4.5 不等式中的恒（能）成立问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒（能）成立问题，整合单变量等价转化、双变量拆解、分离参数与分类讨论等核心考点，按定义梳理、方法提炼、题型突破的逻辑架构组织内容，通过考点分析、方法指导、真题训练等环节帮助学生构建解题体系，突破参数范围求解难点。 资料创新采用“问题转化—方法迁移”教学模式，如双变量问题拆解为单变量最值训练，洛必达法则突破极限求值难点，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈设计，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力。

§4.5 不等式中的恒（能）成立问题 目录 题型1：分离参数法求参数范围 3 题型2：分类讨论法求参数范围 11 题型3：双变量的恒（能）成立问题 21 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 29 1. 恒成立与能成立的定义 (1) 恒成立问题 在某个区间上，不等式对任意都成立，即，（或）恒成立。 (2) 能成立问题 在某个区间上，存在，使不等式成立，即，使成立。 提醒 "有解""存在"等关键词对应能成立，而"恒成立""总成立"对应恒成立. 2. 单变量的等价转化 设函数在区间上存在最大值和最小值，则： (1) 恒成立； (2) 恒成立； (3) ，使成立； (4) ，使成立。 3. 双变量的等价转化 设函数在区间上存在最大值和最小值，函数在区间上存在最大值和最小值，则： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 4. 解不等式恒（能）成立问题的常用方法 (1) 分离参数法：将含参不等式中的参数与变量分离，转化为不含参数的函数的最值问题。 (2) 分类讨论法：当参数不易分离或分离后函数复杂时，直接对参数分类讨论，通过函数的单调性与最值确定参数范围。 (3) 拆解法（双变量问题）：将双变量问题拆解为两个单变量的最值问题，利用上述等价转化关系求解。 (4) 洛必达法则：当分离参数后求最值出现或型时，利用洛必达法则求极限来确定参数的临界值。 法则1　若函数和满足下列条件： ①及； ②在点的某去心邻域内，与可导且； ③， 那么. 法则2　若函数和满足下列条件： ①及； ②在点的某去心邻域内，与可导且； ③ 那么. 题型1：分离参数法求参数范围 方法提炼 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与变量分离的一种方法。分离参数后，将问题转化为不含参数的函数的最值问题。一般地，恒成立；恒成立；，使成立；，使成立。解题关键是，正确分离参数构造新函数求导确定单调性求出最值得出参数范围。 【例1.1.】 设函数．若当时，，求实数的取值范围． 【答案】 【难度】0.51 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用分离参数法得到，再结合导数求解参数范围即可. 【详解】当时，恒成立，；当时，， 令，，则，， 令，可得，且， 当时，恒成立，则在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 得到，所以， 故实数的取值范围为． 【例1.2.】 已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】，使得可化为，使得，即. 令，，则. 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为. 故a的取值范围是. 【例1.3.】 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过分离参数得到，构造函数，求导，确定单调性和最值即可求解. 【详解】当时，， 原不等式恒成立等价于： ， 令， ，又， 导数符号由分子决定： 令， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 故当时，， 故，即，单调递减； 当时，， 故，即，单调递增， 在处取得最小值：， 因此， 即的取值范围是. 【例1.4.】 已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】将不等式转化为，令，，求导判断函数的单调性，推得，结合题意，可得，求解即得. 【详解】由， 令，， 则， 设，可得 则函数在上单调递增， 又由， 则函数在上存在唯一零点， 即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 则当时，函数取得最小值， 为， 由题意，存在成立，需使， 所以，即. 【例1.5.】 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【例1.6.】 ，若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________. 【答案】或 【难度】0.35 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先证时，故原不等式恒成立等价于在上递增，求导后分离参数得，构造函数，求得函数值域即可得a的取值范围. 【详解】设，则， 在上单调递增，，， ，，又在上恒成立， 需要在上为增函数，即对，恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，故， ，解得或. 【例1.7.】 已知函数，，对于任意，且，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先把不等式变形构造新函数，由条件判断单调递减，从而转化为导数在区间上恒小于等于0，再分离参数通过换元找二次函数的最值即可. 【详解】因为对于任意，且，不等式恒成立，即. 令，则，则在上单调递减， 代入函数，，得， 所以在上恒成立，即， 令，即在上恒成立，则只需即可. 令，则该函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以，即a的取值范围为. 【例1.8.】 若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将恒成立不等式分离参数，转化为不大于某函数的最小值，先求该函数的最小值，得到的关于的不等式，再求不等式右端的最大值及对应的. 【详解】因为任意的，都有，则在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因此存在，使，令，则， 令，得，当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此当取到最大值时，的值为. 【例1.9.】 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将条件转化为对任意的恒成立，构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到，成立，再构造函数，求导，分析函数的单调性即可求出的最小值． 【详解】已知，，且对任意的恒成立， 即，，且对任意的恒成立， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以存在，，使得成立， 令，所以， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 所以的最小值为． 题型2：分类讨论法求参数范围 方法提炼 分类讨论法是解决含参不等式恒成立问题的核心方法.当参数不易分离（或分离后函数过于复杂、出现型极限等）时，直接构造函数，对参数分类讨论，在参数的每一段上利用导数分析的单调性，求出的最值（或判断符号），从而确定参数范围.分类的标准通常是的零点是否在定义域内、在端点的符号等。关键步骤是：构造函数求导确定分类标准逐段讨论综合结论. 【例2.1.】 已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）增区间为，无减区间；（2）. 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间； （2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围； 【详解】（1）由解析式知：的定义域为且， 令，则 ∴当时，；当时，， ∴在单调递减，在单调递增，即， ∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间. （2）解法1：直接求导，分类讨论. 对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立. 令，则， 令，则，由知：， ①当，即时， 即，即在上单调递减，又， ∴时，，即在上单调递减，又， ∴时，，符合题意. ②若，即， 当时，， ∴在单调递增，即时，， 故不恒成立，不合题意. ③若，则恒成立，所以在单调递增. ∴时，，即在单调递增， 又时，，即恒成立，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 解法2： 对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 令，则，记， ①当时，，此时，在单调递减，又， 所以时，，即对任意，恒成立. ②当时，，在上单调递增，又， 所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意. ③时，不等式化为，显然不成立. ④当且时，方程的二根为，， 若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立； 若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立. 综上所述，的取值范围是. 解法3：参数分离 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 记，则 ， 记， 则， 所以在单调递减，又，所以，时，，即， 所以在单调递减.所以， 综上所述，的取值范围是. 【例2.2.】 已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在处取得最小值， (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可； （2）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令得， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，函数在处取得最小值，. （2）因为函数对恒成立 所以对恒成立， 令，则， ①当时，，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立； ②当时，则，，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意； ③当时，令得 令，恒成立，故在上单调递增， 因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷， 所以，使得，， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，只需即可； 所以，，，因为，所以， 所以，解得，所以，，    综上所解，实数a的取值范围为． 【例2.3.】 已知函数，其中． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为； (2). 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助导数求出单调区间作答. （2）构造函数并求出导数，再按分段讨论函数单调性，由此求出取得最小值1作答. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 求导得， 显然函数在上单调递增，且， 因此当时,单调递减，当时,单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），令，求导得， 当时,，则在上单调递增，，满足题意， 当时，设，则，因此函数，即在上单调递增， 而， (i)当时,在上单调递增， 于是，满足题意， (ii)当，即时，对，则在上单调递减， 此时，不合题意， （iii）当时，因为在上单调递增， 且，于是，使，且当时,单调递减， 此时，不合题意， 所以实数的取值范围为. 【例2.4.】 已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.35 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可知存在，使得，然后分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，构造函数，其中，分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出，即，再构造函数，其中，只需，结合导数求解即可. 【详解】由题意可知存在，使得，即， 即， 当时，因为，则， 此时，符合题意； 当时，因为，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 由可得， 所以，可得， 构造函数，其中，只需， ，由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值，且， 所以，即实数的最大值为. 【例2.5.】 设函数，若对于任意正实数x，都有，则实数a的最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意得对均成立，令，求导，进而令，求导可知存在，使得，进而可得，计算可求得实数a的最小值. 【详解】因为对任意，都有，则对均成立， 即对均成立， 令，求导得， 令，求导得，又，所以， 所以在上单调递增，且， 所以存在，使得，即，所以， 所以， 当时，，所以，所以在上单调递减， 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即， 令，在上单调递减，且， 所以， 又，求导得， 所以在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以，所以实数a的最小值为. 【例2.6.】 已知函数，．若，求的取值范围． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】构建，注意到，由端点效应，说明满足题意，不满足题意可得答案. 【详解】构建，则， 为使，注意到，则在上单调递减， 即时，可满足题意. 当时，因为， 又，所以，，故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点， 使得，此时在上有， 所以在上单调递增，则在上有， 即，不满足题意．综上：． 【例2.7.】 ，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，利用端点效应，证明符合题意，不满足题意可得答案. 【详解】构建函数，由题意只需在恒成立，， 又，由端点效应，故需. 下证时恒成立. 主参换位，以为主元，为参数，看作，由，显然单调递增， 故．故只需证即可，， 在上，∴在上单调递增， ∴，∴在上恒成立， 所以当，时,恒成立，符合题意； 当时，由函数图象的连续性可知满足： 当时，所以在单调递减， 所以当时，，与题意矛盾． 综上可得． 【例2.8.】 对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过因式分解得到的根与的根重合，得到，进而得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】原不等式移项整理： ， 因式分解得： 该式对恒成立， 若，则恒成立，要求对任意恒成立，显然不可能，故， 因为是增函数， 因此： 时， 时， 要乘积恒小于等于0，要求在时非负，在时非正， 故，且的根与的根重合， 即： 将代入得： ， 设，则 ， 当时， ，单调递增； 当 时， ，单调递减； 故在处取最大值： . 题型3：双变量的恒（能）成立问题 方法提炼 双变量的恒（能）成立问题的关键是正确转化量词，将双变量问题拆解为两个单变量的最值问题.常见的等价转化有： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解题关键：准确识别""和""的组合正确写出等价转化分别求两个函数的最值 解出参数范围. 【例3.1.】 设,. （Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程; （Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数; （Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.4 【详解】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数在给定点处的切线方程，以及不等式的恒成立问题的综合运用． （1）利用导数的几何意义，求解切线的斜率，和切点坐标，表示出切线方程． （2）要是不等式恒成立，构造函数，研究函数单调性，进而得到参数m的最值． （3）对任意的s,t属于[1/2,1]，都有f(s)f(t)成立 等价于：在区间[1/2,1]，上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值， 结合第二问的结论得到． 解：（1）当时，，，，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）存在，使得成立， 等价于：， 考察， 递减 极（最）小值 递增 ， 由上表可知：， ， 所以满足条件的最大整数； 3）当时，恒成立，等价于恒成立， 记，，． 记，，由于， , 所以在上递减，又h/（1）=0， 当时，，时，， 即函数在区间上递增，在区间上递减， 所以，所以 （3）另解：对任意的，都有成立 等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值， 由（2）知，在区间上，的最大值为． ，下证当时，在区间上，函数恒成立． 当且时，， 记，， 当，；当， ， 所以函数在区间上递减，在区间上递增， ，即， 所以当且时，成立， 即对任意，都有． 【例3.2.】 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 【例3.3.】 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【难度】0.43 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解. 【详解】对任意，存在使得， 等价于 ， ， 令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ， ， ， 当且仅当等号成立， ，故 因为，所以，即， ， 因此正数的最小值为. 【例3.4.】 已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】结合复合函数的单调性求出，利用导数求出，“对任意，，使得恒成立”只需“”，解之即可. 【详解】显然，由复合函数的单调性可知在上单调递增， 在上单调递减，所以． ， 因为，设，则， 设，得， 令，得， 则当时，单调递增，且. 所以当时，单调递减； 当时，，单调递增. 故. 所以当时，，即当时，． 因为要使任意，，恒成立，只需， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：C 【例3.5.】 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的最小值为__________. 【答案】2 【难度】0.42 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据对任意，成立，转化为求解. 【详解】由，得， 令，得， 当时，，当时，， 又，所以时，取得最小值， 当时，， 当时，，所以， 所以， 因为任意，都有成立， 所以任意，都有成立， 则，即 ， 即 ，即 ， 又因为指数函数在R上递增， 所以，解得 ， 所以实数的最小值为2. 【例3.6.】 已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】先求得的取值范围为，当时求导，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围. 【详解】当时，函数是减函数， ，所以， 当时，，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得； 若，则，在上单调递增， 此时的值域为，符合题意， 若，的值域为，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 【例3.7.】 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.22 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 方法提炼 在解决不等式恒（能）成立、求参数取值范围的问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值.但在求最值时，如果分离参数后函数在端点处出现或型的极限，此时可利用洛必达法则求极限来确定参数的临界值. 洛必达法则： 法则1（型）：若，，且、在的某去心邻域内可导且，若，则. 法则2（型）：若，，且、在的某去心邻域内可导且，若，则. 使用步骤：分离参数 构造函数判断端点是否为或型对分子分母分别求导求极限确定参数范围. 【例4.1.】 已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、洛比达法则 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【例4.2.】 已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、洛比达法则 【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案. 【详解】当时，，即， ①当时，，， ②当时，等价于， 即， 令，，则， 记，， 则，因此在上单调递增， 且，所以， 从而在上单调递增， 所以， 由洛必达法则得， 即，. 综上所述，实数a的取值范围为. 【例4.3.】 已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、洛比达法则 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 【例4.4.】 已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）根据,  求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解. （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可. 【详解】（1）解：,   ； 函数在处取得极值，   ； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； （2）不等式恒成立可化为， 即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令， 则； 令， 则； 令， 则； 得在是减函数， 故， 进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值， 当时，没有意义，由洛必达法得， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.5 不等式中的恒（能）成立问题 目录 题型1：分离参数法求参数范围 3 题型2：分类讨论法求参数范围 5 题型3：双变量的恒（能）成立问题 6 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 7 1. 恒成立与能成立的定义 (1) 恒成立问题 在某个区间上，不等式对任意都成立，即，（或）恒成立。 (2) 能成立问题 在某个区间上，存在，使不等式成立，即，使成立。 提醒 "有解""存在"等关键词对应能成立，而"恒成立""总成立"对应恒成立. 2. 单变量的等价转化 设函数在区间上存在最大值和最小值，则： (1) 恒成立； (2) 恒成立； (3) ，使成立； (4) ，使成立。 3. 双变量的等价转化 设函数在区间上存在最大值和最小值，函数在区间上存在最大值和最小值，则： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 4. 解不等式恒（能）成立问题的常用方法 (1) 分离参数法：将含参不等式中的参数与变量分离，转化为不含参数的函数的最值问题。 (2) 分类讨论法：当参数不易分离或分离后函数复杂时，直接对参数分类讨论，通过函数的单调性与最值确定参数范围。 (3) 拆解法（双变量问题）：将双变量问题拆解为两个单变量的最值问题，利用上述等价转化关系求解。 (4) 洛必达法则：当分离参数后求最值出现或型时，利用洛必达法则求极限来确定参数的临界值。 法则1　若函数和满足下列条件： ①及； ②在点的某去心邻域内，与可导且； ③， 那么. 法则2　若函数和满足下列条件： ①及； ②在点的某去心邻域内，与可导且； ③ 那么. 题型1：分离参数法求参数范围 方法提炼 分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与变量分离的一种方法。分离参数后，将问题转化为不含参数的函数的最值问题。一般地，恒成立；恒成立；，使成立；，使成立。解题关键是，正确分离参数构造新函数求导确定单调性求出最值得出参数范围。 【例1.1.】 设函数．若当时，，求实数的取值范围． 【例1.2.】 已知函数，，，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例1.3.】 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【例1.4.】 已知存在使不等式成立，则m的取值范围为__________． 【例1.5.】 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【例1.6.】 ，若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________. 【例1.7.】 已知函数，，对于任意，且，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【例1.9.】 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为______． 题型2：分类讨论法求参数范围 方法提炼 分类讨论法是解决含参不等式恒成立问题的核心方法.当参数不易分离（或分离后函数过于复杂、出现型极限等）时，直接构造函数，对参数分类讨论，在参数的每一段上利用导数分析的单调性，求出的最值（或判断符号），从而确定参数范围.分类的标准通常是的零点是否在定义域内、在端点的符号等。关键步骤是：构造函数求导确定分类标准逐段讨论综合结论. 【例2.1.】 已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【例2.2.】 已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 【例2.3.】 已知函数，其中． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【例2.4.】 已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 设函数，若对于任意正实数x，都有，则实数a的最小值为______． 【例2.6.】 已知函数，．若，求的取值范围． 【例2.7.】 ，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 题型3：双变量的恒（能）成立问题 方法提炼 双变量的恒（能）成立问题的关键是正确转化量词，将双变量问题拆解为两个单变量的最值问题.常见的等价转化有： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解题关键：准确识别""和""的组合正确写出等价转化分别求两个函数的最值 解出参数范围. 【例3.1.】 设,. （Ⅰ）当时,求曲线在处的切线的方程; （Ⅱ）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数; （Ⅲ）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围. 【例3.2.】 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【例3.3.】 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【例3.4.】 已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的最小值为__________. 【例3.6.】 已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 题型4：洛必达法则在恒（能）成立中的应用 方法提炼 在解决不等式恒（能）成立、求参数取值范围的问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值.但在求最值时，如果分离参数后函数在端点处出现或型的极限，此时可利用洛必达法则求极限来确定参数的临界值. 洛必达法则： 法则1（型）：若，，且、在的某去心邻域内可导且，若，则. 法则2（型）：若，，且、在的某去心邻域内可导且，若，则. 使用步骤：分离参数 构造函数判断端点是否为或型对分子分母分别求导求极限确定参数范围. 【例4.1.】 已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【例4.2.】 已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【例4.3.】 已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【例4.4.】 已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $