26.1.1 二次函数的概念（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，系统梳理其一般形式（y=ax²+bx+c，a≠0）、判断依据及系数识别，通过复习函数、一次函数、一元二次方程导入，搭建新旧知识支架，引导学生从已知过渡到新知。 其亮点在于以实际问题（比赛场次、产量增长）抽象函数关系，培养数学眼光中的抽象能力与模型意识，通过“探究-辨析-应用”流程（如判断步骤“一化二看三判”）发展推理能力，分层练习覆盖基础与应用，助力学生夯实概念理解，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.1.1 二次函数 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/17 人教版九年级上册26.1.1二次函数专项练习 核心知识点梳理 一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，$$a eq0$$）的函数，叫做二次函数。其中$$x$$是自变量，$$a$$是二次项系数，$$b$$是一次项系数，$$c$$是常数项。判断二次函数的核心依据：自变量最高次数为2，二次项系数不为0，且解析式为整式形式。本专项练习聚焦二次函数概念辨析、解析式判定、参数求解和简单实际应用，夯实基础考点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. $$y=3x-1$$ B. $$y=2x^2+1$$ C. $$y=\frac{1}{x^2}$$ D. $$y=(x+1)^2-x^2$$ 2. 若函数$$y=(m-2)x^2+3x-1$$是二次函数，则$$m$$的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 3. 二次函数$$y=-2x^2+5x-3$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 2、5、3 B. -2、5、-3 C. 2、-5、3 D. -2、-5、-3 4. 若$$y=(m+1)x^{m^2+1}$$是二次函数，则$$m$$的值为（） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 5. 长方形周长为20cm，设一边长为$$x$$cm，面积为$$y$$cm²，则$$y$$与$$x$$的函数关系式是（） A. $$y=x^2+10x$$ B. $$y=-x^2+10x$$ C. $$y=x^2+20x$$ D. $$y=-x^2+20x$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 把二次函数$$y=(x-2)(x+3)$$化为一般形式为________。 7. 已知函数$$y=(k-3)x^2+2x$$，当$$k$$________时，该函数为二次函数。 8. 已知二次函数$$y=x^2-4x+2$$，当$$x=2$$时，$$y$$的值为________。 9. 若函数$$y=ax^2+bx+c$$为二次函数，且$$a=3$$，$$b=-2$$，$$c=5$$，则解析式为________。 10. 正方形边长增加$$x$$，原边长为4，新面积为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数关系式为________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）判断下列函数是否为二次函数，若是，写出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，说明理由。 （1）$$y=5x^2-3x$$ （2）$$y=2x+1$$ （3）$$y=-x^2+9$$ 12.（20分）已知函数$$y=(m^2-4)x^2+(m-2)x+m$$。 （1）当$$m$$为何值时，函数为二次函数？ （2）当$$m$$为何值时，函数为一次函数？ 13.（22分）某商店销售文创产品，每件进价20元，售价$$x$$元，每日销量为$$(100-x)$$件，每日利润为$$y$$元，求$$y$$与$$x$$的函数关系式，并判断是否为二次函数。 参考答案及解析 1. B 解析：A为一次函数，C为分式函数，D化简后为一次函数，只有B符合二次函数定义。 2. A 解析：二次项系数$$m-2 eq0$$，即$$m eq2$$。 3. B 解析：根据一般形式可直接判定对应系数。 4. A 解析：由$$m^2+1=2$$且$$m+1 eq0$$，解得$$m=1$$。 5. B 解析：另一边长为$$10-x$$，面积$$y=x(10-x)=-x^2+10x$$。 6. $$y=x^2+x-6$$ 解析：展开多项式整理为一般形式即可。 7. $$ eq3$$ 解析：保证二次项系数不为0。 8. -2 解析：代入$$x=2$$计算得$$y=4-8+2=-2$$。 9. $$y=3x^2-2x+5$$ 10. $$y=(x+4)^2=x^2+8x+16$$ 11. 解析：（1）是二次函数，二次项5、一次项-3、常数项0；（2）不是，自变量最高次数为1；（3）是二次函数，二次项-1、一次项0、常数项9。 12. 解析：（1）$$m^2-4 eq0$$，即$$m eq\pm2$$时为二次函数；（2）$$m^2-4=0$$且$$m-2 eq0$$，即$$m=-2$$时为一次函数。 13. 解析：单件利润$$(x-20)$$元，$$y=(x-20)(100-x)=-x^2+120x-2000$$，是二次函数。 情境导入 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点） 学习目标 1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫作一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫作正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 情境导入 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他 (n-1) 支球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 n(n-1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 探究新知 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t. 再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 探究新知 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 探究新知 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 探究新知 1. 返回 下列函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝ C．y＝x2(x＋3) D．y＝x(x＋1) D 举一反三 8 返回 2. 关于x的函数y＝(a－b)x2＋1是二次函数的条件是(　　) A．a≠0 B．a≠b C．b＝0 D．a＝0 B 举一反三 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 探究新知 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 探究新知 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 探究新知 1. 下列函数是二次函数的是(　C　) A. y＝5x B. y＝－2x＋1 C. y＝x2＋2 D. y＝－2 C 当堂检测 2.正方形的边长为 3，如果边长增加 x，面积增 加 y，那么 y 与 x 之间的函数解析式为(　D　) A. y＝3x B. y＝(3＋x)2 C. y＝9＋6x D. y＝x2＋6x D 3. [高频易错]若关于 x 的函数 y＝(m＋1)x｜m｜＋1＋4x－5 是二次函数，则 m＝ ⁠. 1　 当堂检测 (1)d＝n2－n； 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，－ ，0. (2)y＝1－x2. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1， 0，1. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为， －，0. 解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1， 0，1. 4. 分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 当堂检测 5. 某省 2024 年开展农村供水工程维修养护 1700 处，受益人口达到 180万人，预计该省 2026 年开展农村供水工程维修养护受益人数达到 y 万，设这两年该省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为 x，写出 y 与 x 之间的函数关系式(化成一般式). 解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180. 解：y＝180(1＋x)2＝180x2＋360x＋180. 当堂检测 6.某公园门票是每张 80 元，据统计每天进园人数为200 人，经市场调查发现，若门票每降低 1 元出售，则每天进园人数就增加 6 人.试写出当 x≤80 时，该公园每天的门票收入 y (元)关于门票价格 x (元)的函数关系式. y 是关于 x 的二次函数吗？ 解：由题意知当门票价格为 x 元时，每张门票降价 (80－x) 元， 那么每天进园人数就增加 6(80－x) 人， 则每天进园人数为 200＋6(80－x)＝(680－6x) (人). ∴y＝x(680－6x)＝－6x2＋680x. 显然，y 是关于 x 的二次函数. 当堂检测 返回 3. 二次函数y＝3x2－6x＋1的一次项系数为(　　) A．3 B．6 C．－6 D．1 C 举一反三 返回 4. 若关于x的函数y＝xm－2＋2x－7是二次函数，则m的值是________． 4 举一反三 判断下列函数是不是二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项． 返回 5. 函数解析式 是不是二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y＝－4x2＋2x－3         y＝－2x2－7         y＝x(x－1)         y＝(x＋1)(x－1)－x2         是 －4 2 －3 是 －2 0 －7 是 1 －1 0 不是 / / / 举一反三 [教材P32习题T1变式]进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的关系式为(　　) A．y＝a(1－2x) B．y＝2a(1－x) C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1－x2) 返回 6. C 举一反三 返回 7. [教材P31练习T2变式]一个正方形的边长为6，若它的边长增加x，面积就增加y，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝(x＋6)2 B．y＝x2＋62 C．y＝x2＋6x D．y＝x2＋12x D 举一反三 返回 8. 已知一个菱形两条对角线的长的和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm，菱形的面积为S cm2，则S与x之间的函数关系式为______________________，自变量x的取值范围是__________． 0＜x＜24 举一反三 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 课堂小结 谢谢观看 THANKS S＝－x2＋12x $