（暑假作业）基础与拔高专题：实数-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本专项以实数概念为核心，通过基础巩固与拔高训练构建“概念辨析-性质应用-综合拓展”的递进式训练体系，融合抽象能力与运算能力培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|19题（含数轴表示实数、正方体体积计算等）|定义辨析法、性质应用法、建模计算法|从无理数识别到平方根立方根运算，再到实际问题解决，形成概念-运算-应用的逻辑链| |拔高训练|3题（含规律探究、新定义“根整数”、坐标系综合）|规律归纳法、新定义迁移法、数形结合法|拓展至跨知识综合，体现从具体到抽象的推理意识与应用意识|

（暑假作业）基础与拔高专题：实数-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 基础巩固 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 5．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 10．下面给出的说法中，其中正确的有（     ） （1）最大的负整数是； （2）在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线平行； （3）当时，； （4）若，则； （5）一组邻补角的两条角平分线构成一个直角； （6）同旁内角相等，两直线平行； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．的平方根是______． 12．比较大小：________（填“”“”或“”）． 13．已知的平方根是，则的值为_____． 14．实数满足，则的值为_____． 15．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 16．规定一种新的运算：，如，则________． 17．计算：． 18．已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 19．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 拔高训练 20．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 21．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 22．已知，在平面直角坐标系中，点，，且，满足． (1)则 ； ． (2)如图，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动．的中点的坐标是，设运动时间为秒． ①连接，是否存在这样的，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ②连接，过点作交于点，请直接写出，，的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B D A A B B 1．B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 2．D 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 3．B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 4．C 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 5．B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 6．D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 7．A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 8．A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 9．B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 10．B 【详解】解：（1）最大的负整数是，正确． （2）在同一个平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误． （3）当时，，正确． （4）若，则，原说法错误． （5）邻补角和为，两条角平分线分得的半角和为，构成直角，正确． （6）同旁内角互补，两直线平行，原说法错误． 正确的说法共3个， 故选：B． 11． 【分析】根据平方根的定义，找到平方等于的数即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是. 12． 【分析】比较两个正数的大小，可将两数平方后比较平方结果的大小，平方大的原数越大． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 两个正数，平方大的原数越大， ∴ ． 13． 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 14． 或 【详解】解：， 移项得 对等式两边同时开平方，得 即或． 15．/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 16． / 【分析】根据新定义列出算式，再进一步计算即可得到答案． 【详解】解： ． 17． 【分析】先计算算术平方根、绝对值和立方根，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 19．(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 20．(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 21．(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 22．(1)4；2 (2)①存在，； ②当时，；当时， 【分析】（1）根据算术平方根以及绝对值非负性质求解即可． （2）①由题意知，，，则，，由，可得，计算求解即可； ②分两种情况，当时和当时，过点作交与点N，利用平行线的判定和性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． （2）解：①∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标是， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴存在，当时，； ②当时，过点作交与点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 当时，过点作交与点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $