2.3 第2课时 一元二次不等式的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式应用，涵盖简单分式不等式解法、三个“二次”关系及实际应用。通过问题导入对比分式与整式不等式解集差异，衔接已学一元二次不等式知识，搭建转化思想的学习支架。 其亮点在于问题驱动探究与实际情境结合，如通过节能灯销售、刹车距离问题培养数学建模与运算能力，一题多解（如三个“二次”关系题）提升逻辑推理。小结提炼规律方法，学生能系统掌握知识，教师可借助丰富例题与训练高效教学。

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第二课时　一元二次不等式的应用 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 课标 要求 1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法（数学运算）. 2.能够应用三个“二次”之间的关系解决一些问题（逻辑推 理、数学运算）. 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并 加以解决（数学建模、数学运算）. 目 录 CONTENTS 知识点一　简单的分式不等式 知识点二　三个“二次”之间的关系 知识点三　一元二次不等式的实际应用 小结与自测 课时作业 知识点一　简单的分式不等式 目录 4 问题　不等式≥0的解集与（x＋1）（x－2）≥0的解集相同吗？不等式 ＜0与（x－3）（x＋2）＜0等价吗？ 提示：不相同；等价. 数学·必修第一册 目录 简单分式不等式的解法 数学·必修第一册 目录 解下列不等式： （1）≥0； 解： 不等式≥0可转化成不等式组解得 x≤－1或x＞3，所以原不等式的解集为{x｜x≤－1或x＞3}. 数学·必修第一册 目录 （2）＜3. 解： 不等式＜3可改写为－3＜0， 即＜0， 可将这个不等式转化成2（x－1）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜1， 所以原不等式的解集为{x｜－1＜x＜1}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 分式不等式的解法 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元 二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零； （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不 要去分母），使之转化为不等号右边为零的形式，然后求解. 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）不等式＜0的解集为 　{x｜x＞1或x＜－}　； 解析： 不等式＜0可转化为（2x＋1）（1－x）＜0，解得x＞1或x ＜－.故原不等式的解集为{x｜x＞1或x＜－}. （2）不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为 ⁠. 解析： 由于原不等式等价于因此结合不等式 的解集知a＝5. {x｜x＞1或x＜－}　 5 数学·必修第一册 目录 知识点二　三个“二次”之间的关系 目录 11 〔一题多解〕若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 ，则关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集为 　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解 集为{x｜x＜或x＞} 联想到一元二次不等式二次项系数 的符号及对应一元二次方程的根与 系数的关系 答案：{x｜－3＜x＜－2} 数学·必修第一册 目录 解析：法一　由题意知所以代入不等式 cx2－bx＋a＞0中得ax2＋ax＋a＞0（a＜0），即x2＋x＋1＜0，化简得x2 ＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.所以所求不等式的解集为{x｜－3＜x＜－ 2}. 数学·必修第一册 目录 法二　由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a＜0，所以－ ＝＋＝，＝×＝，由cx2－bx＋a＞0得x2－x＋1＜0，即x2＋x＋1 ＜0，即x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.即不等式cx2－bx＋a＞0的解集为 {x｜－3＜x＜－2}. 数学·必修第一册 目录 变式　若将本例中“”改为“”，其他条 件不变，如何求解？ 解：由题意知所以 代入不等式cx2－bx＋a＞0， 得ax2＋ax＋a＞0（a＞0）， 即x2＋x＋1＞0，化简得x2＋5x＋6＞0， 解得x＞－2或x＜－3. 所以所求不等式的解集为{x｜x＞－2或x＜－3}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问 题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究； （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相 联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 数学·必修第一册 目录 训练2　（1）〔多选〕已知不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x｜－3＜x＜ 2}，下列说法正确的是（　BD　） A. a＜0 B. －3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根 C. b＝－1 D. 不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x｜x≤－1或x≥2} BD 数学·必修第一册 目录 解析： 因为不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x｜－3＜x ＜2}，所以－3和2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根，则有 解得故A、C错误，B正确；不等式x2－bx－2a≥0，即x2－x－2≥0，可得解集为{x｜x≤－1或x≥2}，故D正确. 数学·必修第一册 目录 （2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式cx2＋bx＋a＜ 0的解集为 ⁠. 解析： 由题图得，1，3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根，且a＜0，所以解得 所以cx2＋bx＋a＜0，即3ax2－4ax＋a＜0（a＜0），化简得3x2－4x＋1＞0，解得x＜或x＞1，所以所求不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}. {x｜x＜或x＞1}　 数学·必修第一册 目录 知识点三　一元二次不等式的实际应用 目录 20 （链接教材P53例4、P54例5）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台 了相关政策，由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主 销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.一名大学毕业生按照相关 政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每 件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. （1）设该毕业生每月获得的利润为w（单位：元），写出每月获得的利润 w与销售单价x的函数关系； 解： 依题意可知每件的销售利润为（x－10）元，每月的销售量为 （－10x＋500）件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝ （x－10）·（－10x＋500）（10≤x≤50）. 数学·必修第一册 目录 （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果该毕业生 想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的 取值范围是多少？ 解： 由每月获得的利润不小于3 000元，得（x－10）·（－10x＋ 500）≥3 000，化简得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝（12－10）（－10x＋500） ＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p｜500≤p≤600}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 解不等式实际应用题的步骤 数学·必修第一册 目录 训练3　在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾 驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的 刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两种车型的 刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系s甲＝0.1x甲＋0.01，s乙＝ 0.05x乙＋0.005.问超速行驶谁应负主要责任？ 数学·必修第一册 目录 解：由题意，列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01＞12， s乙＝0.05x乙＋0.005＞10， 分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30， x乙＜－50或x乙＞40. 由于x＞0，从而得x甲＞30，x乙＞40. 经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 26 数学·必修第一册 目录 1. 不等式≥0的解集为（　　） A. {x｜0≤x≤1} B. {x｜0＜x≤1} C. {x｜x≤0或x≥1} D. {x｜x＜0或x≥1} √ 解析： 　原不等式可化为解得故解集为 {x｜0＜x≤1}.故选B. 数学·必修第一册 目录 2. 某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）的关 系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x（元）.为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足（　　） A. 55≤x≤60 B. 60≤x≤65 C. 65≤x≤70 D. 70≤x≤75 √ 数学·必修第一册 目录 3. 若关于x的不等式（mx－1）（x＋2）＞0的解集为{x｜－2＜x＜}，则 m的取值范围是 ⁠. 解析：依题意，m＜0，∴（mx－1）（x＋2）＞0⇔（ x－）（x＋2）＜ 0.又（mx－1）（x＋2）＞0的解集为{x｜－2＜x＜}，∴－2＜，且m＜ 0，因此m＜－. {m｜m＜－}　 数学·必修第一册 目录 4. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，求关于x的 不等式cx2－ax＋b＞0的解集. 解：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}， 所以a＜0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根， 所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a， 所以不等式cx2－ax＋b＞0可化为－2ax2－ax＋a＞0， 因为a＜0，所以2x2＋x－1＞0， 即（2x－1）（x＋1）＞0，解得x＞或x＜－1. 所以不等式cx2－ax＋b＞0的解集为{x｜x＜－1或x＞}. 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：106分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 32 1. 不等式≥0的解集为（　　） A. {x｜－1＜x≤1} B. {x｜－1≤x＜1} C. {x｜－1≤x≤1} D. {x｜－1＜x＜1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 原不等式等价于∴－1≤x＜1. 数学·必修第一册 目录 2. 已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是，则a＝（　　） A. 2 B. －2 C. － D. √ 解析： 　∵关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是{x｜x＜－1或x ＞－}，∴方程（ax－1）（x＋1）＝0的两根为－1与－，且a＜0，故可 得＝－，解得a＝－2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是 （　　） A. m＜0 B. m＞0 C. m≠0 D. 不确定 √ 解析： 　因为0∈M，所以代入不等式＜0得－m＜0，即m＞0，故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 若不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2＋x＋c的 图象大致为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　因为不等式ax2－x＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则 解得a＝－1，c＝2.故所求函数解析式为y＝－（x＋1）（x－ 2），抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为－1，2，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 〔多选〕若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜2}，则下列选项 正确的是（　　） A. b＜0且c＞0 B. a－b＋c＞0 C. a＋b＋c＞0 D. 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　对于A，由题意知a＜0，且－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两 个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝－2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b ＜0，c＞0，所以A正确；对于B，由题意知当x＝1时不等式成立，所以a－ b＋c＞0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝ 0，所以C错误；对于D，由题意得ax2＋bx＋c＞0可转化为ax2＋ax－2a＞ 0，因为a＜0，所以x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1，所以不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（　　） A. （x＋8）（x2＋2x＋3）＜2 B. x＋8＜2（x2＋2x＋3） C. ＜ D. 2x2＋3x－2＞0 √ √ 解析： 　依题意，注意到x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2＞0，因此不等式 ＜2等价于x＋8＜2（x2＋2x＋3），化简得2x2＋3x－2＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 不等式x＋＜6的解集为 ⁠. 解析：原不等式可化为（）2＋－6＜0，令t＝（t≥0），则原不等 式可化为t2＋t－6＜0，解得－3＜t＜2.又t≥0，所以0≤t＜2，即0≤＜ 2，所以0≤x＜4，故原不等式的解集为{x｜0≤x＜4}. {x｜0≤x＜4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 某杂志以每册12元的价格可发行12万册，设定价每提高（降低）1元， 发行量减少（增加）4万册.若要使总收入不低于200万元，则该杂志的最 高定价是 ⁠. 解析：设杂志的定价为x元，根据题意得x（ 120 000－×40 000）＝－ 40 000x2＋600 000x≥2 000 000，解得5≤x≤10，所以该杂志的最高定价是 10元. 10元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （13分）解下列不等式： （1）＜0； 解： ＜0可转化为（2x－5）（x＋4）＜0， 解得－4＜x＜， 所以原不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解： ≥3⇔－ 3≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔ 解得≤x＜2，故原不等式的解集为. （2）≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （15分）已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜＜x＜}. （1）求a，c的值； 解：由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0. 解： 由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2 ＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为{x｜≤x≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. （2026·苏州期中）已知集合A＝{x｜≤0}，B＝{x｜x＜a}，若A∩B ＝A，则整数a的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　由不等式≤0，得解得－2≤x＜3.故 集合A＝{x｜－2≤x＜3}，若A∩B＝A，则A⊆B，所以a≥3，则整数a的最 小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2 －x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a， x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2） ＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 〔多选〕已知a∈Z，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中 有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 √ √ 解析： 　设y＝x2－6x＋a，函数图象开口向上，且对称轴为x＝3，因此 关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满 足当x＝2时，y≤0，且当x＝1时，y＞0，即解得5＜ a≤8，又因为a∈Z，所以a＝6或7或8.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 若关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，则关于x的不等式ax2＋ （3a－b）x－3b＜0的解集为 ⁠. 解析：∵关于x的不等式ax－b≤0的解集为{x｜x≥2}，∴a＜0且b＝2a，则 关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0，可化为ax2＋ax－6a＜0，即x2＋x －6＞0，∴（x－2）（x＋3）＞0，∴x＞2或x＜－3，∴不等式的解集为 {x｜x＜－3或x＞2}. {x｜x＜－3或x＞2}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为 12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品 质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1）， 则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x， 已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 解： 由题意得y＝[12（1＋0.75x）－10（1＋x）]×10 000×（1＋ 0.6x）（0＜x＜1）， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000（0＜x＜1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应 在什么范围内？ 解： 要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 即 解得0＜x＜， 所以投入成本增加的比例x的取值范围为{x｜0＜x＜}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $