2.1 第1课时 不等关系与比较大小(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义围绕不等关系与比较大小展开，从生活情境抽象出不等关系并用不等式（组）表示，通过作差法建立实数大小比较的逻辑，进而引出重要不等式，构建从具体到抽象的学习支架。 以限高标志、租车方案等实例驱动，培养数学抽象与逻辑推理素养，结合规律方法总结和分层练习，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固作差法等技能，实现知识查漏补缺。

第一课时　不等关系与比较大小 课标要求 情境导入 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）. 2.初步学会作差法比较两实数的大小（逻辑推理）. 　　相等关系与不等关系是数学中也是日常生活中最基本的关系，比如说：长与短、远与近的比较；同学们之间高与矮、轻与重的比较；国家人口的多少、面积的大小的比较等. 知识点一　不等关系与不等式 问题　在日常生活中，我们经常看到下列标志： 上面各图中的标志的含义分别是什么？你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①装载高度h不得超过3.5 m；②限制行驶速度v不得低于50 km/h；③装载总质量m不得超过10 t.用数学式子表示为：①h≤3.5 m；②v≥50 km/h；③m≤10 t. 1.不等关系 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过 符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 1.〔多选〕下面说法正确的是（　　） A.x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0” B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a” D.若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t ℃可表示为“7≤t≤13” 解析：CD　x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误.小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误.C、D正确. 2.（链接教材P40练习1题）某汽车运输公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的x型汽车和y型汽车，根据需要，x型汽车至少买5辆，y型汽车至少买6辆，则满足上述所有不等关系的不等式（组）为　　. 3.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式（组）表示其中的不等关系是　　. 解析：因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18.这时菜园的另一条边长为＝（ 15－）m，因此菜园的面积S＝x（ 15－），依题意有S≥96，即x（ 15－）≥96.故该题中的不等关系可用不等式组表示为 规律方法 用不等式（组）表示不等关系的思路 （1）审题，读懂题意，分清已知量和未知量，设出未知量； （2）找关系，寻找已知量和未知量之间有哪些不等关系（注意隐含条件和实际意义）； （3）列不等式（组），建立已知量和未知量之间的关系式（不重不漏）. 知识点二　实数（式）的大小比较 问题　对于两个实数（或代数式）a，b，其大小关系有哪几种可能？如何比较它们的大小？ 提示：三种关系：a＞b；a＝b；a＜b； 可作差比较大小：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b. 两个实数大小关系的基本事实 依据 a＞b⇔a－b　＞　0 a＝b⇔a－b　＝　0 a＜b⇔a－b　＜　0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的　差　与0的大小 （链接教材P38例1）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝＋. ∵≥0，∴＋≥＞0， ∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 规律方法 作差法比较两个实数（式）大小的基本步骤 提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 训练1　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）. 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴（3x2＋1）（x－1）≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 知识点三　重要不等式 问题　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形. （1）你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？ 提示：能.设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a≠b），则正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，则由图可知a2＋b2＞2ab. （2）当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题（1）你有什么发现？ 提示：a2＋b2＝2ab，a2＋b2≥2ab. 重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥　2ab　，当且仅当　a＝b　时，等号成立. 〔一题多解〕（链接教材P40练习3题）已知a＞0，求证：a＋≥2. 证明：法一　因为a＞0， 所以a＋＝（）2＋（ ）2≥2·＝2. 当且仅当＝，即a＝1时，等号成立. 所以a＋≥2. 法二　因为a＞0，a＋－2＝（）2＋（ ）2－2＝（ －）2≥0，所以a＋≥2. 规律方法 1.比较两数（式）的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号. 2.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”. 训练2　已知a＞0，b＞0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－（ab2＋a2b）＝（a＋b）（a2－ab＋b2）－ab（a＋b）＝（a＋b）（a2－2ab＋b2）. ∵a＞0，b＞0，且a2＋b2≥2ab， ∴a＋b＞0，a2＋b2－2ab≥0， ∴a3＋b3－（ab2＋a2b）≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 提能点　不等关系的实际应用 某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位职工的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 解：设该单位职工有n（n∈N*）人，全票价为x（x＞0）元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元. 由题意，得y1＝x＋x（n－1）＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2. 所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠. 规律方法 1.“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 2.与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转化到实际问题中去，得出解决问题的方案. 训练3　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值 （万元/件） A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发　　件，最高产值为　　　　万元. 答案：20　330 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50－x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元. 1.实数x不大于，用不等式表示为（　　） A.x＜ B.x≤ C.x＞ D.x≥ 答案：B 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（　　） A.5x＋4y＜200 B.5x＋4y≥200 C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 解析：D　依题意，得500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200. 3.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为　a＝2　. 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即（a－2）2＝0，∴a＝2. 4.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，比较m，n的大小. 解：m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，所以m≥n. （时间：60分钟　满分：99分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.某厂月生活费a不低于300元，用不等式表示为（　　） A.a≤300 B.a≥300 C.a＞300 D.a＜300 解析：B　依题意，生活费a不低于300元，即a≥300.故选B. 2.某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意可得故选D. 3.已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　） A.M＜N B.M＞N C.M＝N D.不确定 解析：B　由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝（a1－1）（a2－1）＞0，故M＞N.故选B. 4.在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（　　） A.4×＜150 B.4×＞150 C.4×≤150 D.4×≥150 解析：D　由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内跑的路程为（ 4×）m，则应满足的不等式为4×≥150，故选D. 5.〔多选〕下列不等式中恒成立的是（　　） A.a2＋2＞2a B.a2＋b2≥2（a－b－1） C.a2＋b2≥ab D.（a＋3）（a－5）＞（a＋2）（a－4） 解析：ABC　A中，a2＋2－2a＝（a－1）2＋1＞0，故A正确；B中，a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝＋b2≥0，故C正确；D中，因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4），故D不正确. 6.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为　499≤x≤501　. 解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴499≤x≤501. 7.已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为　P＞Q　. 解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 8.已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是　2　，当且仅当a＝b＝　±1　时取得最小值. 解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立. 9.（10分）已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小. 解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2＋1）， 所以当a＞b时，x－y＞0，x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，x＜y. 10.（13分）若a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b. 证明：（ ＋）－（a＋b）＝＝， 因为a＞0，b＞0， 所以≥0， 当且仅当a＝b时等号成立， 所以＋≥a＋b. 11.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（　　） A.M＞N B.M＝N C.M＜N D.不能确定 解析：A　易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝（＋）2－（）2＝2＞0，∴M＞N. 12.已知a1＞1，a2＞1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为（　　） A.P＞Q B.P＜Q C.P＝Q D.不能确定 解析：B　P－Q＝（ ＋）－（ ＋1）＝－＝＝.因为a1＞1，a2＞1，所以a1－1＞0，1－a2＜0，a1a2＞0，所以P－Q＝＜0，所以P＜Q. 13.如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分修建草坪，要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m，根据题意可列出的不等式为　（22－x）（17－x）≥300　. 解析：把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，草坪面积为（22－x）（17－x）m2.因为草坪的面积不小于300 m2，所以（22－x）（17－x）≥300. 14.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价m（单位：钱）的取值范围为　≤m≤　. 解析：依题意可设买大竹子x根，则买小竹子（78－x）根，每根单价为（m－1）钱，所以576＝mx＋（78－x）（m－1），即78m＋x＝654，即x＝6（109－13m），因为0≤x≤78，所以即所以≤m≤. 15.（15分）某网店的最新商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价的百分率为m，第二次降价的百分率为n. B：第一次降价的百分率为n，第二次降价的百分率为m. C：第一次降价的百分率为，第二次降价的百分率为. 其中0％＜n＜m＜100％. 求出三种方案经过两次降价后的价格并将方案A，B，C按其最终价格从小到大排列. 解：设一件该商品最初的价格为a（a＞0）， 则方案A经过两次降价后，价格变为a（1－m）（1－n）； 方案B经过两次降价后，价格变为a（1－n）（1－m）； 方案C经过两次降价后，价格变为a（ 1－）2， 显然方案A，B的降价幅度相同， 因为a（ 1－）2－a（1－n）（1－m） ＝a［1－m－n＋（ ）2－（1－m－n＋mn）］ ＝a［（m＋n）2－mn］＝（m－n）2， 又n≠m，所以（m－n）2＞0，又a＞0，则（m－n）2＞0， 即a（ 1－）2＞a（1－n）（1－m）， 所以A＝B＜C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $