2.3 第2课时 一元二次不等式的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用，系统梳理分式不等式转化为整式不等式的解法，三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的内在联系，以及实际问题中的数学建模，构建从基础解法到综合应用的递进学习支架。 通过问题驱动（如分式不等式与整式不等式等价性探讨）培养逻辑推理，一题多解（三个“二次”关系例题）提升数学运算，实际应用题（节能灯销售、限速责任判定）强化数学建模。课中助力教师引导学生深度探究，课后学生可通过分层训练与练习巩固知识，弥补薄弱环节。

第二课时　一元二次不等式的应用 课标 要求 1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法（数学运算）. 2.能够应用三个“二次”之间的关系解决一些问题（逻辑推理、数学运算）. 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决（数学建模、数学运算）. 知识点一　简单的分式不等式 问题　不等式≥0的解集与（x＋1）（x－2）≥0的解集相同吗？不等式＜0与（x－3）（x＋2）＜0等价吗？ 提示：不相同；等价. 简单分式不等式的解法 解下列不等式： （1）≥0； （2）＜3. 解：（1）不等式≥0可转化成不等式组解得x≤－1或x＞3，所以原不等式的解集为{x｜x≤－1或x＞3}. （2）不等式＜3可改写为－3＜0， 即＜0， 可将这个不等式转化成2（x－1）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜1， 所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 规律方法 分式不等式的解法 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零的形式，然后求解. 训练1　（1）不等式＜0的解集为　{x｜x＞1或x＜－}　； （2）不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为　5　. 解析：（1）不等式＜0可转化为（2x＋1）（1－x）＜0，解得x＞1或x＜－.故原不等式的解集为{x｜x＞1或x＜－}. （2）由于原不等式等价于因此结合不等式的解集知a＝5. 知识点二　三个“二次”之间的关系 〔一题多解〕若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，则关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集为　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x＜或x＞} 联想到一元二次不等式二次项系数的符号及对应一元二次方程的根与系数的关系 答案：{x｜－3＜x＜－2} 解析：法一　由题意知所以代入不等式cx2－bx＋a＞0中得ax2＋ax＋a＞0（a＜0），即x2＋x＋1＜0，化简得x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.所以所求不等式的解集为{x｜－3＜x＜－2}. 法二　由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a＜0，所以－＝＋＝，＝×＝，由cx2－bx＋a＞0得x2－x＋1＜0，即x2＋x＋1＜0，即x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.即不等式cx2－bx＋a＞0的解集为{x｜－3＜x＜－2}. 变式　若将本例中“”改为“”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知所以 代入不等式cx2－bx＋a＞0， 得ax2＋ax＋a＞0（a＞0）， 即x2＋x＋1＞0，化简得x2＋5x＋6＞0， 解得x＞－2或x＜－3. 所以所求不等式的解集为{x｜x＞－2或x＜－3}. 规律方法 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 训练2　（1）〔多选〕已知不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x｜－3＜x＜2}，下列说法正确的是（　BD　） A.a＜0 B.－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根 C.b＝－1 D.不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x｜x≤－1或x≥2} （2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为　{x｜x＜或x＞1}　. 解析：（1）因为不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x｜－3＜x＜2}，所以－3和2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根，则有解得故A、C错误，B正确；不等式x2－bx－2a≥0，即x2－x－2≥0，可得解集为{x｜x≤－1或x≥2}，故D正确. （2）由题图得，1，3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a＜0，所以解得所以cx2＋bx＋a＜0，即3ax2－4ax＋a＜0（a＜0），化简得3x2－4x＋1＞0，解得x＜或x＞1，所以所求不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}. 知识点三　一元二次不等式的实际应用 （链接教材P53例4、P54例5）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.一名大学毕业生按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. （1）设该毕业生每月获得的利润为w（单位：元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系； （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果该毕业生想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x－10）元，每月的销售量为（－10x＋500）件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝（x－10）·（－10x＋500）（10≤x≤50）. （2）由每月获得的利润不小于3 000元，得（x－10）·（－10x＋500）≥3 000，化简得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝（12－10）（－10x＋500）＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p｜500≤p≤600}. 规律方法 解不等式实际应用题的步骤 训练3　在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系s甲＝0.1x甲＋0.01，s乙＝0.05x乙＋0.005.问超速行驶谁应负主要责任？ 解：由题意，列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01＞12， s乙＝0.05x乙＋0.005＞10， 分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30， x乙＜－50或x乙＞40. 由于x＞0，从而得x甲＞30，x乙＞40. 经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任. 1.不等式≥0的解集为（　　） A.{x｜0≤x≤1} B.{x｜0＜x≤1} C.{x｜x≤0或x≥1} D.{x｜x＜0或x≥1} 解析：B　原不等式可化为解得故解集为{x｜0＜x≤1}.故选B. 2.某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x（元）.为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足（　　） A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 解析：C　由题意可得（300－2x）x－（500＋30x）≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则（x－65）（x－70）≤0，故65≤x≤70. 3.若关于x的不等式（mx－1）（x＋2）＞0的解集为{x｜－2＜x＜}，则m的取值范围是　{m｜m＜－}　. 解析：依题意，m＜0，∴（mx－1）（x＋2）＞0⇔（ x－）（x＋2）＜0.又（mx－1）（x＋2）＞0的解集为{x｜－2＜x＜}，∴－2＜，且m＜0，因此m＜－. 4.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，求关于x的不等式cx2－ax＋b＞0的解集. 解：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}， 所以a＜0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根， 所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a， 所以不等式cx2－ax＋b＞0可化为－2ax2－ax＋a＞0， 因为a＜0，所以2x2＋x－1＞0， 即（2x－1）（x＋1）＞0，解得x＞或x＜－1. 所以不等式cx2－ax＋b＞0的解集为{x｜x＜－1或x＞}. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式≥0的解集为（　　） A.{x｜－1＜x≤1} B.{x｜－1≤x＜1} C.{x｜－1≤x≤1} D.{x｜－1＜x＜1} 解析：B　原不等式等价于∴－1≤x＜1. 2.已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是，则a＝（　　） A.2 B.－2 C.－ D. 解析：B　∵关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是{x｜x＜－1或x＞－}，∴方程（ax－1）（x＋1）＝0的两根为－1与－，且a＜0，故可得＝－，解得a＝－2，故选B. 3.关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜0 B.m＞0 C.m≠0 D.不确定 解析：B　因为0∈M，所以代入不等式＜0得－m＜0，即m＞0，故选B. 4.若不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2＋x＋c的图象大致为（　　） 解析：C　因为不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则解得a＝－1，c＝2.故所求函数解析式为y＝－（x＋1）（x－2），抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为－1，2，故选C. 5.〔多选〕若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜2}，则下列选项正确的是（　　） A.b＜0且c＞0 B.a－b＋c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1} 解析：ABD　对于A，由题意知a＜0，且－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝－2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；对于B，由题意知当x＝1时不等式成立，所以a－b＋c＞0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题意得ax2＋bx＋c＞0可转化为ax2＋ax－2a＞0，因为a＜0，所以x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，所以D正确. 6.〔多选〕下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（　　） A.（x＋8）（x2＋2x＋3）＜2 B.x＋8＜2（x2＋2x＋3） C.＜ D.2x2＋3x－2＞0 解析：BD　依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等式＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0. 7.不等式x＋＜6的解集为　{x｜0≤x＜4}　. 解析：原不等式可化为（）2＋－6＜0，令t＝（t≥0），则原不等式可化为t2＋t－6＜0，解得－3＜t＜2.又t≥0，所以0≤t＜2，即0≤＜2，所以0≤x＜4，故原不等式的解集为{x｜0≤x＜4}. 8.某杂志以每册12元的价格可发行12万册，设定价每提高（降低）1元，发行量减少（增加）4万册.若要使总收入不低于200万元，则该杂志的最高定价是　10元　. 解析：设杂志的定价为x元，根据题意得x（ 120 000－×40 000）＝－40 000x2＋600 000x≥2 000 000，解得5≤x≤10，所以该杂志的最高定价是10元. 9.（13分）解下列不等式： （1）＜0；（2）≥3. 解：（1）＜0可转化为（2x－5）（x＋4）＜0， 解得－4＜x＜， 所以原不等式的解集为. （2）≥3⇔－3≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔解得≤x＜2，故原不等式的解集为. 10.（15分）已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜＜x＜}. （1）求a，c的值； （2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0. 解：（1）由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1. （2）由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为{x｜≤x≤1}. 11.（2026·苏州期中）已知集合A＝{x｜≤0}，B＝{x｜x＜a}，若A∩B＝A，则整数a的最小值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　由不等式≤0，得解得－2≤x＜3.故集合A＝{x｜－2≤x＜3}，若A∩B＝A，则A⊆B，所以a≥3，则整数a的最小值为3. 12.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 13.〔多选〕已知a∈Z，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A.5 B.6 C.7 D.9 解析：BC　设y＝x2－6x＋a，函数图象开口向上，且对称轴为x＝3，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足当x＝2时，y≤0，且当x＝1时，y＞0，即解得5＜a≤8，又因为a∈Z，所以a＝6或7或8.故选B、C. 14.若关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集为　{x｜x＜－3或x＞2}　. 解析：∵关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，∴a＜0且b＝2a，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0，可化为ax2＋ax－6a＜0，即x2＋x－6＞0，∴（x－2）（x＋3）＞0，∴x＞2或x＜－3，∴不等式的解集为{x｜x＜－3或x＞2}. 15.（15分）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：（1）由题意得y＝[12（1＋0.75x）－10（1＋x）]×10 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1）， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000（0＜x＜1）. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 解得0＜x＜， 所以投入成本增加的比例x的取值范围为{x｜0＜x＜}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $