精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

牛栏山一中2026~2027学年度第一学期开学 高二数学 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数不等式可得集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由题意可得， ，， 所以. 故选：A 2. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 3. 已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 用代替得， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以，是以4为周期的周期函数， 因为，所以. 故选：D 4. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接可得解. 【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风， 则，， 则已知刮风的条件下，也下雨的概率， 故选：D. 5. 曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 方程有实数解 【答案】C 【解析】 【详解】对求导得，，则选项错误；由基本不等式得，当且仅当即时取等号，故恒成立，不可能等于 0，方程无实数解，正确，错误. 6. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 7. 若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极值点和导函数之间的关系，求出函数极值点的含参代数式，列出大于零的不等式，解出参数取值范围. 【详解】已知，则，令即，化简得， 当时无解， 当时，解得， 由题意得，即， 根据对数函数性质可得，因为，解得. 故选：B. 8. 若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于A，B作出图象如图所示，可见 时，既有单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C，设，作如图所示，因 ，此时，在 上为减函数，故有，得 ，故C正确，D不正确，故选C. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用. 9. 已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数的图像与直线有三个不同的交点，转化为有三个不同的根，即有三个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数的图像与直线有三个不同的交点， 所以有三个不同的根， 即有三个不同的根， 令，则， 当或时，，当时，， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值 ， 若有三个不同的根，则有三个不同的交点， 如图所示： 由图象知， 所以实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 10. 定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是 ①若，则函数的图象在函数的图象上方； ②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称； ③函数，则； ④若是增函数，则. A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：①时，说明函数比函数增加的快，但函数的图像不一定在函数图像的上方，故①不正确； ②若函数与的图象关于直线对称，则. 若（m为常数），此时满足，所以②不正确； ③因为，所以，故③正确. ④由导数的几何意义可知是增函数即函数切线的斜率单调递增，所以函数是“凹型函数”，则必有.故④正确. 综上可得结论正确的是③④. 故选：C. 考点：函数的简单性质. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】在的展开式中， 所以的系数为. 故答案为：. 12. 设函数，若的最小值为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合反比例函数性质求的函数值的范围，结合条件及对数函数的定义域及单调性列不等式求. 【详解】当时，， 由反比例函数性质可得，当时，， 所以当时，，故， 又函数在上单调递增， 故当时，的函数值的最小值为， 因为的最小值为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一） 【解析】 【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解. 【详解】当时，无极小值，故， ， 由可得或， 当时，由时，有极小值可知，即， 当时，由时，有极小值可知，即. 所以的一组取值可取， 故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）. 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案. 【详解】解：， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又在上递减， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A， B， C， D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有_____种. 【答案】72 【解析】 【分析】从除了甲、乙之外的3人中选1人从事工作， 再在剩下的四人中选3人从事三项工作即可． 【详解】从除了甲、乙之外的3人中选1人从事工作，有种不同的方法； 再在剩下的四人中选3人从事三项工作，有种不同的方法， 根据分步计数原理，不同的工作分配方案共有种， 故答案为：72. 16. 已知函数（）．给出下列四个结论： ①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是； ②若在处取得极小值，则的取值范围是； ③，曲线总存在两条互相垂直的切线； ④若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】当时，求出的零点判断①；分类讨论函数的极值情况判断②；取，求出任意两点处的导数值乘积与比较判断③；按分类讨论函数在上的取值情况判断④得答案. 【详解】对于①，当时，，由，解得， 则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，①错误； 对于②，函数的定义域为，求导得， 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意； 当时，，函数在上单调递减，无极值点； 当时，，，，，在处取得极小值，符合题意， 因此在处取得极小值时，的取值范围是，②正确； 对于③，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线， 设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为， 于是与矛盾，③错误； 对于④，当时，，，即在上单调递减， 此时，而函数在的取值集合为，则在上无最小值， 当时，由，得或，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 而当时，，则恒成立，因此在处取得最小值， 于是存在最小值时，的取值范围是， 所以所有正确结论的序号是②④. 故答案为：②④ 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交并补的定义求解， （2）将问题转化为，对讨论即可求解， （3）根据交集的定义，列不等式即可求解. 【小问1详解】 由， ， 故， 或，故或 【小问2详解】 由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， 【小问3详解】 由得，解得， 18. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 19. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； （2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： ； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可； （2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）分别求出小学生、初中生、高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率，结合所占的权重求得并与的大小比较即可. 【小问1详解】 由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； 【小问2详解】 用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， . 所以的分布列为 . 【小问3详解】 小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为. 所以. 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若曲线与x轴交于A，B两点，AB的中点横坐标为，证明：. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （3） 由（2）知，若，则曲线与x轴最多有1个交点，故． 不妨设，，则, 要证，即证，只需证，即证． 设函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 又，，在上单调递增， 所以，即．从而原命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况求解即可； （3）结合（2）分析易得，设，，则,将问题转化为证明，设函数，进而结合导数求证即可. 【小问1详解】 若，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，得，， ①若，则恒成立，所以在上单调递减； ②若，令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 略 21. 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：，，不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） 假设，，是数列中的项，由②可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且， 由①，， 对于数，，由②可知：， 对于数，，，由②可知：， 所以，这与①矛盾． 所以，，不可能是数列中的项． （3） 【解析】 【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可； （2）利用反证法：假设，，是数列中的项，利用已知条件②①，推出得到矛盾结果． （3）的最大值为，一、令：，则符合①②，二、设：，，…，（）符合①②，（i）中至多有三项，其绝对值大于． 利用反证法证明假设中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于．利用反证法推出矛盾结论、（iii）中至多有两项绝对值等于．（iv）中至多有一项等于．推出的最大值为． 【小问1详解】 由①得：， 由②得：当，，时，，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得：， 经检验，当时，符合题意， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最大值为，证明如下： 一、令：，则符合①②， 二、设：，，…，（）符合①②，则： （i）中至多有三项，其绝对值大于． 假设中至少有四项，其绝对值大于，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中，则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项， 同理：也是数列中的项．但，， 所以，所以，这与①矛盾． （ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于， 假设中至少有四项，其绝对值大于且小于，类似（i）得出矛盾， （iii）中至多有两项绝对值等于． （iv）中至多有一项等于0． 综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有项， 由一、二可得，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牛栏山一中2026~2027学年度第一学期开学 高二数学 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 方程有实数解 6. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则 (　 　) A. B. C. D. 9. 已知函数的图像与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是 ①若，则函数的图象在函数的图象上方； ②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称； ③函数，则； ④若是增函数，则. A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 12. 设函数，若的最小值为，则的值为______. 13. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 15. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A， B， C， D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有_____种. 16. 已知函数（）．给出下列四个结论： ①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是； ②若在处取得极小值，则的取值范围是； ③，曲线总存在两条互相垂直的切线； ④若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 18. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 19. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； （2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若曲线与x轴交于A，B两点，AB的中点横坐标为，证明：. 21. 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：，，不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $