2.1 第2课时 等式性质与不等式性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学等式性质与不等式性质核心知识点，先系统梳理等式的对称性、传递性等性质，再通过生活实例引出不等式性质，进而结合证明、求代数式范围及“糖水不等式”拓展，构建从基础到应用的学习支架。 资料以生活情境（如“甲比乙高”“糖水变甜”）培养数学眼光，通过逻辑推理证明性质发展数学思维，设置多选、证明等题型及规律总结强化数学语言表达。课中辅助教师引导学生推理，课后学生可借训练题与方法总结查漏补缺。

第二课时　等式性质与不等式性质 课标 要求 1.了解等式的性质（逻辑推理）. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题（逻辑推理、数学运算）. 知识点一　等式的性质 性质 别名 内容 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 提醒：（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性；（2）性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性. 1.〔多选〕若ma＝mb，则下列等式一定成立的是（　　） A.a＝b B.ma－3＝mb－3 C.－ma＝－mb D.ma＋8＝mb＋8 解析：BCD　当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb－3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知－ma＝－mb.　 2.设a∈R，求关于x的方程ax＝2的解集. 解：当a＝0时，方程ax＝2无解，此时解集为⌀； 当a≠0时，方程ax＝2的解为x＝， 此时解集为{}. 综上，当a＝0时，解集为⌀；当a≠0时，解集为. 知识点二　不等式的性质 问题　（1）如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高.如果a＞b，b＞c，那么a＞c. （2）若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数一定比乙班多吗？如何用符号语言表述这种不等关系？ 提示：一定.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b　＜　a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c　＞　b＋c 可逆 性质 别名 性质内容 注意 4 可乘性 ⇒ac　＞　bc c的 符号 ⇒ac　＜　bc 5 同向 可加性 ⇒a＋c　＞　b＋d 同向 性质 别名 性质内容 注意 6 同向同正 可乘性 ⇒ac　＞　bd 同向 同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒an　＞　bn （n∈N，n≥2） 同正 提醒：（1）性质4（可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”；（2）性质5（同向可加性），即“同向不等式只能相加，不能相减”. 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A.若a＞b，c＞d则a－d＞b－c B.a2＞b2⇒a＞b＞0 C.若a＞b，c＞d＞0，则＞ D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 解析：AD　对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而＝－1，＝－1，＝，故C为假命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题. 规律方法 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 训练1　（1）已知a＞b，则下列关系中正确的是（　A　） A.a－c＞b－c B.ac＞bc C.｜a｜＞｜b｜ D.a2＞b2 （2）〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　AD　） A.若a＞b且ab＞0，则＜ B.若＜且c＞0，则a＞b C.若a＞b＞0，c＜d＜0，则＞ D.若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞ 解析：（1）对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误；对于C、D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，则a2＜b2，故D错误. （2）由ab＞0，得＞0.又a＞b，所以·a＞·b，即＜，A正确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足＜且c＞0，但a＜b，B错误；由c＜d＜0，得－c＞－d＞0，＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，＜，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以＞＞0，所以＞，D正确. 知识点三　利用不等式的性质证明不等式 （链接教材P42例2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，证明： （1）ac＜bd； （2）＜. 证明：（1）因为a＞b＞0，c＜0，所以ac＜bc＜0， 又c＜d＜0，b＞0，所以bc＜bd＜0，故ac＜bd. （2）由c＜0，得－c＞0， 因为a＞b＞0，所以a－c＞b－c＞0， 所以0＜＜. 又因为a＞0，所以＜. 规律方法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 训练2　（1）已知a＜b＜0＜c＜d，求证：ad＋c＜bc＋d； （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 证明：（1）因为a＜b＜0， 所以－a＞－b＞0，又0＜c＜d， 所以－ad＞－bc，即ad＜bc. 又c＜d，所以ad＋c＜bc＋d. （2）因为bc－ad≥0，所以bc≥ad， 所以bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b）， 又bd＞0，所以＞0，两边同乘以得，≤. 提能点　利用不等式的性质求代数式的范围 已知1＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围为　　，2a－b的取值范围为　　　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 求的取值范围 根据b的范围求其倒数的范围 求2a－b的取值范围 根据b的范围求－b的范围 答案：＜＜2　－2＜2a－b＜9 解析：因为3＜b＜4，所以＜＜，所以＜＜2.因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即－2＜2a－b＜9. 变式1　本例条件不变，则－的取值范围为　－8＜－＜－1　. 解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以＜＜1，所以＜＜4，所以－4＜－＜－，所以－8＜－＜－1. 变式2　若将本例条件变为“1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2”，则3a＋2b的取值范围为　2≤3a＋2b≤11　. 解析：设3a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b）＝（x＋y）a＋（x－y）b，则解得所以3a＋2b＝（a＋b）＋（a－b），因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以≤（a＋b）≤10，－≤（a－b）≤1，因此，2≤3a＋2b≤11. 规律方法 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围. 训练3　已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围. 解：因为－＜α＜，－＜β＜， 所以－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π. 又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π， 又2α－β＝α＋（α－β），所以－＜2α－β＜π. 1.与a＞b等价的不等式是（　　） A.｜a｜＞｜b｜ B.a2＞b2 C.＞1 D.a3＞b3 解析：D　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1，故A、B、C都不正确. 2.〔多选〕已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　） A.ac2＞bc2⇒a＞b B.＞⇒a＞b C.⇒＞ D.⇒＞ 解析：AC　由ac2＞bc2可知c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，A成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b⇒＜，即＞，C成立；同理可证D不成立. 3.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则3x＋2y的取值范围为　1＜3x＋2y＜18　. 解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18. 4.（1）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d； （2）已知a＞b＞0，求证：＞. 证明：（1）∵a＞b，c＜d，∴a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d. （2）∵a＞b＞0，∴＞＞0. ① 又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ② 由①②得＞. 　糖水不等式的探究与应用 （链接教材P43习题10题）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜. 【问题探究】 试将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 解：已知b＞a＞0，m＞0，则＞（糖水不等式）. 证明如下：法一　－＝＝. ∵b＞a，m＞0， ∴b－a＞0，＞0，即＜. 法二　要证＜， 只需证a（b＋m）＜b（a＋m）， 只需证am＜bm， 即证a＜b，由已知条件可得显然成立. 【拓展延伸】 “糖水不等式”常见变形如下： （1）a，b，m都为正实数，且a＞b，则＞； （2）a，b，m都为正实数，且a＜b，则＜； （3）a，b，m都为正实数，且a＜b，a＞m，则＜； （4）a，b，c，d都为正实数，且＜，则＜. 【迁移应用】 1.已知p：m＞n＞0，q：＞，则p是q的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由糖水不等式得m＞n＞0时，＞成立；反之当n＝0，m＝1时，＞成立，m＞n＞0不成立.故选B. 2.（链接情境导入）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少m2？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是坏了？ 解：（1）设公寓窗户面积为a m2，则地板面积为（220－a）m2.由题意知≥10％，解得a≥20.所以这所公寓的窗户面积至少为20 m2. （2）设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2. 因为a，b，m＞0，且a＜b，所以－＝＝＞0，即＞.所以公寓的采光效果变好了. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A.＜ B.＜ C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜ 解析：A　∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜. 2.已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，则下列选项中正确的是（　　） A.a＋d＞b＋c B.a＋c＞b＋d C.ad＞bc D.ac＞bd 解析：B　不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1，此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误；ad＝－2＜bc＝0，故C错误；设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6，则ac＝15＜bd＝24，故D错误；因为a＞b，c＞d，根据不等式性质中的同向可加性得a＋c＞b＋d，故B正确. 3.已知a＜b＜0，则（　　） A.a2＜ab B.ab＜b2 C.a2＜b2 D.a2＞b2 解析：D　由a＜b＜0，不妨取a＝－2，b＝－1.对于A，a2＝4，ab＝2，故a2＜ab不成立；对于B，b2＝1，ab＝2，故ab＜b2不成立；对于C，a2＝4，b2＝1，故a2＜b2不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以（－a）2＞（－b）2＞0，即a2＞b2.故选D. 4.已知x＞1，－1＜y＜0，a＝x－y，b＝x＋y2，c＝x2－y，则（　　） A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.a＞c＞b D.c＞b＞a 解析：B　∵x＞1，－1＜y＜0，∴c－a＝x2－y－（x－y）＝x（x－1）＞0，a－b＝x－y－（x＋y2）＝－y（1＋y）＞0.因此c＞a＞b. 5.〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（　　） A.n＜0 B.－mn＞n2 C.－mn＞m2 D.｜m｜＞｜n｜ 解析：AC　因为m＋n＜0，且m＞0，所以n＜0，且｜m｜＜｜n｜，A正确，D错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以n（n＜0）得－mn＜n2，B错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以－m（m＞0）得m2＜－mn，故－mn＞m2，C正确.故选A、C. 6.〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　） A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3 C.3≤ab≤10 D.≤≤ 解析：AC　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为≤≤，所以≤≤，故D错误，故选A、C. 7.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为　y＜－y＜x　. 解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x. 8.不等式a＞b和＞同时成立的条件是　a＞0＞b　. 解析：∵－＝，∴a＞b和＞同时成立的条件是a＞0＞b. 9.（13分）（1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； （2）若a＞b＞0，c＜d＜0，证明：＞.　 证明：（1）由a＞b，c＞0，得ac＞bc， 即－ac＜－bc， 又f＜e，所以f－ac＜e－bc. （2）因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0， 又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 则有0＜＜， 又a＞b＞0， 所以＞. 10.（15分）已知－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4. （1）求b的取值范围； （2）求2a＋b的取值范围. 解：（1）因为2＜a－b＜4， 所以－4＜b－a＜－2，又－1＜a＋b＜3， 所以－5＜（a＋b）＋（b－a）＜1， 则－＜b＜. （2）设2a＋b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b， 所以故 所以2a＋b＝（a＋b）＋（a－b）. 又－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4， 所以－＜2a＋b＜. 11.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.xy＞yz B.xz＞yz C.xy＞xz D.x｜y｜＞z｜y｜ 解析：C　因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz. 12.〔多选〕设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的有（　　） A.b2＜ab＜1 B.＜＜1 C.1＜＜ D.a2＜ab＜1 解析：AC　因为0＜b＜a＜1，所以b2－ab＝b（b－a）＜0，所以b2＜ab，又ab＜1，所以b2＜ab＜1，故A正确；当a＝，b＝时，＝，＝，所以＞，故B不正确；因为0＜b＜a＜1，所以1＜＜，故C正确；因为0＜b＜a＜1，所以a2－ab＝a（a－b）＞0，即a2＞ab，故D不正确.故选A、C. 13.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的　充分不必要　条件. 解析：∵－＞0，∴＞，∴（）2＞（）2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出－＞0. 14.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成　3　个正确命题. 解析：①②⇒③，③①⇒②，②③⇒①.由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0⇒①.同理可证①②⇒③成立；③①⇒②成立.所以可以组成3个正确命题. 15.（15分）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0.求证：＜； （2）已知a，b，c是三角形的三边长，求证：＋＋＜2. 证明：（1）因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 所以0＜－＜－. 又因为a＞b＞0，所以－＞－＞0. 所以＞， 即－＞－， 两边同乘以－1，得＜. （2）因为a，b，c是三角形的三边长， 所以b＋c＞a＞0. 由“糖水不等式”知＜＝， 同理＜，＜， 以上三式同向相加得＋＋＜2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $