2.1.1 倾斜角与斜率（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“倾斜角与斜率”，引导学生理解倾斜角定义及取值范围，掌握斜率定义、两点斜率公式，建立方向向量与斜率的转化关系，明确倾斜角与斜率的变化规律。课堂导入通过山坡抽象直线，观察倾斜程度差异，逐步探究确定直线的几何要素，从直观感知过渡到概念构建，形成连贯的学习支架。 这份导学案突出数形结合与问题驱动，借助向量法推导斜率公式培养逻辑推理能力，例题与跟踪练习结合易错点分析提升数学运算素养。通过倾斜角（形）与斜率（数）的对应关系，帮助学生构建知识体系，发展直观想象和理性思维，适合引导学生自主探究，提升数学核心素养。

2.1.1 倾斜角与斜率 （导学案） 1.初步了解解析几何的产生及其意义,初步认识坐标法思想. 2.经历直线的倾斜角和斜率概念的抽象过程,理解直线的倾斜角和斜率的概念,发展数学抽象素养. 3.通过斜率公式的推导,掌握过两点的直线的斜率公式,提升逻辑推理、直观想象素养. 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ①当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°； ②当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°. (2)倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． [拓展]　从运动变化的观点认识倾斜角 当直线与x轴相交时，直线的倾斜角的大小是由x轴绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角的大小． 知识点二　直线的斜率 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα． (2)斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率k＝． (3)直线的方向向量与斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [提醒]　(1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率． (2)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关. 知识点三　斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 [想一想]　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为直角时，斜率不存在；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ 学生：通过观察直线图，直观感受，倾斜程度不同 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，体会过一个点无法确定一条直线 结论：过一个点的直线有无数条无法确定一条直线 2、确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? 规定：水平直线的方向向右， 其他直线向上的方向为这条直线的方向 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，确定直线方向无法确定一条直线 结论：方向向量相同的直线有无数条无法确定一条直线 3、确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，确定过某点且确定直线方向可以确定一条直线 结论：已知一个点和一个方向可以确定一条直线. 作图：要求：在同一坐标系中画多条直线，画的所有直线都过同一个点，但彼此方向不同. 思考：这些直线的区别是它们的方向不同，我们如何表示这些直线的方向呢？ 学生：由图易知，这些直线倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同. 教师：我们可以通过本节课我们即将要学习的一个新概念：倾斜角，来表示直线的方向. 定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 观察：上图中直线的倾斜角为什么角，直线的倾斜角为什么角． 学生：观察并回答填空 思考1：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？ 预设：我们规定，此时直线的倾斜角为0° 思考2：你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？ 预设：直线倾斜角的范围为： 思考3：倾斜角为何不能等于180°？ 预设：当倾斜角为180°时直线l与x轴平行或重合，根据思考1的规定，此时倾斜角为0° 思考：倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 基本事实：两点确定一条直线 设，（其中）时直线l上的两点. 猜想：① 这两点的坐标与直线l的倾斜角α一定有存在某种内在关系 ② 这两点的坐标可以直接刻画直线l的倾斜程度 教师：下面我们利用向量法探究上述猜想 问题1：已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ 学生：求出，然后根据正切函数定义，求出. 预设：如图，易得向量，且直线的倾斜角为．由正切函数的定义，有： 问题2：类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 学生：尝试用问题1的方法，得出结果，体会遇到什么新的问题 预设：如图，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是．由正切函数的定义，有． 问题3：如果直线经过两点，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 学生：尝试用问题2的方法，得出结果，体会遇到什么新的问题 预设：如下图，当向量的方向向上时， ，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 ． 当向量的方向向上时，如图下图， ，也有 ． 思考：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 学生：以上问题探究方法，得出结论 教师：方法二：当直线与轴平行或重合时，直线倾斜角为0，，又此时，，所以当直线与轴平行或重合时，上述式子成立. 教师：综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： ． ① 定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即 ② 学生：由以上①②式可以得出斜率公式 斜率公式： 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：． 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？ 学生：根据斜率的定义算斜率，遇到什么问题？ 预设：因为没有意义，所以倾斜角为90°的直线斜率不存在. 追问：倾斜角为30°、45°、60°的直线斜率是多少？ 预设： 结论：所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 思考：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 教师：教师引导学生利用数形结合的思想，引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助学生理解其中的变化情况和特殊点的取值. 学生：总结出相应的结论. ① α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； ② α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； ③ 倾斜角不同，斜率不同，从而斜率可以表示不等于90°的直线的倾斜程度. ④ 刻画直线倾斜程度：从形的角度：倾斜角不同，倾斜程度不同；从数的角度：斜率不同，倾斜程度不同， 思考1：已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ 学生：分别计算出的斜率，即可得出结论 预设： ， 结论：计算直线的斜率时，与两点的顺序无关. 思考2：当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 学生：从倾斜角和斜率公式两个角度去尝试，可得出结论 预设： ① 倾斜角为90°，斜率不存在； ② x1=x2，斜率公式中分母为0; 所以，不适用于以上斜率公式. 思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 预设：我们知道，直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量．直线的方向向量的坐标为． 当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则． 师生：教师引导学生建立直线的方向向量与其斜率之间的关系，利用直线的方向向量 教师：了解关于解析几何的数学文化 例1 如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解析：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角． 总结：1、利用两点坐标求斜率应该注意什么？ ① 先判断两点的横坐标是否相等：相等则斜率不存在，不相等则用斜率公式求斜率； ② 先用斜率公式计算斜率，注意坐标相减的方向，切勿出现以下错误： 2、如何用斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角？ 斜率大于0，倾斜角为锐角；斜率小于0，倾斜角为钝角； 跟踪练习： 已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解析：直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为钝角； 由可知，直线的倾斜角为锐角． 师生：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；视学生学情而定，可以师生共同分析完成. 1.．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2.（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角 【详解】直线为，则直线的斜率，根据，可以得到， 结合直线倾斜角的取值范围为：，可得. 3.（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】斜率公式的应用 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 4.（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率公式的应用 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 5.（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选题）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线斜率的定义 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 倾斜角与斜率 （导学案） 1.初步了解解析几何的产生及其意义,初步认识坐标法思想. 2.经历直线的倾斜角和斜率概念的抽象过程,理解直线的倾斜角和斜率的概念,发展数学抽象素养. 3.通过斜率公式的推导,掌握过两点的直线的斜率公式,提升逻辑推理、直观想象素养. 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以 为基准，x轴 与直线l 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ①当直线l与x轴 时，它的倾斜角为0°； ②当直线l与x轴 时，它的倾斜角为90°. (2)倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为 ． [拓展]　从运动变化的观点认识倾斜角 当直线与x轴相交时，直线的倾斜角的大小是由x轴绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角的大小． 知识点二　直线的斜率 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 表示，即 ． (2)斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率k＝ ． (3)直线的方向向量与斜率的关系 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝ ． [提醒]　(1)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率． (2)斜率公式与点P1，P2的先后顺序无关. 知识点三　斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° α＝90° 斜率(范围) k>0 k<0 [想一想]　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为直角时，斜率不存在；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 将山坡抽象为一条直线，并把两个山坡对应的直线放入同一个平面直角坐标系中. 观察：这两条直线有何不同？ 学生：通过观察直线图，直观感受，倾斜程度不同 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ 1、过一点能不能确定一条直线? 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，体会过一个点无法确定一条直线 结论：过一个点的直线有无数条无法确定一条直线 2、确定直线方向（已知方向向量）能不能确定一条直线? 规定：水平直线的方向向右， 其他直线向上的方向为这条直线的方向 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，确定直线方向无法确定一条直线 结论：方向向量相同的直线有无数条无法确定一条直线 3、确定过某点且确定直线方向能不能确定一条直线? 师生：学生先独立思考，然后教师ppt演示，确定过某点且确定直线方向可以确定一条直线 结论：已知一个点和一个方向可以确定一条直线. 作图：要求：在同一坐标系中画多条直线，画的所有直线都过同一个点，但彼此方向不同. 思考：这些直线的区别是它们的方向不同，我们如何表示这些直线的方向呢？ 学生：由图易知，这些直线倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同. 教师：我们可以通过本节课我们即将要学习的一个新概念：倾斜角，来表示直线的方向. 定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 观察：上图中直线的倾斜角为什么角，直线的倾斜角为什么角． 学生：观察并回答填空 思考1：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？ 预设：我们规定，此时直线的倾斜角为0° 思考2：你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？ 预设：直线倾斜角的范围为： 思考3：倾斜角为何不能等于180°？ 预设：当倾斜角为180°时直线l与x轴平行或重合，根据思考1的规定，此时倾斜角为0° 思考：倾斜角可以刻画直线倾斜程度，是否还有其他方法刻画直线的倾斜程度呢? 基本事实：两点确定一条直线 设，（其中）时直线l上的两点. 猜想：① 这两点的坐标与直线l的倾斜角α一定有存在某种内在关系 ② 这两点的坐标可以直接刻画直线l的倾斜程度 教师：下面我们利用向量法探究上述猜想 问题1：已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？ 学生：求出，然后根据正切函数定义，求出. 预设：如图，易得向量，且直线的倾斜角为．由正切函数的定义，有： 问题2：类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？ 学生：尝试用问题1的方法，得出结果，体会遇到什么新的问题 预设：如图，．平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是．由正切函数的定义，有． 问题3：如果直线经过两点，，那么与，的坐标有怎样的关系？ 学生：尝试用问题2的方法，得出结果，体会遇到什么新的问题 预设：如下图，当向量的方向向上时， ，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有 ． 当向量的方向向上时，如图下图， ，也有 ． 思考：当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ ． ① 定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示，即 ② 学生：由以上①②式可以得出斜率公式 斜率公式： 注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：． 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． 思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？ 追问：倾斜角为30°、45°、60°的直线斜率是多少？ 结论：所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 思考：当直线的倾斜角由逐渐增大到时，其斜率如何变化？为什么？ 思考1：已知直线上的两点，，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点的顺序有关吗？ 思考2：当直线平行于轴，或与轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 教师：了解关于解析几何的数学文化 例1 如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 1.．（25-26高二下·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖南长沙·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选题）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $