第1章 集合与常用逻辑用语 章末整合提升〔含真题体验〕——体系构建·素养提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心知识点，系统梳理集合的基本概念、关系、运算，以及充分条件与必要条件、全称量词与存在量词，构建从概念理解到关系分析再到运算应用的递进式学习支架。 资料通过“反思感悟”提炼方法，结合真题体验融入高考题，一题多解培养数学思维，配套图示辅助理解，助力学生用数学眼光抽象问题、用数学语言表达关系，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺强化知识。

章末整合提升〔含真题体验〕——体系构建·素养提升 一、集合的基本概念 理解集合的有关概念、元素与集合的表示方法、元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. （1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　C　） A.1 B.3 C.5 D.9 （2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为（　A　） A.－2 B.2 C.2或4 D.4 解析：（1）①当x＝0，y＝0，1，2时，x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1，y＝0，1，2时，x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2，y＝0，1，2时，x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. （2）由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 反思感悟 解决集合的概念问题应关注两点 （1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么； （2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 二、集合的基本关系 能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）. （1）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，则下列关系正确的是（　C　） A.A＝B B.A⊆B C.B⊆A D.A∩B＝⌀ （2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　C　） A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4} C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4} 解析：（1）由集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，得B＝{－1，0，1}，所以B⊆A.故选C. （2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4. 反思感悟 处理集合间关系问题的关键点 （1）判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素； （2）利用集合间的关系求参数的取值范围时要注意数形结合与分类讨论思想的活用. 三、集合的基本运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. （1）〔一题多解〕已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　C　） A.⌀ B.S C.T D.Z （2）已知全集U＝R，A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{y｜y＝}，则A∩（∁UB）＝（　A　） A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜－1＜x≤0} C.{x｜0＜x＜1} D.{x｜0≤x＜1} 解析：（1）法一（通解）　在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C. 法二（优解）　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C. （2）因为B＝{y｜y＝}＝{y｜y≥0}，又由全集U＝R，所以∁UB＝{y｜y＜0}，则A∩（∁UB）＝{x｜－1＜x＜0}.故选A. 反思感悟 求解集合基本运算的方法步骤 四、充分条件与必要条件 若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. （1）设a∈R，则“a＝1”是“a2＝a”成立的（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）若“x＞a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　{a｜a≥3}　. 解析：（1）由a＝1可得a2＝a，但由a2＝a得到的却是a＝1或a＝0，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件.故选A. （2）∵“x＞a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件，∴{x｜x＞a}⫋{x｜x≤2或x≥3}，∴a≥3. 反思感悟 充分、必要、充要条件的常用判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. 五、全称量词与存在量词 1.含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，只对结论进行否定，还要注意更改量词. 2.判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断. （1）〔多选〕下列命题的否定正确的是（　ACD　） A.命题p：∀x∈R，x＞0，p的否定：∃x∈R，x≤0 B.命题p：∃x∈R，x2≤－1，p的否定：∃x∈R，x2＞－1 C.命题p：∃x，y∈N*，2x＋6y≥10，p的否定：∀x，y∈N*，2x＋6y＜10 D.命题p：∀x∈R，x2＋1≠0，p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 （2）若对∀x∈{x｜－2＜x＜4}，恒有1－a＜x＜3a＋1成立，则实数a的取值范围为　{a｜a≥3}　. 解析：（1）对于B，p的否定：∀x∈R，x2＞－1，B错误.A、C、D正确. （2）设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{x｜1－a＜x＜3a＋1}，由题意知，A⊆B，则有解得a≥3.故实数a的取值范围为{a｜a≥3}. 反思感悟 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 （1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论； （2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 一、集合的关系及运算 1.（2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A.0 B.3 C.5 D.8 解析：C　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 2.（2024·北京高考1题）已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－1≤x＜1} B.{x｜x＞－3} C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜x＜4} 解析：C　由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}. 3.（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3＝x}，则A∩B＝（　　） A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} 解析：D　由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D. 4.（2024·全国甲卷2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析：D　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. 5.〔一题多解〕（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ 解析：A　法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A. 法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 二、充分、必要条件的判定 6.（2022·天津高考2题）“x是整数”是“2x＋1是整数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　易知当x是整数时，能够推出2x＋1是整数，反之不成立，例如，当x＝时，2x＋1为整数，x不是整数，故必要性不成立.所以“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件.故选A. 7.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 三、命题及其真假的判定 8.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B. 9.（2017·北京高考13题）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　－1，－2，－3（答案不唯一）　. 解析：因为“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题，则它的否定“设存在实数a，b，c.若a＞b＞c，则a＋b≤c”是真命题.由于a＞b＞c，所以a＋b＞2c，又a＋b≤c，所以c＜0.因此a，b，c依次可取整数－1，－2，－3，满足a＋b≤c. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $