2.2 第2课时 基本不等式的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式的应用，系统梳理利用基本不等式证明不等式（如已知a+b+c=1证乘积或和式不等式）、解决实际问题（电商进货费用、仓库选址费用）、处理几何问题（矩形花坛面积、海报空白面积）等核心内容，并拓展基本不等式链，构建从理论证明到实际与几何应用的递进学习支架。 该资料以逻辑推理为核心，通过变式训练和规律方法总结提升证明能力，结合电商进货、仓库选址等情境培养数学建模与运算能力，利用圆中线段关系的几何解释发展数学眼光。课中例题与训练层层递进助力教师教学，课后练习题覆盖多场景帮助学生查漏补缺。

第二课时　基本不等式的应用 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用（逻辑推理）. 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大（小）值问题（数学建模、数学运算）. 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题（数学建模、数学运算）. 知识点一　利用基本不等式证明不等式 （链接教材P46练习2题）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：（ －1）（ －1）（ －1）≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得（ －1）（ －1）（ －1）≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 变式　在本例条件下，求证：＋＋≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋＝3＋（ ＋）＋（ ＋）＋（ ＋）≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 规律方法 1.利用基本不等式证明不等式的策略 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件. 2.利用基本不等式证明不等式的注意事项 （1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； （3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 训练1　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以由基本不等式，得a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 知识点二　基本不等式的实际应用 某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，每次购买x件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数n＝　10　. 解析：由题得nx＝6 000，x＝.设总费用为y元，则y＝300n＋×10＝300n＋5x＝300n＋.因为n＞0，所以300n＋≥2＝6 000，当且仅当300n＝，即n＝10时，y取最小值，即总费用最低. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 训练2　某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站　5　km处. 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝，∴y1＝，y2＝x，则两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥2×4＝8，当且仅当x＝，即x＝5时等号成立.故当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 知识点三　基本不等式在几何中的应用 （2026·济南月考）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4 m，AD＝3 m，当矩形花坛AMPN的面积最小时，BM＝（　　） A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 解析：B　设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得＝，解得ND＝，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）（ 3＋）＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4 m时，矩形花坛AMPN的面积最小. 规律方法 利用基本不等式求几何中最值问题的思路 （1）依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示； （2）构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形式； （3）数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答. 训练3　如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值为　56　dm2. 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝（x＋4）·（ ＋2）－72＝8＋2（ x＋）≥8＋2×2＝56，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立，即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 1.∃x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是（　　） A.a＞2 B.a≥2 C.a＜2 D.a≤2 解析：B　∃x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. 2.（2026·连云港月考）某校团委组织了一场竞赛活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（　　） A.30 m B.50 m C.80 m D.110 m 解析：C　设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，则所用警戒线的长度为2≥2×2＝80，当且仅当＝x，即x＝20时，等号成立.所以所用警戒线的长度的最小值为80 m.故选C. 3.文具店的某种商品的年进货量为1 000件，分若干次进货，每次进货量相同，且所需运费为10元，运来的货物需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（　　） A.20件 B.500件 C.100件 D.250件 解析：C　设每次进货量为x件，一年的运费和租金总费用为y元.由题意，得y＝10·＋2·＝＋x≥2＝200，当且仅当x＝100时取等号.故为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为100件. 4.已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：∵a，b，c＞0，利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， ∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， ∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 　基本不等式链 （链接教材P45探究）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤. 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立. 【问题探究】 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点D作OE的垂线，垂足为点F.试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式， ，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 解：OC＝，CD＝＝＝， 由教材母题知DE＝，在△ODE中，由等面积法得DF＝＝，又由△EFD∽△DFO，得EF＝＝.由图形易知EF＜DE＜OC＜CD.故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立. 利用基本不等式证明如下： 由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤≤（当且仅当a＝b时取等号）. 要证≤，即证（ ）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）. 综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号. 规律方法 　　若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤，当且仅当a＝b时取等号.其中，叫做正实数a，b的调和平均数，叫做正实数a，b的几何平均数，叫做正实数a，b的算术平均数，叫做正实数a，b的平方平均数. 【迁移应用】 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　） A.≥ B.≤ C.≤ D.ab≤ 解析：BD　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时，＞0，则（ ）2－（ ）2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；D选项，ab－＝＝≤0，ab≤恒成立，故D选项正确. （时间：60分钟　满分：100分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　） A.s≥t B.s＞t C.s≤t D.s＜t 解析：A　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，当且仅当b＝1时等号成立，所以s≥t. 2.若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值是（　　） A.3 B.6 C.6 D.12 解析：D　设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形的面积为18，即ab＝36，所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以两条直角边的和的最小值是12. 3.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　） A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 解析：B　假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算. 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：C　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋20×2＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的最低总造价是160元.故选C. 5.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a（a＞0），第三年的增长率为b（b＞0），这两年的平均增长率为x（x＞0），则（　　） A.x＝ B.x≤ C.x＞ D.x≥ 解析：B　由条件知A（1＋a）（1＋b）＝A（1＋x）2，所以（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）≤，所以1＋x≤1＋，故x≤. 6.〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A.车辆运营年数越多，利润越高 B.车辆在第6年时，总利润最高 C.车辆在前5年的平均利润最高 D.车辆每年都能盈利 解析：BC　由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－（x＋）＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 7.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过　2　h后池水中药品的浓度达到最大. 解析：当t＝0时，C＝0，当t＞0时，C＝＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时取等号.因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 8.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为　　. 解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，且≤a≤，≤b≤，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号. 9.（10分）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋， 同理1＋＝2＋， 所以＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立， 所以≥9. 10.（13分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时. （1）请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解：（1）由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时， 则y＝0.5x2·＋800·＝150·（0＜x≤50）. （2）由（1）得y＝150≥300＝12 000， 当且仅当x＝，即x＝40时取等号. 故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少. 11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A.30件 B.60件 C.80件 D.100件 解析：B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 12.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，其中p，q为正百分数，则提价幅度较大的一种是（　　） A.先提价p，后提价q（p≠q） B.先提价q，后提价p（p≠q） C.分两次提价（p≠q） D.分两次提价（p≠q） 解析：D　设提价前的价格为1，由题意可知，A、B选项的两次提价后的价格均为（1＋p）（1＋q）；C选项的提价后的价格为（1＋）2，D选项的提价后的价格为（1＋）2，又∵＜，∴（1＋p）（1＋q）＜（1＋）2＜（1＋）2，∴提价幅度较大的为D选项. 13.〔多选〕如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是（　　） A.（a＋b）2≥4ab B.当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C.（a－b）2≤4ab D.（a＋b）2＞（a－b）2 解析：ABD　由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有（a＋b）2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为（a－b）2，结合图形可知（a＋b）2＞（a－b）2，且当a＝b时A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.故选A、B、D. 14.“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为　3　. 解析：因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝＝7.又由三角形边长关系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝≤×＝×＝3，当且仅当7－b＝7－c即b＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3. 15.（15分）如图所示，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x. （1）用x表示DP，并求出x的取值范围； （2）求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解：（1）矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24， ∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x， ∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x， ∴6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC，从而得DP＝PB'， ∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得（12－x）2＋DP2＝（x－DP）2， ∴DP＝12－（6＜x＜12）. （2）在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝（12－x）（12－）＝108－（6x＋）（6＜x＜12）. ∵6＜x＜12， ∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立. ∴S△ADP＝108－（6x＋）≤108－72， ∴当x＝6时，△ADP的面积取得最大值108－72. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $