13.3.1第1课时三角形的内角分层练习2026-2027学年数学人教版八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以“三角形的内角”为核心，通过A/B/C三层（2:4:5题量配比）实现从基础计算到综合探究的进阶，强化推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|三角形内角和基本计算|选择/填空，方程思想与教材变式，夯实抽象能力| |B层|定理证明与简单综合|证明题（多辅助线法）、平行线结合角平分线，培养推理意识| |C层|复杂情境与多知识点综合|折叠问题、“8字型”模型、三角尺探究，发展创新意识与理性精神|

13.3.1　三角形的内角（第1课时）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 2 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形内角和）【学科特色·方程思想】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4，则△ABC中最大的内角度数为（　　　　） A. 80°　　　　B. 90° C. 100°　　　　D. 120° 2. [填空题]（知识点：三角形内角和）【学科特色·教材变式】(2026广东惠州期中)如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B=30°，∠C=55°，则∠1+∠2的度数为__________。 二、B层·理解运用（课件中共 4 道题归入本层） 1. [证明题]（知识点：三角形内角和）(2026江西新余月考)如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°。小颖作的辅助线如图1，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图2，延长AB到F，作BE∥AC；小红作的辅助线如图3，作CG∥AB。请你认真阅读思考并完成如下问题：(1)请从小颖、小星、小红三位同学的方法中选择一种来证明，写出完整的证明过程；(2)在图2中，求证：∠CBF=∠A+∠C。 解： 2. [选择题]（知识点：三角形内角和）(2026重庆永川期末)如图，在△ABC中，∠A=68°，∠C=42°，点E，D分别在边AB，AC上，且ED∥BC，若BD平分∠ABC，则∠BDE的度数为（　　　　） A. 20°　　　　B. 25° C. 30°　　　　D. 35° 3. [填空题]（知识点：三角形内角和）一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=____________。 4. [解答题]（知识点：三角形内角和）【学科特色·教材变式】如图，轮船在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数。 解： 三、C层·拓展挑战（课件中共 5 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形内角和）(2026安徽蚌埠期中,★★☆)如图，线段AC，BD交于点O，点E在AD的延长线上，CM，DM分别平分∠BCA，∠BDE。若∠A=∠B，则∠EDM+∠BCM的度数为（　　　　） A. 45°　　　　B. 60° C. 90°　　　　D. 100° 2. [填空题]（知识点：三角形内角和）(2026上海崇明期中,★★☆)当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α是这个“友好三角形”的“友好角”。如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为____________________。 3. [填空题]（知识点：三角形内角和）(2026安徽六安期末,★★★)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C=114°，∠1=45°，则∠2的度数为__________。 4. [解答题]（知识点：三角形内角和）(2026河南商丘月考,★★☆)如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC，我们把形如图1的图形称之为“8字型”。如图2，在图1的条件下，∠DAB与∠BCD的平分线AP和CP相交于点P。(1)如图1，证明：∠A+∠D=∠B+∠C；(2)如图2，若∠B=30°，∠D=40°，求∠P的度数；(3)在图2中，若∠B=α，∠D=β，则∠P的度数为________(用含α，β的代数式表示)。 解： 5. [探究题]（知识点：三角形内角和）【核心素养·推理能力】(2026山东淄博期中)将三角尺(△MPN，∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C。(1)特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=________°，∠ABP+∠ACP=________°；(2)类比探索：猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由；(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，猜想∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：B 解析：∵在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4，∴设∠A=x，则∠B=3x，∠C=4x，∴x+3x+4x=180°，解得x=22.5°，∴∠C=4x=4×22.5°=90°，故选B。技巧归纳：题目中出现角度的比例关系时，常设单份比例为x，用含x的式子表示各个角的度数，然后根据三角形内角和定理列方程求解。 2. 答案：85° 解析：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-(∠B+∠C)，在△ADE中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A=180°-(∠1+∠2)，∴∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°。 二、B层·理解运用 1. 答案：答案不唯一，见解析 解析：(1)答案不唯一。①选择小颖的方法进行证明：∵DE∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠ACD+∠BCE+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°。②选择小星的方法进行证明：∵BE∥AC，∴∠A=∠EBF，∠C=∠CBE，∵∠EBF+∠CBE+∠ABC=180°，∴∠A+∠C+∠ABC=180°。③选择小红的方法进行证明：∵CG∥AB，∴∠A+∠ACG=180°，∠B=∠BCG，∴∠A+∠ACB+∠BCG=180°，∴∠A+∠ACB+∠B=180°。(2)∵BE∥AC，∴∠A=∠EBF，∠C=∠CBE，∵∠CBF=∠EBF+∠CBE，∴∠CBF=∠A+∠C。 2. 答案：D 解析：∵∠A=68°，∠C=42°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-68°-42°=70°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=35°，∵ED∥BC，∴∠BDE=∠CBD=35°。故选D。 3. 答案：100° 解析：如图，设AC与DF交于点G，由题意得∠BAC=60°，∠C=30°，∠D=45°，∵∠EAB=35°，∴∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°，∴∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°，∴∠CGF=∠AGD=50°，∴∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°。 4. 答案：45° 解析：如图，根据题意知∠1=∠2=30°，∴∠CBA=75°-30°=45°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=30°+60°=90°，∴∠A=180°-90°-45°=45°。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：C 解析：∵CM，DM分别平分∠BCA，∠BDE，∴∠BCM=∠ACB，∠EDM=∠BDE，∵在△AOD中，∠A+∠AOD+∠ADO=180°，在△BOC中，∠B+∠BOC+∠OCB=180°，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，∴∠ADO=∠OCB，∴∠BCM=∠ADO，∴∠EDM+∠BCM=(∠BDE+∠ADO)=×180°=90°。故选C。 2. 答案：54°或108°或84° 解析：(1)当α=54°时，“友好角”α的度数为54°；(2)当β=54°时，由题意得α=54°÷=108°，∴“友好角”α的度数为108°；(3)当54°角既不是角α也不是角β时，∵α+β+54°=180°，∴α+α+54°=180°，∴α=84°。∴“友好角”α的度数为84°。故答案为54°或108°或84°。 3. 答案：51° 解析：∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，∴∠ABC=2∠A′BC，∠ACB=2∠A′CB，∵∠A′BC+∠A′CB+∠BA′C=180°，∠BA′C=114°，∴∠A′BC+∠A′CB=180°-114°=66°，∴∠ABC+∠ACB=2(∠A′BC+∠A′CB)=2×66°=132°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-132°=48°，∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=180°-48°=132°，由折叠可得，∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，∴∠A′DA=2∠ADE，∠A′EA=2∠AED，∴∠A′DA+∠A′EA=2(∠ADE+∠AED)=2×132°=264°，∵∠1+∠A′DA=180°，∠2+∠A′EA=180°，∴∠1=180°-∠A′DA，∠2=180°-∠A′EA，∴∠1+∠2=360°-(∠A′DA+∠A′EA)=360°-264°=96°，∵∠1=45°，∴∠2=96°-45°=51°。故答案为51°。 4. 答案：(2)∠P=35°；(3)∠P= 解析：(1)证明：∵∠A+∠D+∠AOD=180°=∠B+∠C+∠BOC，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠B+∠C。(2)同(1)得∠P+∠DCP=∠D+∠DAP①，∠P+∠PAB=∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，由①+②，得2∠P=∠D+∠B，∵∠B=30°，∠D=40°，∴2∠P=30°+40°=70°，∴∠P=35°。(3)∠P=。详解：同(2)可得2∠P=∠D+∠B，∵∠B=α，∠D=β，∴∠P=。 5. 答案：(1)90，40；(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A；(3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A 解析：(1)∵在△ABC中，∠A=50°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∵在△PBC中，∠P=90°，∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°，∵∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=∠ABC+∠ACB=130°，∴∠ABP+∠ACP=130°-90°=40°。故答案为90；40。(2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A。理由如下：∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∠PBC+∠PCB=180°-90°=90°，∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A。(3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A。理由如下：如图，设AB交PC于点O，∵∠AOC=∠POB，∠AOC+∠ACO+∠A=180°=∠POB+∠PBO+∠P，∴∠ACO+∠A=∠PBO+∠P，即∠ACP+∠A=∠ABP+90°，∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A。 学科网（北京）股份有限公司 $