了300元，已知一件甲种奖品的价格为30元，一件乙种奖品的价格为20元，若两种奖品都买，则共有________种不同的买法． 15．定义运算“*”，规定，其中a、b为常数，且，，则________． 16．如图，长方形中放有5个形状、大小相同的长方形（空白区域），为了求图中阴影部分的面积，可以设小长方形的宽为，长为，可以列方程组求出小长方形的长和宽，则图中阴影部分的面积为________． 17．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 18．某俱乐部的名成员相约周末去爬山，有徒步爬山和坐索道上山两种爬山方式，选择徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，求选择徒步爬山和坐索道上山的成员各有多少人？（请用二元一次方程组的知识解答） 19．已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值． 拔高训练 20．阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 21．阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 22．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C B A B B D 1．B 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断，二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为1． 【详解】选项A中，只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程要求，不是二元一次方程； 选项B中，是整式方程，含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义； 选项C中，只含有1个未知数，不符合二元一次方程要求，不是二元一次方程； 选项D中，不是整式方程，不符合二元一次方程要求，不是二元一次方程． 2．A 【分析】将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程得， 解得. 3．B 【分析】设四张卡片的数字分别为，根据表格得到四组三个数的和，将四个等式相加求出四个数的总和，再减去不含的三个数的和，即可得到的值． 【详解】解：设卡片上的数字分别为， 根据题意得 ， 将四个等式左右两边分别相加，则， ， ， ． 4．D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 5．C 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列出方程组，再计算得到的值． 【详解】解：∵，，且 ∴，整理得 得： 化简得 故选：C． 6．B 【分析】根据方程组的解的定义，将已知的解代入原方程组，得到关于和的二元一次方程组，解出、后即可计算的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 7．A 【分析】根据题意，9和6是两种情况下每人出的钱数，总出的钱数为每人出的钱数乘以对应人数，由此可判断的含义． 【详解】解：∵题干中9，6分别是两种方案下每人出的钱数， ∴方程中和表示所有人出的总钱数，总钱数每人出的钱数人数， ∴表示买鸡的人数． 8．B 【分析】消去后整理出含的式子，因为为定值，因此的系数为，即可推得与的关系． 【详解】解： 得 ， ， 为定值， ， ． 9．B 【分析】根据图1中竖、横的数量关系列式，再根据二元一次方程组的解代入计算得到，由此即可． 【详解】解：图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是， ∴设遮住的图为， ∴图2用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是， ∵图2所表示的方程组的解为， ∴， 解得，， ∴图2所表示的方程组的解为， ∴， 解得：， ∴的系数是． 10．D 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组中的和分别看作整体，对应原方程组的和，再解关于，的一次方程即可得到结果． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， 方程组的解是， ，， 解得， 11．3 【分析】将已知的方程的解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 12． 【分析】根据绝对值及平方的非负数性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 13． 【分析】设新型休闲凳的高度为，每多叠合一把休闲凳高度增加，根据题目中的等量关系列方程，求解出，的值，然后计算出高的收纳柜恰好可以叠合收纳这款休闲凳的数量． 【详解】解：设新型休闲凳的高度为，每多叠合一把休闲凳高度增加， 根据题意可得，， 解得，， 高的收纳柜恰好可以叠合收纳（把）． 14． 【分析】先设购买件甲种奖品，件乙种奖品，再根据总花费列出二元一次方程，求出方程的正整数解的个数，即可得到不同买法的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据题意可得： 整理得，变形得． 均为正整数， ， 可得，且为偶数． 为偶数，因此为偶数，即为偶数， 因此该二元一次方程的正整数解共有组： ，，，， 故共有种不同的买法． 15．1 【分析】根据定义得出，整理并用代入法解二元一次方程组，得出a和b的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可知：， 整理得：， 解得：， ∴． 16． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 18．选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人 【分析】设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人，根据总人数为人，徒步爬山的成员数量比选择坐索道上山的成员数量的倍多人，列出方程组并解方程组，即可得到答案． 【详解】解：设选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：选择徒步爬山的成员有人，选择坐索道上山的成员有人． 19．， 【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 将代入原方程组含参数的方程，得 ， 解得 ． 20．(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 22．(1) (2)千瓦时． (3) ①解：设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①略 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $