3.1.2 第1课时 函数的表示法(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法，涵盖解析法、图象法、列表法及解析式求解，通过“才高八斗”等成语类比导入，衔接初中知识，引导学生探究函数表示的多样性，搭建生活与数学的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，以近五年出生人口曲线、氰化物浓度表等实例辨析表示法，通过一题多解（如换元法与配凑法求解析式）及规律方法总结，培养学生思维。学生能深化理解，教师可高效教学。

3.1.2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 第三章　函数的概念与性质 1 课标要求 情境导入 1.掌握函数的三种表示方法（数学抽象、数学运算）. 2.掌握函数图象的作法和应用（直观想象）. 3.会求函数的解析式（数学运算）. 　　如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧！ 目 录 CONTENTS 知识点一　函数的表示方法 知识点二　函数的图象 提能点　求函数的解析式 小结与自测 课时作业 知识点一　函数的表示方法 目录 4 问题　给出下列三个对应关系： ①x，y∈R，y＝x2＋2x； ②如图是我国近五年出生人口变化曲线： 数学·必修第一册 目录 ③下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距 离 50 100 200 300 500 氰化物浓 度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？是 否任意的函数关系都可以用解析法表示？ 提示：分别用解析法、图象法、列表法表示函数；不是. 数学·必修第一册 目录 数学·必修第一册 目录 1. 已知函数y＝f（x）的对应关系如下表所示，函数y＝g（x）的图象是如 图所示的曲线ABC，则f（g（2）＋2）的值为（　　） x 1 2 3 f（x） 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 √ 解析： 　根据题意，由函数y＝g（x）的图象，可得g（2）＝1，则f（g （2）＋2）＝f（3）＝0.故选B. 数学·必修第一册 目录 2. 购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、 列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出这个 函数的值域. 解：（1）解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}，值域y∈{2，4，6，8}. （2）列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 （3）图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6）， （4，8）组成，如图所示. 数学·必修第一册 目录 规律方法 1. 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数 值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象 法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变 量的个数较少. 2. 用三种表示法表示函数时的注意点 解析法必须注明函数的定义域；列表法必须罗列出所有的自变量的值与函 数值的对应关系；图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 数学·必修第一册 目录 知识点二　函数的图象 目录 11 画出下列函数的图象并求出其值域. （1）y＝，x∈[2，＋∞）； 解： 列表 x 2 3 4 5 … y 1 ​ ​ ​ … 画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝的 一部分，观察图象可知其值域为（0，1]. 数学·必修第一册 目录 （2）y＝x2＋2x，x∈[－2，2）. 解： 列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分. 由图可得函数的值域为[－1，8）. 数学·必修第一册 目录 规律方法 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要 分清这些关键点是实心点还是空心点. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等. 数学·必修第一册 目录 训练1　画出下列函数的图象： （1）y＝1－x（x∈Z）； 解： 因为x∈Z，描点（－3，4），（－2，3），（－1，2），（0， 1），（1，0），…， 所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示. （2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]. 解： y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，用平滑曲线连接得其图象 如图2所示. 数学·必修第一册 目录 提能点　求函数的解析式 目录 16 角度1　待定系数法求函数解析式 已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝ 2x，则f（x）的解析式为 ⁠. 解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.∵f（0）＝1，∴c＝1.又∵f（x＋ 1）－f（x）＝2x，∴a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）＝2x， 整理得，2ax＋（a＋b）＝2x.由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相 等，∴解得∴f（x）＝x2－x＋1. f（x）＝x2－x＋1　 数学·必修第一册 目录 规律方法 待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可根据题意设出f （x）的解析式（含待定的系数），再根据条件列方程（组），通过解方程 （组）求出待定系数，进而求出函数解析式. 数学·必修第一册 目录 〔一题多解〕求下列函数的解析式： （1）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）； 解： 法一（换元法）　令t＝x＋2，则x＝t－2， 所以f（t）＝2（t－2）＋3＝2t－1， 所以f（x）的解析式为f（x）＝2x－1. 法二（配凑法）　f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1， 所以f（x）＝2x－1. 角度2　换元法（配凑法）求函数解析式 数学·必修第一册 目录 （2）已知f（＋1）＝x＋2，求f（x）. 解： 法一（换元法）　令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1， 所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1. 因为＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 数学·必修第一册 目录 规律方法 已知f（g（x））＝h（x）求f（x）常用的两种方法 （1）换元法，即令t＝g（x）解出x，代入h（x）中得到一个含t的解析式， 即为函数解析式，注意换元后新元的范围； （2）配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g （x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 数学·必修第一册 目录 角度3　方程组法（消元法）求函数解析式 已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，则f（x） ＝ 　　　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f （x） 联想到以－x代替x可以构造关于f （x）和f（－x）的方程组求解 答案：x－1 数学·必修第一册 目录 解析：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－x） －2f（x）＝1－2x，联立可得消去f（－ x）可得f（x）＝x－1. 数学·必修第一册 目录 规律方法 　　方程组法（消元法）适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如： 互为倒数（f（x），f（）），互为相反数（f（－x），f（x））的函数方 程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可.在构造对称方程时， 一般用或－x替换原式中的x即可. 数学·必修第一册 目录 角度4　赋值法求函数解析式 已知函数f（x）对于一切实数x，y都有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋ 1）x成立，且f（1）＝0. （1）求f（0）的值； （2）求f（x）的解析式. 数学·必修第一册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1） x，且f（1）＝0，求f（0） 可令x＝1，y＝0 求f（x） 想到要消去“y”，可令y＝0 （2）取y＝0，则有f（x＋0）－f（0）＝（x＋0＋1）x，整理得f（x） ＝x2＋x－2. 解：（1）取x＝1，y＝0，则有f（1＋0）－f（0）＝（1＋0＋1）×1⇒f （0）＝f（1）－2＝0－2＝－2. 数学·必修第一册 目录 规律方法 赋值法求函数解析式 　　赋值法求函数解析式的关键是赋值，至于如何赋值，要根据题目来确 定，通常可通过赋予不同的值达到解题的目的.常见的有令x＝0，1，－1或 令x＝－t，等. 数学·必修第一册 目录 训练2　求下列函数的解析式： （1）〔一题多解〕已知f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）； 解： 法一（换元法）　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1， ∴f（x）＝3x－1. 法二（配凑法）　f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1， ∴f（x）＝3x－1. 数学·必修第一册 目录 （2）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝9x＋4，求f（x）； 解： 设f（x）＝kx＋b（k≠0）. 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得或 ∴f（x）＝3x＋1或f（x）＝－3x－2. 数学·必修第一册 目录 （3）已知f（x）＋2f（）＝x（x≠0），求f（x）. 解： ∵f（x）＋2f（）＝x， 用代替x得f（）＋2f（x）＝， 消去f（）得f（x）＝－（x≠0）， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－（x≠0）. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 31 数学·必修第一册 目录 1. 由下表给出的函数y＝f（x），则f（f（1））＝（　　） x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 √ 解析： 　由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4）＝ 2.故选B. 数学·必修第一册 目录 2. 已知函数f（1－x）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　） A. f（x）＝3x－1 B. f（x）＝－3x＋1 C. f（x）＝3x＋2 D. f（x）＝－3x＋5 √ 解析： 　令1－x＝t，则x＝1－t，∴f（t）＝3（1－t）＋2＝－3t＋5.∴f （x）＝－3x＋5. 数学·必修第一册 目录 3. 函数y＝－x，x∈{－2，0，1，3}的图象是（　　） √ 数学·必修第一册 目录 解析： 　列表 x －2 0 1 3 y 2 0 －1 －3 函数图象是四个点（－2，2），（0，0），（1，－1），（3，－3），故 选B. 数学·必修第一册 目录 4. 如果一次函数f（x）的图象过点（1，0）及点（0，1），则f（3） ＝ ⁠. 解析：设一次函数的解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），因为其图象过点 （1，0），（0，1），所以解得k＝－1，b＝1，所以f（x）＝ －x＋1，所以f（3）＝－3＋1＝－2. －2 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：103分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 38 1. 购买某种饮料x瓶，所需钱数为y元.若每瓶2元，用解析法将y表示成x （x∈{1，2，3，4}）的函数为（　　） A. y＝2x B. y＝2x（x∈R） C. y＝2x（x∈{1，2，3，…}） D. y＝2x（x∈{1，2，3，4}） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由题意得y＝2x，x∈{1，2，3，4}. 数学·必修第一册 目录 2. 已知一次函数f（x）满足2f（x）＋f（x＋1）＝9x＋6，则f（4）＝ （　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 √ 解析： 　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则2f（x）＋f（x＋1）＝2ax＋2b＋a （x＋1）＋b＝3ax＋a＋3b＝9x＋6，所以解得所以f （x）＝3x＋1，f（4）＝13.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢， 后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列 图象中与这一过程吻合得最好的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化 得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为 0，只有D选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 已知f（x）的图象恒过点（1，－1），则函数f（x－3）的图象恒过点 （　　） A. （－2，－1） B. （4，－1） C. （1，－4） D. （1，－2） √ 解析： 　因为f（x）的图象恒过点（1，－1），所以当x－3＝1时，f（x －3）＝－1，即函数f（x－3）的图象恒过点（4，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 若f（x）＝2f（）·－1，则f（x）＝（　　） A. ＋ B. ＋ C. ＋（x＞0） D. ＋（x＞0） √ 解析： 　易知x＞0，因为f（x）＝2f（）·－1　①，所以f（）＝2f （x）·－1　②，把②代入①得f（x）＝＋（x＞0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　） A. f（－3）＝4 B. f（x）＝ C. f（x）＝x2 D. f（3）＝9 √ √ 解析： 　f（2x＋1）＝x2，当x＝－2时f（－3）＝4，故A正确；令t＝2x ＋1，则x＝，所以f（t）＝＝，则f（x）＝，故B正 确，C错误；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 已知f（x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝ 　－　. 解析：令x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f（m）＝2（2m＋2）＋3＝4m＋ 7，因为f（t）＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g （x）是x的反比例函数，且F（）＝16，F（1）＝8，则F（x）的解析式 为 ⁠. 解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝（m≠0），则F（x）＝kx＋. 由F（）＝16，F（1）＝8，得解得所以F （x）＝3x＋. F（x）＝3x＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （13分）画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域： （1）y＝； 解： 反比例函数y＝的图象如图1所示，定义域为 （－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0， ＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）y＝－4x＋5； 解： 一次函数y＝－4x＋5的图象 如图2所示，定义域为R，值域为R. （3）y＝x2－6x＋7. 解： 二次函数y＝x2－6x＋7的图象 如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （13分）已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0）满足f（2） ＝1，方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式. 解：由f（x）＝x，得＝x，即ax2＋（b－1）x＝0. ∵方程f（x）＝x有唯一解， ∴Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1. ∵f（2）＝1，∴＝1，∴a＝. ∴f（x）＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（f （2））＝（　　） A. 64 B. 86 C. 92 D. 98 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2 －7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝10x2－7x＋5， 即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解 得所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（2）＝8－2＋1＝7，所以f（f （2））＝f（7）＝2×49－7＋1＝92. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 函数y＝的大致图象是（　　） √ 解析： y＝的定义域为{x｜x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 〔多选〕设f（x）＝，则下列结论正确的有（　　） A. f（－x）＝－f（x） B. f（）＝－f（x） C. f（－）＝f（x） D. f（－x）＝f（x） √ √ 解析： 　因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝f（x），故A错 误，D正确；f（）＝＝＝－f（x），f（－）＝＝ ＝－f（x），故B正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 〔一题多解〕设f（x）是R上的函数，满足f（0）＝1，并且对任意的 实数x，y，都有f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），则f（x）的解析式 为 ⁠. 解析：法一　∵f（0）＝1，f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），∴可令y ＝x，则f（x－y）＝f（0）＝f（x）－x（2x－x＋1）＝1，∴f（x）＝x2＋x ＋1. f（x）＝x2＋x＋1　 法二　令x＝0，得f（0－y）＝f（0）－y（－y＋1），即f（－y）＝1－y （－y＋1），用x代替－y，得f（x）＝x2＋x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）若函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1. （1）求f（x）的解析式； 解： 函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1， ① 则有2f（－x）－f（x）＝x2＋3x＋1， ② 由①②可得，f（x）＝x2－x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）＞2x＋m有解，求实数m的取 值范围. 解： 由题意可得，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]有解， 即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上有解， 令g（x）＝x2－3x＋1－m＝（x－）2－－m，其对称轴为直线x＝， 则g（x）在区间[－1，1]上的最大值为g（－1）， 故g（－1）＝1＋3＋1－m＞0，解得m＜5， 所以实数m的取值范围为（－∞，5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $