2.2 第1课时 基本不等式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，从重要不等式推导基本不等式，明确正数算术平均数不小于几何平均数的关系，通过直接应用（积定和最小、和定积最大）及变形应用（配凑法、“1”的代换）构建层层递进的学习支架。 资料以天平称重情境导入激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。证明过程通过问题引导多种方法推导，培养逻辑推理。例题变式注重数学运算，规律方法总结助学生掌握技巧，课中辅助教学，课后练习题分层帮助查漏补缺。

第一课时　基本不等式 课标要求 情境导入 1.了解基本不等式的证明过程，掌握基本不等式≤（a，b≥0）（逻辑推理）. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题，掌握几种求最值的技巧（数学运算）. 某金店有一架天平，左右两臂长略有不等，直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后以作为项链的质量来计算，试问：顾客吃亏还是店主吃亏？本节课就让我们一起来探究吧！ 知识点一　基本不等式的证明与理解 问题　（1）重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.当a＞0，b＞0时，用，分别代替重要不等式中的a，b可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？ 提示：≥，当且仅当a＝b时，等号成立. （2）你能证明（1）中得到的结论吗？ 提示：法一（作差法）　－＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 法二（性质法）　要证≤，只需证2≤a＋b，只需证2－a－b≤0，只需证－（－）2≤0，即证（－）2≥0， 显然（－）2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立. 1.基本不等式：如果a＞0，b＞0，那么　≤　，当且仅当a＝b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的　算术平均数　，叫做正数a，b的　几何平均数　. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数. 提醒：基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤（ ）2≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）. 1.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.对∀a，b∈R，≥成立 B.若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 C.对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若x＞2，则x＋≥2中可以取等号 解析：BC　A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋≥2＝2取等号的条件为无解，故不等式中不可取等号. 2.下列不等式的推导过程正确的是　①③　.（填序号） ①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③若x＜0，则x＋＝－≤－2·＝－4. 解析：②中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，所以＋a≥2＝4是错误的；①和③可由基本不等式推导得到，正确. 规律方法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 （1）检查是否满足应用基本不等式的条件； （2）应用基本不等式； （3）检验等号是否成立. 知识点二　直接应用基本不等式求最值 问题　你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？ 提示：关键看代数式是否具备：（1）转化为两个正数的和或积的形式；（2）和或积是否是一个定值；（3）不等式中的等号是否能取到. 已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2　； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当　x＝y　时，积xy有最大值　S2　. 提醒：三个关键点：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. （1）若x＞0，求y＝4x＋的最小值； （2）若x＋y＝40，且x，y都是正数，求xy的最大值. 解：（1）∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12， 当且仅当4x＝，即x＝时等号成立， ∴y＝4x＋的最小值为12. （2）由xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，则所求最大值为400. 变式　若x＜0，求y＝4x＋的最大值. 解：∵x＜0，∴－x＞0， ∴（－4x）＋≥2＝12， ∴y＝4x＋＝－（ －4x＋）≤－12， 当且仅当－4x＝－，即x＝－时等号成立， 故原式的最大值为－12. 规律方法 利用基本不等式求最值的策略 训练1　（1）｜a＋｜的最小值是　2　； （2）若0＜a＜2，则的最大值为　1　. 解析：（1）｜a＋｜＝｜a｜＋≥2＝2，当且仅当｜a｜＝，即a＝±时，取等号. （2）当0＜a＜2时，2－a＞0，则≤＝1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立. 提能点　变形应用基本不等式求最值 角度1　配凑法 （1）当x＞3时，y＝2x＋的最小值为　　； （2）当0＜x＜时，y＝4x（3－2x）的最大值为　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 当x＞3时，求y＝2x＋的最小值 观察分母2x－6，结合x＞3，对函数配凑变形，构造“积”为定值 当0＜x＜时，求y＝4x（3－2x）的最大值 对函数配凑变形，构造“和”为定值 答案：（1）10　（2） 解析：（1）因为x＞3，所以2x－6＞0，所以y＝2x＋＝（2x－6）＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号.所以y＝2x＋的最小值是10. （2）因为0＜x＜，所以3－2x＞0，所以y＝4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]≤2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”.所以y的最大值为. 规律方法 配凑法求最值的策略 　　将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式（和或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件. 角度2　巧用“1”的代换求最值 已知a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋b的最小值为　25　. 解析：∵a＞0，b＞0，＋＝1，∴a＋b＝（ ＋）（a＋b）＝1＋16＋＋≥17＋2＝17＋2×4＝25.当且仅当＝，即b2＝16a2时，等号成立.由解得故当a＝5，b＝20时，a＋b取得最小值25. 规律方法 　　“1”的代换就是指凑出“1”，使要求的式子通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 训练2　（1）当x＞0时，y＝的最小值为　　； （2）已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为　9　. 解析：（1）当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立， 所以当x＞0时，y＝的最小值为. （2）＋＝（ ＋）（2a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.所以＋的最小值为9. 1.下列结论正确的是（　　） A.当x＞0且x≠1时，x＋≥2 B.当x＞0时，＋≥2 C.当x≠0时，x＋的最小值为2 D.当x＞0时，x＋的最小值为2 解析：B　选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项均为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确. 2.已知x＜0，则x＋－2有（　　） A.最大值0 B.最小值0 C.最大值－4 D.最小值－4 解析：C　∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋－2＝－［（－x）＋］－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－，即x＝－1时“＝”成立.∴x＋－2（x＜0）有最大值－4. 3.若0＜2x＜3，则（3－2x）x的最大值为（　　） A.　　　 B. C.2　　　 D. 解析：D　∵0＜2x＜3，∴3－2x＞0，x＞0，∴（3－2x）x＝（3－2x）·2x≤（ ）2＝，当且仅当3－2x＝2x，即x＝时取等号，∴（3－2x）x的最大值为. 4.若x＞1，求函数y＝的最小值. 解：因为x＞1，所以x－1＞0， 所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立， 所以当x＝2时，y的最小值为4. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 解析：B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.下列各式中最小值为2的是（　　） A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋ C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0） 解析：B　A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3. 3.已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值为（　　） A.3 B.2 C.2 D.1 解析：C　由于x＞0，y＞0，xy＝3，所以x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立.所以x＋y的最小值为2.故选C. 4.若a，b都是正数，则（ 1＋）（ 1＋）的最小值为（　　） A.5 B.7 C.9 D.13 解析：C　因为a，b都是正数，所以（ 1＋）（ 1＋）＝5＋＋≥5＋2＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C. 5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A.≥ B.a＋≥2 C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2 解析：CD　当a＜0，b＜0时，≥不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D. 6.〔多选〕若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是（　　） A.a＋≥4 B.a2＋≥8 C.＋＞ D.＋≥2 解析：BD　对于A、C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故A、C不符合题意；对于B，a2＋≥2＝8，当且仅当a2＝，即a＝±2时等号成立，故B符合题意；对于D，∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故D符合题意. 7.已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为　3　，取得最大值时y的值为　2　. 解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号. 8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为　3　. 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 9.（13分）（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值； （2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值. 解：（1）∵x＞0，∴x＋≥4. ∴y＝2－（ x＋）≤2－4＝－2. 当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号， ∴y＝2－x－的最大值为－2. （2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x）≤×（ ）2＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号， 故y＝x（1－2x）的最大值为. 10.（15分）已知x，y都是正数. （1）若xy＝4，求＋的最小值； （2）若x＋2y＝3，求＋的最小值. 解：（1）∵xy＝4，且x＞0，y＞0， ∴＋≥2＝2＝， 当且仅当x＝2，y＝时取等号， 即＋的最小值为. （2）∵x＋2y＝3，∴＋＝1， ∴＋＝（ ＋）（ ＋）＝＋＋＋≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号， ∴＋的最小值为1＋. 11.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为（　　） A.16 B.9 C.4 D.36 解析：B　（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝（ ）2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9. 12.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.的最小值为 C.＋的最大值为 D.a2＋b2的最大值为 解析：AC　对于A，＋＝（ ＋）（a＋b）＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤（a＋b）＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，∵（＋）2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选A、C. 13.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为　　. 答案：2 解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2. 14.若x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，则x＋3y＋5的最小值为　6　. 解析：因为x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，所以x＋3y＋5＝（x＋2）＋3（y＋1）≥2＝6，当且仅当x＋2＝3（y＋1），（x＋2）（y＋1）＝9，即时，等号成立，故当时，（x＋3y＋5）min＝6. 15.（15分）已知实数a＞b＞0. （1）比较b（a－b）与的大小； （2）求a2＋的最小值及取最小值时a，b的值. 解：（1）∵a＞b＞0，∴a－b＞0， ∴b（a－b）≤［］2＝，当且仅当b＝a－b，即2b＝a时，等号成立. ∴b（a－b）≤. （2）由（1）知0＜b（a－b）≤，当且仅当2b＝a时等号成立， ∴≥，∴≥， ∴a2＋≥a2＋≥2＝20，当且仅当a2＝且2b＝a，即时取等号. 综上可知，当a＝，b＝时，a2＋取得最小值20. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $