14.2 第5课时 “斜边、直角边” 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边（HL）”判定定理，通过复习SSS、SAS等已有全等判定方法，结合“想一想”和合作探究（画图、剪裁重合），搭建从一般三角形到直角三角形特殊判定的学习支架。 其亮点在于以动手操作（画Rt△并验证全等）培养数学眼光中的几何直观与空间观念，通过规范证明步骤（如先标注直角再用HL）强化数学思维的推理意识，结合思维导图系统梳理全等判定方法形成知识网络。学生能提升探究能力与逻辑表达，教师可直接使用分层练习与典型例题优化教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.2 第5课时 “斜边、直角边” 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/17 人教版八年级上册数学14.2第5课时“斜边、直角边（HL）”专项练习 知识点核心梳理：本节课学习直角三角形专属的全等判定定理——斜边、直角边定理，简写为HL。该定理内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL是直角三角形独有的判定方法，无需考虑角度和另一条直角边，是一般三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）之外的特殊定理。需要明确的核心前提：HL只适用于直角三角形，非直角三角形不能使用此方法判定全等。本节课重点易错点：普通三角形中“两边对应相等”无法判定全等，但在直角三角形中，斜边加任意一条直角边对应相等即可直接证全等；解题时必须先说明三角形为直角三角形，再使用HL定理，否则步骤不规范、会扣分。解题常用隐含条件：直角相等、公共直角边、同角的余角相等，常结合线段垂直、高、长方形、正方形等图形背景出题。 一、基础选择题（每题6分，共30分） 1. 斜边、直角边定理（HL）适用的三角形是（ ） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，要利用HL判定全等，需补充条件（ ） A. ∠A=∠D B. AC=DF C. ∠B=∠E D. BC=EF 3. 下列关于HL定理的说法正确的是（ ） A. 可以判定任意三角形全等 B. 只需两条直角边相等即可判定 C. 斜边和一条直角边对应相等即可 D. 斜边相等即可判定全等 4. 判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（ ） A. SSS B. SAS C. AAA D. HL 5. 如图，Rt△ABC与Rt△BAD中，∠C=∠D=90°，AB为公共斜边，若使用HL证明全等，需添加条件（ ） A. AC=BD B. ∠ABC=∠BAD C. BC=AD D. ∠CAB=∠DBA 二、基础填空题（每题6分，共30分） 1. 直角三角形全等的特殊判定方法是斜边直角边定理，简写为________。 2. HL定理的判定条件：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 3. 证明直角三角形全等时，除HL外，还可以使用________、________、ASA、AAS四种通用方法。 4. 使用HL定理解题前，必须先明确两个三角形均为________三角形。 5. 两个直角三角形斜边相等、一条直角边相等，则这两个三角形________。 三、解答证明题（每题20分，共40分） 1. 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。 2. 已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD=CD。求证：∠B=∠C。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：HL定理是直角三角形专属全等判定定理，仅对直角三角形有效，普通三角形不可使用。 2. B 解析：AB、DE为斜边，HL需斜边搭配一条直角边，补充直角边AC=DF，即可满足HL全等条件。 3. C 解析：HL定理核心条件为斜边与一条直角边对应相等，缺一不可，且仅限直角三角形使用。 4. C 解析：AAA仅能证明三角形相似，无法判定全等，其余方法均可判定直角三角形全等。 5. A 解析：AB为公共斜边，添加直角边AC=BD，满足斜边、直角边对应相等，可用HL证全等。 二、填空题 1. HL 2. 斜边；直角边 3. SSS；SAS 4. 直角 5. 全等 三、解答题 1. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，△ABC、△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知）。∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 2. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，△ADB、△ADC均为直角三角形。在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD（公共直角边），BD=CD（已知）。∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）。∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。 专项总结：本课时核心掌握直角三角形专属HL全等判定定理，牢牢记住“仅限直角三角形、斜边加一条直角边”两大核心条件，区分于普通三角形的四种判定方法。解题时优先观察图形是否为直角三角形，找准斜边与对应直角边，杜绝乱用定理的错误。书写步骤必须先标注直角，明确直角三角形身份，再罗列HL判定条件。在综合题型中，常结合垂直、中点、公共边等条件推导边长相等，利用HL证明全等，进而推导边角相等、线段平行、垂直等结论，是几何证明高频考点，需熟练掌握、规范书写。 情境导入 1.理解并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”； 2.能运用“HL”判定两个直角三角形全等. 学习目标 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写为“边角边”或“SAS”). 2.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”). 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). 4.三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”). 复习 我们已经学习的三角形全等的判定方法有哪些？ 情境导入 知识点：直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理) 探究新知 想一想 A B C A′ B′ C′ 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 合作探究 任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们全等吗？ A B C 作法： (1) 画 ∠MC'N = 90°； (2) 在射线 C'M 上截取 B'C' = BC； (3) 以点 B' 为圆心，AB 长为半径画弧， 交射线 C'N 于点 A'. (4) 连接 A'B'. 想一想：从中你能发现什么规律？ M C′ N B′ A′ A B C 归纳总结 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： “斜边、直角边”判定方法 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 典例精析 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D， AC = BD. 求证 BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 知识点1 用“ ”判定三角形全等 （第1题） 1.［2025石家庄期末］如图，于点 ， 于点，且 ，若添上一个条件后， 可以直接利用“”来证明 ，则这 个条件是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第2题） 2.如图，，， ，且 ，若 ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB. D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？ 解：由题意得CD=CE， ∵点C是路段AB的中点， ∴AC=CB， ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， A B C E D 当堂检测 A B C E D 在Rt△ACD和Rt△BCE中， CD=CE， AC=BC， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL). ∴AD=BE. ∴D，E到路段AB的距离相等. 1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB. D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？ 当堂检测 12 2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证：AE=DF. A B C E D F 证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠DFC=∠AEB=90°. ∵CE=BF，CE-EF=BF-EF， ∴CF=BE. 在Rt△DFC和Rt△AEB中， CD=BA， CF=BE， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB (HL)， ∴AE=DF. 当堂检测 3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. A C B D 解：∵∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACD中, AB=AC, AD=AD, 所以Rt△ABD≌Rt△ACD (HL), 所以BD=CD. 当堂检测 4.如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求证：BC=BE. 证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴∠ADC=∠AFE =90°. 在 Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL). AC=AE， AD=AF， A F E B C D 当堂检测 ∴CD=EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中， AD=AF， AB=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD=BF. ∴BD-CD=BF-EF. ∴BC=BE. 4.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求证：BC=BE. A F E B C D 当堂检测 3.如图，在中， ，是 上一点， 于点， ， 连接，若，则 等于______. 返回 举一反三 17 4.如图，在和 中， ，， ，求证： . 证明： ， ，即 . 又 ， ， ， . 返回 举一反三 18 5.如图，为了固定电线杆，将两根长均为 的 钢丝的一端同系在电线杆上的点 处，另一端分别固 定在地面上的两个锚上，那么两个锚 离电线杆 底部（ ）的距离相等吗？为什么？ 举一反三 19 解：相等.理由如下： ， . 在和 中， . ， 两个锚离电线杆底部 的距离相等. 返回 举一反三 20 知识点2 选择适当的方法判定直角三角形全等 6.下面关于直角三角形全等的判定，不正确的是( ) C A.有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等 B.有两边对应相等的两个直角三角形全等 C.有两角对应相等，且有一条公共边的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等 返回 举一反三 21 7.如图，，，请添加一个条件，使 .若 利用“ ”判定，则添加的条件是________________________；若利用“ ”判定，则添加的条件是___________________________________. （或） （或） 返回 举一反三 22 梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图. 已知两边 找第三边“SSS” 找两边的夹角“SAS” 看是否是直角三角形，若是“HL” 已知两角 找两角的夹边“ASA” 找任意一角的对边“AAS” 课堂小结 已知一边 一角 找这条边的另外一个邻角“ASA” 找这个角的另外一边“SAS” 找这条边的对角“AAS” 一边和它的邻角 一边和它的对角 找另外任意一个角“AAS” 看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL” 课堂小结 谢谢观看 THANKS $