1.4.1 充分条件与必要条件(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，先以“拷贝电影需U盘”情境和电路图问题导入，通过命题概念铺垫，逐步展开充分条件、必要条件的定义及判定，辅以即学即练和微思考搭建学习支架。 其亮点在于融合数学抽象与逻辑推理，通过电路图分析、集合关系转化参数问题等实例，采用定义法与集合法结合的教学方法，课堂小结系统梳理概念及判定步骤。学生能提升逻辑思维，教师可借助丰富例题与规律方法高效教学。

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 1 课标要求 情境导入 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 　　某人要拷贝一部电影，需要U盘，到网店去买，问客服应该买多大内存的U盘，客服说：“8G的就够了”.这样，就产生了“8G内存”与“拷贝一部电影行不行”的关系，那么它们是什么样的关系呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　命题 知识点二　充分条件与必要条件 提能点　根据充分（必要）条件求参数 小结与自测 课时作业 知识点一　命题 目录 4 问题　阅读下列语句： ①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； ②个位数是5的自然数能被5整除； ③直角三角形都相似； ④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 上述语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？ 提示：两个特点：①均是陈述句，②都能够判断真假.其中①②④为真， ③为假. 数学·必修第一册 目录 1. 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 ⁠叫 做命题. 2. 分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题. 3. 结构形式：“若p，则q”形式的命题中， 称为命题的条件， ⁠ 称为命题的结论. 提醒：（1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命 题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无 法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. 真假　 陈述句　 真　 假　 p　 q　 数学·必修第一册 目录 1. 〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A. 0∈N* B. 若a，b都是无理数，则a＋b是无理数 C. 若集合A⊆B，则A∩B＝A D. 1＋2＝3 √ √ 解析： 　对于选项A，0∉N*，故A不符合题意；对于选项B，设a＝， b＝－，则a，b都为无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B不符合题意； 对于选项C，若A⊆B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C符合题意；选项D 符合题意. 数学·必修第一册 目录 2. 判断下列命题的真假： （1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； 解： 假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. （2）若x∈N，则x3＞x2成立； 解： 假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. （3）若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； 解： 真命题.因为m＞1时Δ＝4－4m＜0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根. （4）存在一个三角形没有外接圆. 解： 假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有 外接圆. 数学·必修第一册 目录 规律方法 判断命题真假的方法 　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时 要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假 命题，只需举出一个反例即可. 数学·必修第一册 目录 知识点二　充分条件与必要条件 目录 10 问题　电路图如图所示（图1、图2）. （1）哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？ 提示：图1. （2）对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？ 提示：不一定，也可能是r开关闭合. 数学·必修第一册 目录 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p ⁠q p ⁠q 条件关系 p是q的 条件； q是p的 ⁠条件 p不是q的 条件； q不是p的 ⁠条件 提醒：若p⇒q，则p是q的充分条件.要使结论q成立，条件p是足够的， 是足以保证的.q是p的必要条件，说明q是p成立的必不可少的，缺其不 可的条件. ⇒　 充分　 必要　 充分　 必要　 数学·必修第一册 目录 【微思考】 若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一.例如q：“x＞0”的充分条件p可以是“x＞2”“x＞3”“2 ＜x＜3”等，是不唯一的. 数学·必修第一册 目录 角度1　充分条件的判断 （链接教材P18例1）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ （1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0； 解： 由于x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0，∴p是q的充分条件. （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 解： 这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q， ∴p是q的充分条件. 数学·必修第一册 目录 （3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解： ∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等 四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. （4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根. 解： 由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0，即m＜－. ∵m＜－1⇒m＜－，即p⇒q. ∴p是q的充分条件. 数学·必修第一册 目录 规律方法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p， 则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 数学·必修第一册 目录 角度2　必要条件的判断 （链接教材P19例2）指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解： 因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解： 因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）p：2a＞1，q：a＞1. 解： 因为2a＞1，即a＞，p q，所以q不是p的必要条件. 数学·必修第一册 目录 规律方法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p， 则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的 ⁠条 件；（用“充分不必要”“必要不充分”填空） 解析： 由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充 分不必要条件. （2）“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的 条件.（用“充分 不必要”“必要不充分”填空） 解析： 设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知 B⫋A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜ x≤3”的必要不充分条件. 充分不必要 必要不充分 数学·必修第一册 目录 提能点　根据充分（必要）条件求参数 目录 20 【微思考】 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则集合A与集合B有什么关系？ “x∈A”是“x∈B”的必要条件呢？ 提示：A⊆B；B⊆A. 数学·必修第一册 目录 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p 是q的充分条件，求实数a的取值范围. 题目信息 信息转化 p是q的充分条件 联想到充分条件与集合间关系的转化：若p是q的充分条 件，则p⊆q 数学·必修第一册 目录 解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x｜3a＜x＜a}， q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是{a｜－≤a＜0}. 数学·必修第一册 目录 变式　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q 的必要条件，求实数a的取值范围. 解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x｜－a＜x＜3a}. q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以解得a＞2. 所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}； （2）若p是q的充分条件，则M⊆N；若p是q的必要条件，则N⊆M； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 数学·必修第一册 目录 训练2　已知集合P＝{x｜－2＜x＜4}，Q＝{x｜3m－2≤x≤5m＋2， m∈R}. （1）若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围； 解： 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集. 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝⌀，满足题意； 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0＜m ＜， 综上，m的取值范围是{m｜m＜－2或0＜m＜}. 数学·必修第一册 目录 （2）是否存在实数m使P的必要条件为Q？ 解： 由题意得，P是Q的子集， 则无解，所以m的值不存在. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 28 数学·必修第一册 目录 1. 下列语句是命题的是（　　） A. 0是偶数吗？ B. 你，出去！ C. x－2＝0 D. 3＞4 √ 解析： 　能够判断真假的陈述句叫做命题，故A、B不是命题；对于 C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，3＞4为命题且为假 命题.故选D. 数学·必修第一册 目录 2. 若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既是充分条件又是必要条件 √ 解析： 　由a∈（M∪N） a∈M，但a∈M⇒a∈（M∪N），故p是q的必 要条件. 数学·必修第一册 目录 3. 已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q 的 条件.（用“充分”或“必要”填空） 解析：由图可知，p是q的充分条件. 4. 若“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分条件，试求实数a的取值范围. 解：因为“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分条件，所以{x｜－1＜x＜3} 是{x｜x＞2a－3}的子集，则2a－3≤－1，解得a≤1. 充分 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：103分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 33 1. 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既是充分条件又是必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时， 有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件. 数学·必修第一册 目录 2. 已知p：x（x－1）＝0，q：x＝1，则p是q的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既是充分条件又是必要条件 √ 解析： 　由x（x－1）＝0得x＝0或x＝1，所以p q，q⇒p，故p是q的必要 条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B. 语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D. “x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 √ 解析： 　命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是 直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋ a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项 B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项 D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的 （　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既是充分条件又是必要条件 √ 解析： 　这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是 “有好报”的充分条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 若“x＞a”是“x≥2”的必要条件，则a的取值范围为（　　） A. {a｜a＞2} B. {a｜a＜2} C. {a｜a≥2} D. {a｜a≤2} √ 解析： 　设A＝{x｜x≥2}，B＝{x｜x＞a}，因为“x＞a”是“x≥2”的 必要条件，所以A⊆B，所以a＜2，所以a的取值范围是{a｜a＜2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＋b＞0 C. a＜0，b＜0 D. a＞1，b＞1 √ √ √ 解析： 　因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞ 1⇒ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝ －1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. “x2＝2x”是“x＝0”的 条件，“x＝0”是“x2＝2x”的 ⁠ 条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝ 0”是“x2＝2x”的充分条件. 必要 充 分　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的值 为 ⁠. 解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以m2×22 －（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－1）（2m＋ 1）＝0，解得m＝1或m＝－. 1或－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （13分）判断下列语句是不是命题，若是命题，请判断其是真命题还是 假命题. （1）一个数不是正数就是负数； 解： 是命题，一个数还可以是0，因此是假命题. （2）－2＜a＜3； 解： 不能判断真假，不是命题. （3）画线段AB＝CD； 解： 和 （4）把门关上； 解： 都是祈使句，不能判断真假，不是命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （5）10 000 000是一个好大的数啊！ 解： 是感叹句，不能判断真假，不是命题. （6）（x－y）（x＋y）＝x2－y2. 解： 是命题，是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （13分）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条 件？哪些命题中p是q的必要条件？ （1）若x＞2，则x＞1； 解： 若x＞2，则x＞1成立，反之不成立，即p是q的充分条件. （2）若x－1＝，则x＝1； 解： 由x－1＝得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件. （3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等. 解： 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成 立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件 是（　　） A. x＋y＝2 B. x＋y＞2 C. x2＋y2＞2 D. xy＞1 √ 解析： 　对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立； 对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不 成立，也不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条 件，但不是乙的必要条件，那么（　　） A. 丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件 C. 丙既是甲的充分条件又是甲的必要条件 D. 丙既不是甲的充分条件也不是甲的必要条件 √ 解析： 　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙 是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但 乙 丙，如图.综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分 条件但不是甲的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 〔多选〕下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有 （　　） A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形 D. 对于实数x，若－1≤x≤5，则x≥9或x≤5 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 解析： 对于A，若x＋y是偶数，则x，y可能都是偶数，也可能都是奇 数，故A不符合题意；对于B，若方程x2－2x＋a＝0有实根，则Δ＝4－ 4a≥0，即a≤1，可推出a＜2，故B符合题意；对于C，若四边形是平行四 边形，则四边形的对角线互相平分，故C符合题意；对于D，由x≥9或x≤5 不能推出－1≤x≤5，故p不是q的必要条件，故D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且B≠⌀，若 “x∈B”的必要条件是“x∈A”，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：因为“x∈B”的必要条件是“x∈A”，所以B⊆A，又因为B≠⌀， 所以或解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得，实 数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}. {a｜a＜－4或1 ＜a≤3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）已知条件p：x＜1－a或x＞1＋a和条件q：x＜或x＞1，求使p 是q的充分条件的最小正整数a. 解：依题意a＞0，由条件p：x＜1－a或x＞1＋a， 可设M＝{x｜x＜1－a或x＞1＋a}， 由条件q：x＜或x＞1，可设N＝{x｜x＜或x＞1}. 要使p是q的充分条件， 则M⊆N，应有解得a≥. 又a∈N*，令a＝1，则M＝{x｜x＜0或x＞2}⊆N＝{x｜x＜或x＞1}， 即p⇒q，所以a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $