2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系，涵盖概念、解法及含参问题。通过汽车刹车距离情境导入，衔接二次函数与方程知识，搭建从实际问题抽象到数学模型的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以数学抽象、直观想象和数学运算为核心素养，用问题链引导概念形成，表格对比函数、方程、不等式关系，含参问题分类讨论培养逻辑思维。例题练习梯度设计，规律方法总结清晰，助力学生提升解题能力与思维，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时　二次函数与一元二次方程、不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 课标要求 情境导入 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）. 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学抽象、数学运算）. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（直观想象）. 汽车在行 驶中，由于惯 性，刹车后还 要继续向前滑 行一段距离才 能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.你知道如何根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速的吗？ 目 录 CONTENTS 知识点一　一元二次不等式的概念 知识点二　一元二次不等式的解法 提能点　含参一元二次不等式的解法 小结与自测 课时作业 知识点一　一元二次不等式的概念 目录 4 问题　给出下面四个不等式： ①x2－x－6＞0； ②x2－x－6≤0； ③－x2＋2x≥0； ④2x2＋x＋5＜0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数 是多少？ 提示：每个不等式只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 数学·必修第一册 目录 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 ⁠的 不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数， a≠0 未知数　 2　 数学·必修第一册 目录 1. （2026·合肥月考）下列不等式中是一元二次不等式的为（　　） A. ax2＋2x＋1＞0 B. x2－y＞0 C. －x2－3x＜0 D. ＞0 √ 解析： 　只有－x2－3x＜0是一元二次不等式，其他都不是. 数学·必修第一册 目录 2. 若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次 项系数为 ⁠. 解析：由ab≠0知，b≠0且a≠0，a2b＋2ab2＋9＞0可化为ba2＋2b2a＋9＞ 0，故a的二次项系数为b. b 数学·必修第一册 目录 规律方法 一元二次不等式概念中的关键词 （1）一元：即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）； （2）二次：即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 数学·必修第一册 目录 知识点二　一元二次不等式的解法 目录 10 问题　（1）如图，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有几个交点？其 交点与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示：两个交点，交点的横坐标正好是方程x2－12x＋20＝0的根. 数学·必修第一册 目录 （2）能否从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20＜0的 解集？ 提示：能.从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数 值小于零，故x2－12x＋20＜0的解集为{x｜2＜x＜10}. 数学·必修第一册 目录 1. 二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 ⁠ 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 实数 x　 【微思考】 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点就是该函数图象与x轴的交点吗？ 提示：不是.零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标. 数学·必修第一册 目录 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系（a＞0） Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c 的图象 ax2＋bx＋c＝ 0的根 有两个不相等的实数根 x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实 数根x1＝x2＝－ 没有实 数根 数学·必修第一册 目录 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞ 0的解集 ⁠ ⁠ ⁠ ax2＋bx＋c＜ 0的解集 ⁠ ⁠ ⁠ {x｜x＜x1或x＞x2}　 R　 {x｜x1＜x＜x2}　 ⌀　 ⌀　 数学·必修第一册 目录 （链接教材P52例1、例2、例3）解下列不等式： （1）x2－7x＋12＞0；（2）－x2－2x＋3≥0； 解：（1）方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4. 根据y＝x2－7x＋12的图象（图1）， 可得原不等式的解集为{x｜x＜3或x＞4}. （2）不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0，方程x2＋2x－3＝0的解为x1 ＝－3，x2＝1. 根据y＝x2＋2x－3的图象（图2），可得原不等式的解集为{x｜－ 3≤x≤1}. 数学·必修第一册 目录 解： （3）方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1. 根据y＝x2－2x＋1的图象（图3），可得原不等式的解集为⌀. （4）因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解. 根据y＝x2－2x＋2的图象（图4），可得原不等式的解集为R. （3）x2－2x＋1＜0；（4）x2－2x＋2＞0. 数学·必修第一册 目录 规律方法 解不含参数的一元二次不等式的步骤 （1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系 数为正； （2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应 方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无 实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集. 数学·必修第一册 目录 训练1　解下列不等式： （1）（2x－1）（x＋3）＜0； 解： 易知方程（2x－1）（x＋3）＝0的两个实数根分别 为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝（2x－1）·（x＋3）的图 象，如图1所示，由图象可得原不等式的解集为. 数学·必修第一册 目录 （2）1－x＜－2x2； 解： 原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＜0，所以方程 2x2－x＋1＝0无实数根，作出函数y＝2x2－x＋1的图象，如图2 所示.根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为⌀.因此，原不等 式的解集为⌀. 数学·必修第一册 目录 （3）－2＜x2－3x≤10. 解： 原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}. 数学·必修第一册 目录 提能点　含参一元二次不等式的解法 目录 22 解关于x的不等式（ax－2）（x＋1）≥0（x∈R，a≥0）. 【破题思维】 题目信息 信息转化 解关于x的不等式（ax－2）（x＋ 1）≥0（x∈R，a≥0） 联想到一元二次不等式的概念，由 于a的取值会影响不等式的类型，需 分a＝0和a＞0两种情况进行讨论 数学·必修第一册 目录 ②当a＞0时，原不等式可化为（ x－）（x＋1）≥0， 解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；当a＞0时，不等式的 解集为{x｜x≥或x≤－1}. 解：①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1. 数学·必修第一册 目录 变式　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集. 解：当a＜0时，原不等式可化为（ x－）（x＋1）≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－ 1≤x≤}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 含参数的一元二次不等式的解法 数学·必修第一册 目录 训练2　解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0. 解：原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，方程x2＋（1－a）x－a＝0的 两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上， 则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 28 数学·必修第一册 目录 1. 〔多选〕下列不等式是一元二次不等式的是（　　） A. x2＋x＜－1 B. x2＋＋1＜0 C. x2＋＋1＜0 D. x2＋1＜0 √ √ 解析： 　由于x2＋＋1＜0，x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定 义，只有x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故选A、D. 数学·必修第一册 目录 2. 不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为（　　） A. B. C. D. {x｜x≥3} √ 解析： 　因为（2x＋1）（x－3）≥0，解得x≤－或x≥3，所以不等式 （2x＋1）（x－3）≥0的解集为{x｜x≤－或x≥3}.故选C. 数学·必修第一册 目录 3. 若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－）＜0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜}. {x｜m＜x＜ } 数学·必修第一册 目录 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如表所示： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 ⁠. 解析：根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）图象 的草图，如图.由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 {x｜x＜－2或x＞3}. {x｜x＜－2或x＞3}　 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 34 1. 不等式x2－4x－5＞0的解集是（　　） A. {x｜－1＜x＜5} B. {x｜x＜－1或x＞5} C. {x｜0＜x＜5} D. {x｜－1＜x＜0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　x2－4x－5＞0，即（x＋1）（x－5）＞0，解得x＞5或x＜－1， 所以原不等式的解集是{x｜x＜－1或x＞5}.故选B. 数学·必修第一册 目录 2. 下面四个不等式中解集为R的是（　　） A. －x2＋x＋1≥0 B. x2－2x＋5＞0 C. x2＋6x＋10＞0 D. 2x2－3x＋4＜0 √ 解析： 　利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，对应一元二次 方程的判别式Δ＝62－40＜0，∴该不等式的解集为R，其他可类似判 断.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 〔一题多解〕不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集是（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　法一　取x＝1检验，满足，排除A；取x＝4检验，不满足，排除 B、C. 法二　原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，即（x－1）（2x＋9）≤0，解得－ ≤x≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 若a＞2，则关于x的不等式ax2－（2＋a）x＋2＞0的解集为（　　） A. {x｜x＜或x＞1} B. {x｜＜x＜1} C. {x｜x＞或x＜1} D. {x｜1＜x＜} √ 解析： 　由ax2－（2＋a）x＋2＞0，得（x－1）·（ax－2）＞0.∵a＞2， ∴0＜＜1，∴原不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 〔多选〕若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A（－2，0）， B（1，0），则下列结论正确的是（　　） A. b＋c＝－1 B. 方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1 C. 不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1} D. 不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x｜－2≤x≤1} √ √ √ 解析： 　方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－ 1，即b＝1，c＝（－2）×1＝－2，所以b＋c＝－1.不等式x2＋bx＋c＞0的 解集是{x｜x＜－2或x＞1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x｜－ 2≤x≤1}，所以选项A、B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕下列关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＞0的解集讨论正确的是 （　　） A. 当a＝1时，解集为⌀ B. 当a＞1时，解集为{x｜x＞a} C. 当a＜1时，解集为{x｜x＜a或x＞1} D. 无论a取何值，解集均不为空集 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 　原不等式可化为（x－1）（x－a）＞0.当a＝1时，原不等式为 （x－1）2＞0，解得x≠1，故A错误；当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＜1 或x＞a}，故B错误；当a＜1时，不等式的解集为{x｜x＞1或x＜a}，故C正 确；对于一元二次方程x2－（a＋1）x＋a＝0，Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－ 1）2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确.故选 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 二次函数y＝x2－4x＋3的零点为 ⁠. 解析：由零点的定义知，令x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，故函数y＝x2－ 4x＋3的零点为1和3. 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 写出一个解集为{x｜－2＜x＜3}的关于x的一元二次不等式： ⁠ ⁠. 解析：由一元二次不等式的解法可知，解集为{x｜－2＜x＜3}的一元二次 不等式可以是（x＋2）（x－3）＜0，即x2－x－6＜0. x2－x－6 ＜0（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （13分）解下列不等式： （1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）； 解： 由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象（图略）知，原不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）0≤x2－2x－3＜5. 解： 由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3， 由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4. ∴－2＜x≤－1或3≤x＜4. ∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （15分）解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＜1）. 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1. ②当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1. ③当0＜a＜1时，原不等式化为（x－1）＜0.解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞1}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜1＜x＜}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围为 （　　） A. {k｜k≥2} B. {k｜k≤4} C. {k｜k≥4或k≤2} D. {k｜2≤k≤4} √ 解析： 　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2 －6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 若0＜a＜1，则不等式x2－3（a＋a2）x＋9a3≤0的解集为（　　） A. {x｜3a2≤x≤3a} B. {x｜3a≤x≤3a2} C. {x｜x≤3a2或x≥3a} D. {x｜x≤3a或x≥3a2} √ 解析： 　因为0＜a＜1，所以0＜3a2＜3a.因为方程x2－3（a＋a2）x＋9a3 ＝0的两根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x｜3a2≤x≤3a}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）（ x＋）＜0的解集为  　 . 解析：因为a＜0，所以原不等式等价于（x＋1）·（ x＋）＞0，方程（x＋ 1）（ x＋）＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的 解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 若关于x的不等式x2－mx＜0恰有一个整数解1，则m的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由x2－mx＜0可知x（x－m）＜0，∵x2－mx＜0恰有一个整数解1， ∴0＜x＜m中只有一个整数解1，∴1＜m≤2. 1＜ m≤2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）设集合A＝{x｜x2－2mx＋m2－4≤0}，B＝{x｜x2－5x－6＜ 0}. （1）若m＝4，求A∩B，（∁RA）∪B； 解： 当m＝4时，由x2－8x＋12≤0，解得2≤x≤6，即A＝{x｜ 2≤x≤6}. 由x2－5x－6＜0，解得－1＜x＜6，即B＝{x｜－1＜x＜6}. 所以A∩B＝{x｜2≤x＜6}， ∁RA＝{x｜x＜2或x＞6}，则（∁RA）∪B＝{x｜x＜6或x＞6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解： 由题意得，A⫋B， 因为x2－2mx＋m2－4＝[x－（m－2）]·[x－（m＋2）]≤0，m－2＜m ＋2， 所以A＝{x｜m－2≤x≤m＋2}， 由（1）知B＝{x｜－1＜x＜6}， 所以解得1＜m＜4， 即实数m的取值范围是{m｜1＜m＜4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $