数学好玩 鸡兔同笼【导图知识卡片+知识梳理+4个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义以“鸡兔同笼”为核心，通过思维导图构建知识框架，系统梳理列表法、假设法、方程法等解题方法，用表格对比不同方法的适用场景，清晰呈现从基础到拓展的知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层设计与方法迁移，基础层通过名校易错题巩固列表法（如“10头28腿”列表求解），提高层以“无人机配送包裹”等实际问题培养假设法应用的数学思维，奥数层“九头虫与九尾狐”问题强化模型意识，助力教师精准分层教学，学生自主提升解题能力。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 数学好玩 鸡兔同笼『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+4个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一：列表法 2 知识点二：假设法 2 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 列表法解鸡免同笼 3 高频考点二 假设法解鸡免同笼 5 高频考点三 方程法解鸡免同笼 6 高频考点四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 7 难点突破 奥数拓展 8 奥数拓展一 列表法解鸡免同笼 8 奥数拓展二 假设法解鸡免同笼 9 奥数拓展三 方程法解鸡免同笼 9 奥数拓展四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 10 优选真题 实战演练 10 【基础通关】 10 【能力提升】 12 知识点一：列表法 先猜测鸡和兔各有几只，再验证脚的只数是否对应，经过不断猜测、验证，最终找到答案。 知识点二：假设法 1. 假设法：假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。 2. 解题步骤 （1）进行假设：将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。 （2）计算假设总和：根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数为2×8=162×8=16只；若假设全是兔，每只兔有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=324×8=32只。 （3）比较并计算差值：拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26−16=1026−16=10只脚。 （4）分析原因并求解：分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4−2=24−2=2只脚，根据这个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只兔子看成鸡少2只脚，所以兔的数量为10÷2=510÷2=5只，进而鸡的数量为8−5=38−5=3只。 3. 注意事项 假设法需要已知两个事物（如鸡和兔）的两种属性（如头的数量和脚的数量）各自的总和，满足这样特征的问题才可以考虑用假设法求解。 高频考点一 列表法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级下·江西九江·期末）“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》。现鸡兔同笼一共有10个头，28条腿、鸡、兔各有几只？请你用列表的方法解决问题。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 答：_________________________。 【变式训练1】（25-26五年级上·四川成都·期末）松鼠每天采摘松果储存过冬。晴天每天摘28个，雨天每天比晴天少摘8个，一周共摘了180个。这一周（不是晴天就是雨天）雨天有多少天？晴天有多少天？ 雨天/天 晴天/天 松果数/个 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 答：这一周雨天有（    ）天，晴天有（    ）天。 【变式训练2】（25-26五年级上·陕西汉中·期末）小明在家庭聚会时复刻古人的投壶（如图）游戏，规则如下：每人有10枚“箭”。准备大、小两个壶，投中大壶得3分，投中小壶得5分，没有投中扣1分。最终，小明的姐姐投中9次，共得32分，她大壶和小壶分别投中了多少次？请你用列表的方法解决问题。 【变式训练3】（25-26五年级上·浙江丽水·期末）元旦假期，某单位46名员工自驾到丽水古堰画乡游玩。请你利用所学知识帮忙解决以下问题。 (1)车辆安排：单位准备了5座车和6座车共8辆，每辆车都刚好坐满。负责人用下面的表格尝试安排车辆： 车的总辆数 5座车/辆 6座车/辆 人数 8 8 0 40 7 1 41 6 2 42 … … … 观察表格，请回答： ①每减少1辆5座车，同时增加1辆6座车，可坐的总人数就会增加( )人。 ②如果5座车、6座车各安排4辆，那么一共可坐( )人。 ③按照这样的规律，单位最终安排5座车( )辆，6座车( )辆。 (2)午餐座位安排：午饭时，大家体验了丽水特色“长桌宴”（如图），按这样的拼法，4张桌子可以坐( )人；该单位46名员工需要拼( )张这样的桌子刚好坐满。 (3)停车缴费：8辆车在景区停车场停了6小时20分钟，返回时，他们一共需付多少元停车费？ 景区停车场收费标准： ①30分钟内免费。 ②停车30分钟以上至2小时（包含2小时）收5元。 ③停车超过2小时部分，每小时收3元。（不足1小时按1小时计算） 高频考点二 假设法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·广东佛山·阶段检测）随着生活水平的不断提升，野外露营成为了人们休闲的一种新方式。秋假期间，五年（1）班家长自发组织学生去顺峰山露营，下面是他们出发前购买的水果信息。 ①买了16千克苹果。 ②香蕉9.6元/千克，称重打价后显示总价192元。 ③只买了香蕉和苹果，共付了424元。 根据上面数学信息，合理解答下面每个问题。 (1)每千克苹果多少元？ (2)一个苹果大约0.32千克，购买的苹果刚好够每位同学一个，但是香蕉刚好每位同学分了2根，平均每根香蕉多少千克？ (3)本次露营，家长还为孩子们每人准备2瓶矿泉水，矿泉水有两种包装：A包装是8瓶一箱，每箱14.4元，B包装是12瓶一箱，每箱19.2元。如果两种包装的矿泉水共买了11箱，买这些矿泉水需要花多少元？ 【变式训练1】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）《孙子算经》有这样一段话：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有三十六足，问鸡兔各几何？”根据这句话的信息可以知道鸡有( )只，兔有( )只。 【变式训练2】（24-25五年级下·山东东营·期末）零钱罐里有1元和5元的人民币20张，共40元，1元有( )张，5元有( )张。 【变式训练3】（25-26五年级上·四川成都·期末）邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的特点和价值，为集邮爱好者提供了丰富的选择。暖暖用10元钱正好买了2角和5角的邮票共35张，这两种邮票各买了多少张？ 高频考点三 方程法解鸡免同笼 【典例精讲】（23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测）停车场现在只有汽车和两轮摩托车一共18辆，轮胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的合数，其中汽车有（    ）辆。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1】（25-26五年级下·河南焦作·期末）学校书法比赛需要购买毛笔和砚台。毛笔每支12元，砚台每个28元，一共买了30件物品，总共花了600元。请问毛笔和砚台各买了多少件？ 【变式训练2】（24-25五年级下·山东济南·期末）3月12日是植树节，为响应“绿水青山就是金山银山，保护环境人人有责。”的号召，钢城区某学校组织五年级学生参加植树活动。共32人参加此次活动，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，一共种了80棵树。参加植树活动的女生有( )人。 【变式训练3】（24-25五年级下·天津红桥·期末）某羽毛球馆有20个羽毛球场地，现有54人在场地打球（所有场地均被占满），进行单打的羽毛球场地有( )个，进行双打的羽毛球场地有( )个。 高频考点四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】（25-26五年级上·陕西咸阳·期末）某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是55个。智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【变式训练1】（25-26五年级上·陕西榆林·期末）某物流公司使用两种无人机进行快递配送，小型无人机每次可配送2个包裹，大型无人机每次可配送4个包裹，某天监控系统显示两种无人机共执行了18次配送任务，共配送了50个包裹。这天小型无人机和大型无人机分别执行了多少次配送任务？ 【变式训练2】（25-26五年级上·陕西西安·期末）实验小学五（1）班的同学将义卖活动筹得的善款全部用于购买书包，捐赠给一所贫困山区小学的同学们。他们用筹得的1000元善款，从文具店购买了两种不同的书包：一种是经济实用的“基础款”书包，每个40元；另一种是容量更大、更适合走远路上学的“加厚款”书包，每个60元。最终，他们一共买到了22个书包，刚好能将善款全部用完。请问：充满爱心的同学们，购买的“基础款”书包和“加厚款”书包各有多少个？ 【变式训练3】张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了______名小朋友。 奥数拓展一 列表法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）乒乓球是我国的国球。在乒乓球训练场，一共有64名运动员在用24张乒乓球台进行训练，有的单打有的双打。请用列表的方法解答，一共有几张乒乓球台在进行单打训练？（单打是指双方各1名选手对打，双打是指双方各2名选手配合对打） 答：一共有______张乒乓球台在进行单打训练。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁丹东·期末）市团委举行小学生诗词大赛，一共设置20道题。评分标准是：答对一题得5分，不答或答错倒扣3分，笑笑最终得了76分，请你用列表的方法算一算笑笑答对了多少道题？ 【变式训练2】（25-26五年级上·广东茂名·期末）鸡兔同笼，有13个头，34条腿，鸡、兔各有多少只？（用列表法解决问题） 鸡/只 兔/只 腿/条 奥数拓展二 假设法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？ 【变式训练1】（25-26五年级上·陕西榆林·期末）一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了22分，他投中了( )个3分球，( )个2分球。 【变式训练2】（24-25五年级上·上海嘉定·期末）小胖参加数学竞赛。共有20道竞赛题，答对一道得5分，答错（或不答）一道倒扣3分。小胖得了68分，那么他答对了( )道题。 奥数拓展三 方程法解鸡免同笼 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）生物学家最近新发现了两种生物，一种叫九头虫，一种叫九尾狐。已知九头虫有9头1尾，而九尾狐有9尾1头。现在有63个头和87条尾巴。请问，九尾狐比九头虫多( )只。 【变式训练2】（25-26五年级上·全国·课后作业）园园参加数学比赛，一共有10道题，每道题做对得8分，不做或做错扣5分，园园最后得了41分。她做对了几道题？ 【变式训练2】（23-24四年级下·全国·课后作业）妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 奥数拓展四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】学校某层楼共有12间宿舍，共有80个床位，大宿舍每间8个床位，中宿舍每间7个床位，小宿舍每间5个床位，大宿舍有多少间？下列结果不可能的是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练1】（25-26五年级下·江苏·期中）春假期间，小宇和朋友去游乐园玩，他们买了5张过山车门票和3张旋转木马门票，共付380元；如果买3张过山车门票和5张旋转木马门票，共付340元，那么过山车的单价是( )元，旋转木马的单价是( )元。 【变式训练2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【基础通关】 1．（25-26五年级上·广东佛山·期末）一年一度的秋季运动会又来了，五年级家委为孩子们购买了12箱矿泉水，矿泉水有两种包装，小箱的每箱12瓶，大箱的每箱20瓶。级长在分发时发现，两种矿泉水共200瓶，其中大箱的比小箱的多（    ）。 A．2箱 B．3箱 C．4箱 D．5箱 2．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）鸡兔同笼，共46个头，128条腿，鸡、兔分别有（    ）只。 A．28、18 B．18、28 C．20、26 D．24、22 3．（24-25五年级下·宁夏银川·期末）鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数，有22只脚，则笼子里有（    ）只兔子。 A．6 B．3 C．5 D．10 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）鸡兔同笼，有21个头，70条腿。鸡、兔各有几只？完成填空，并补全表格。 小强用列表法解决这个问题，他发现：每增加1只鸡，减少1只兔，腿就会减少（__）条。从80到70减少了（__）条腿，就应该增加（__）只鸡，减少（__）只兔。 5．（24-25五年级下·安徽阜阳·期末）鸡兔共50只，鸡和兔的脚有120只，鸡有( )只。 6．（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一次数学竞赛有20道题，做对一题记﹢5分，做错一题记﹣1分，小明得了88分，小明做对了多少题？ 7．（24-25五年级下·山东淄博·期末）《孙子算经》是唐代数学家李淳风所写的一本数学著作，其中首次记录了“鸡兔同笼”问题。在数学课上，李淳风先生通过AI技术向同学们发问：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共15个头，42只脚。问：鸡和兔各有多少只？ 8．（24-25五年级下·四川泸州·期末）爸爸为了鼓励东东和强强养成坚持跳绳的习惯，约定：每天先完成跳绳的获得4面红旗，后完成跳绳的获得3面红旗。经过几天的坚持锻炼，东东已经获得了29面红旗，那么强强可能获得了多少面红旗？请表示你的思考过程。 9．（25-26五年级下·山东烟台·期末）在一次“端午知识知多少”的知识竞赛中，一共有20道题，做对一题得5分，做错或不做，每题倒扣2分，五（3）班的代表们得了79分，他们做对了( )道题。 10．（25-26五年级下·山东泰安·期末）五年级二班全班45名同学义务植树造林612棵。每个男生栽15棵、每个女生栽12棵。男生和女生各有多少人？ 【能力提升】 1．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）聪聪的储蓄罐里有5角和1元的硬币共24枚，总值19.5元，则5角的硬币有（    ）枚。 A．15 B．13 C．11 D．9 2．（25-26五年级上·河北·课后作业）校园知识比赛共10道题。做对一道得5分，做错或没做倒扣3分。乐乐一共得了26分，他做对了（    ）道题。 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26五年级下·山东烟台·期末）古代《算法统宗》一书中有一道著名的古算题，“一百馒头一百僧（僧指和尚），大僧三个更无争（意思是：大和尚每人吃三个，小僧三人分一个，大小和尚各几个？”答：大和尚( )人，小和尚( )人。 4．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）动物园里的鸵鸟和长颈鹿一共有30只眼睛和44条腿。这个动物园里的鸵鸟有( )只，长颈鹿有( )只。 5．（24-25五年级上·广东深圳·期末）乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的训练，共有16张乒乓球桌，共有38人在打球。那么，进行单打的桌子有( )张，进行双打的桌子有( )张。 6．（24-25五年级上·河北邢台·期末）在青少年学宪法知识竞赛中，共有20道题，规定答对1道题得5分，答错一道题扣5分。聪聪20道题全答了，结果只得了70分，聪聪答对了几道题？答错了几道题？ 7．（24-25五年级下·山东威海·期中）李老师带了2张100元和1张50元的人民币到文具店，正好购买了单价为10元和5元的圆珠笔共30支。他买了多少支单价为10元的圆珠笔？ 8．（24-25五年级上·全国·课后作业）四季鲜花店委托运输公司运送2000个玻璃花瓶，每个花瓶运费0.4元，如损坏一个，要赔偿7元，结果运输公司得到运费711.2元。运输公司在搬运过程中损坏了多少个花瓶？ 9．（25-26四年级下·四川广安·期末）某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 10．（25-26四年级下·河北邢台·期末）学校社团组织同学们下棋，象棋和跳棋一共有24副。象棋每副需要2人下，跳棋每副需要6人下。这些棋正好能满足120人同时参与下棋，象棋和跳棋各有多少副？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 数学好玩鸡兔同笼『举一反三知识讲练 】(思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+4个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练共48题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络... 2 知识梳理温故知新.· 知识点一：列表法.... 知识点二：假设法 考点讲练真题汇总… 3 高频考点一列表法解鸡免同笼. …3 高频考点二假设法解鸡免同笼………… 高频考点三方程法解鸡免同笼.… 高频考点四用假设法解决含有两个未知量的实际问题......7 难点突破奥数拓展…8 第1页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展一列表法解鸡免同笼.···… 奥数拓展二假设法解鸡免同笼......... 奥数拓展三方程法解鸡免同笼.… 9 奥数拓展四用假设法解决含有两个未知量的实际问题 10 优选真题实战演练.…… 10 【基础通关】 10 【能力提升】 ….12 导图指引梳理脉络 鸡兔同笼，有9个头，26条腿， ◆挑战升级 《孙子算经》中的原题是：“今有雄兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 鸡兔各有几只？ 问雄兔各几何？”读一读，你知道这道题的意思吗？尝试解决这个问题 有头又有腿， 有9个头，有 知采鸡有1只，兔 可以列表 怎么算呢？ 哪些可能呢？ 就要有8只… 试试。 读懂了吗 这道题的意思是鸡兔同莞，有35个头 鸡有几只兔有几只腿数合起来 还从有1只鸡 33 36× 开始一个一个 32 134× 地试… 31 132× 23 12 94V ●初步尝试 鸡几只兔有肌只腿数合来 。请你列表来试一试，并与同伴交流 38× ……这么多部，一定是兔子太多了 6 0 25 20X …腿还多，继续诚少免子只数 我是这样列表的 1500X …差不多了，再调一点儿。 鸡有肌只兔有几只腿数合然来 25 1090X 低设有1只鸡，应 还可以假设有1只 …题数比94少了，要增加免子只数 834X 24 1192× 被有8只兔，鸡起 2 32× 兔8只鸡，我也列 数学好玩 231294V 3630× 我是这么做的。 免的腿数是34，不 表试试。 28× 鸡兔同笼 对 5426V 我先纸设鸡和兔的 鸡有几只免有几只腿数合起来 18106X 只数差不多…… 20 15100× ●在上面解决问题的过程中，你有什么发现？与同伴交流 22 396× 231294/ 我发现鸡增加1只 几只兔有肌只感数泰 照这样做下去，不 ◆回顾反思 834X-2 免减少1只，是程 管头数和腿数是多 32X 会减少2条 630×-2 少，都能解决。 列表时，先考虑鸡免 腿数太多时，要减 的只数从什么数开始 少兔的只数；腿数 我的收获 堂试，再分析调整。 太少时 1.理解鸡兔同笼问题的意思，知道用列表法可以解决这类问题。 2.通过列表，发现鸡增加1只，兔减少1只，是数减少2条 3.学会根据腿数的多少灵活调整鸡兔的只数。 知识梳理温故知新 8装的细者男数888表。08 知识点一：列表法 先猜测鸡和兔各有几只，再验证脚的只数是否对应，经过不断猜测、验证，最终找到答案。 知识点二：假设法 1.假设法：假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知 第2页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。 2.解题步骤 (1)进行假设：将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。 (2)计算假设总和：根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。 例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数 为2×8=162×8=16只；若假设全是免，每只免有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=324×8=32 只。 (3)比较并计算差值：拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实 际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26-16=1026-16=10只脚。 (4)分析原因并求解：分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4-2=24-2=2只脚，根据这 个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只 兔子看成鸡少2只脚，所以免的数量为10÷2=510÷2=5只，进而鸡的数量为8-5=38-5=3只。 3.注意事项 假设法需要已知两个事物（如鸡和兔)的两种属性（如头的数量和脚的数量)各自的总和，满足这样 特征的问题才可以考虑用假设法求解。 昌考点讲练真题汇总 高频考点一列表法解鸡免同笼 【典例精讲】(25-26五年级下·江西九江·期末)“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》。 现鸡兔同笼一共有10个头，28条腿、鸡、兔各有几只？请你用列表的方法解决问题。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 第3页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 答： 【变式训练1】(25-26五年级上·四川成都·期末)松鼠每天采摘松果储存过冬。晴天每天摘28个，雨 天每天比晴天少摘8个，一周共摘了180个。这一周（不是晴天就是雨天）雨天有多少天？晴天有多少天？ 雨天/天 晴天/天 松果数/个 ) ( ( 答：这一周雨天有( )天，晴天有( )天。 【变式训练2】(25-26五年级上·陕西汉中·期末)小明在家庭聚会时复刻古人的投壶（如图）游戏，规 则如下：每人有10枚“箭”。准备大、小两个壶，投中大壶得3分，投中小壶得5分，没有投中扣1分。 最终，小明的姐姐投中9次，共得32分，她大壶和小壶分别投中了多少次？请你用列表的方法解决问题。 【变式训练3】(25-26五年级上·浙江丽水·期末)元旦假期，某单位46名员工自驾到丽水古堰画乡游 玩。请你利用所学知识帮忙解决以下问题。 (1)车辆安排：单位准备了5座车和6座车共8辆，每辆车都刚好坐满。负责人用下面的表格尝试安排车辆： 车的总辆数 5座车/辆 6座车/辆 人数 第4页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 8 40 41 8 6 2 42 观察表格，请回答： ①每减少1辆5座车，同时增加1辆6座车，可坐的总人数就会增加( )人。 ②如果5座车、6座车各安排4辆，那么一共可坐( )人。 ③按照这样的规律，单位最终安排5座车( )辆，6座车( )辆。 (2)午餐座位安排：午饭时，大家体验了丽水特色“长桌宴”（如图），按这样的拼法，4张桌子可以坐( 人；该单位46名员工需要拼( )张这样的桌子刚好坐满。 ●● ●●●● ●●●●●● ●● ●● ●●●● ●●●●●● ① ② ③ (3)停车缴费：8辆车在景区停车场停了6小时20分钟，返回时，他们一共需付多少元停车费？ 景区停车场收费标准： ①30分钟内免费。 ②停车30分钟以上至2小时（包含2小时）收5元。 ③停车超过2小时部分，每小时收3元。（不足1小时按1小时计算） 高频考点二假设法解鸡免同笼 【典例精讲】(25-26五年级上·广东佛山·阶段检测)随着生活水平的不断提升，野外露营成为了人们 休闲的一种新方式。秋假期间，五年(1)班家长自发组织学生去顺峰山露营，下面是他们出发前购买的水 果信息。 第5页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 ①买了16千克苹果。 ②香蕉9.6元/千克，称重打价后显示总价192元。 ③只买了香蕉和苹果，共付了424元。 根据上面数学信息，合理解答下面每个问题。 (1)每千克苹果多少元？ (2)一个苹果大约0.32千克，购买的苹果刚好够每位同学一个，但是香蕉刚好每位同学分了2根，平均每 根香蕉多少千克？ (3)本次露营，家长还为孩子们每人准备2瓶矿泉水，矿泉水有两种包装：A包装是8瓶一箱，每箱14.4元， B包装是12瓶一箱，每箱19.2元。如果两种包装的矿泉水共买了11箱，买这些矿泉水需要花多少元？ 【变式训练1】(25-26五年级上·广东深圳·阶段检测)《孙子算经》有这样一段话：“今有鸡兔同笼， 上有十二头，下有三十六足，问鸡兔各几何？”根据这句话的信息可以知道鸡有( )只，兔有( 只。 【变式训练2】(24-25五年级下·山东东营·期末)零钱罐里有1元和5元的人民币20张，共40元，1 元有( )张，5元有( )张。 【变式训练3】(25-26五年级上·四川成都·期末)邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、 航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的特点和价值，为集邮爱好者提供了丰 富的选择。暖暖用10元钱正好买了2角和5角的邮票共35张，这两种邮票各买了多少张？ 高频考点三方程法解鸡免同笼 【典例精讲】（23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测)停车场现在只有汽车和两轮摩托车一共18辆，轮 胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的合数，其中汽车有( ）辆。 A.2 B.3 C.4 D.5 第6页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级下·河南焦作·期末)学校书法比赛需要购买毛笔和砚台。毛笔每支12元， 砚台每个28元，一共买了30件物品，总共花了600元。请问毛笔和砚台各买了多少件？ 【变式训练2】(24-25五年级下·山东济南·期末)3月12日是植树节，为响应“绿水青山就是金山银 山，保护环境人人有责。”的号召，钢城区某学校组织五年级学生参加植树活动。共32人参加此次活动， 男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，一共种了80棵树。参加植树活动的女生有( )人。 【变式训练3】(24-25五年级下·天津红桥·期末)某羽毛球馆有20个羽毛球场地，现有54人在场地打 球（所有场地均被占满），进行单打的羽毛球场地有( )个，进行双打的羽毛球场地有( 个。 高频考点四用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】(25-26五年级上·陕西咸阳·期末)某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人， 清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是55个。 智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【变式训练1】(25-26五年级上·陕西榆林·期末)某物流公司使用两种无人机进行快递配送，小型无人 机每次可配送2个包裹，大型无人机每次可配送4个包裹，某天监控系统显示两种无人机共执行了18次配 送任务，共配送了50个包裹。这天小型无人机和大型无人机分别执行了多少次配送任务？ 第7页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(25-26五年级上·陕西西安·期末)实验小学五(1)班的同学将义卖活动筹得的善款全 部用于购买书包，捐赠给一所贫困山区小学的同学们。他们用筹得的1000元善款，从文具店购买了两种不 同的书包：一种是经济实用的“基础款”书包，每个40元；另一种是容量更大、更适合走远路上学的“加 厚款”书包，每个60元。最终，他们一共买到了22个书包，刚好能将善款全部用完。请问：充满爱心的 同学们，购买的“基础款”书包和“加厚款”书包各有多少个？ 【变式训练3】张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。 最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了_一一名小朋友。 难点突破奥数拓展 果e银细BB表细果8e银。表e8BB8 奥数拓展一列表法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末)乒乓球是我国的国球。在乒乓球训练场，一共有64名 运动员在用24张乒乓球台进行训练，有的单打有的双打。请用列表的方法解答，一共有几张乒乓球台在进 行单打训练？（单打是指双方各1名选手对打，双打是指双方各2名选手配合对打） 答：一共有张乒乓球台在进行单打训练。 【变式训练1】(23-24五年级上·辽宁丹东·期末)市团委举行小学生诗词大赛，一共设置20道题。评 分标准是：答对一题得5分，不答或答错倒扣3分，笑笑最终得了76分，请你用列表的方法算一算笑笑答 对了多少道题？ 第8页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练2】(25-26五年级上·广东茂名·期末)鸡兔同笼，有13个头，34条腿，鸡、兔各有多少只？ (用列表法解决问题) 鸡/只 兔/只 腿/条 奥数拓展二假设法解鸡免同笼 【典例精讲】(25-26五年级上·辽宁沈阳·期末)小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1 元，1角和5角的硬币各有多少枚？ 【变式训练1】（25-26五年级上·陕西榆林·期末)一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2 分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了22分，他投中了( )个3分球，（ )个2 分球。 【变式训练2】(24-25五年级上·上海嘉定·期末)小胖参加数学竞赛。共有20道竞赛题，答对一道得 5分，答错（或不答）一道倒扣3分。小胖得了68分，那么他答对了( )道题。 奥数拓展三方程法解鸡免同笼 【典例精讲】(24-25五年级上·广东梅州·期末)生物学家最近新发现了两种生物，一种叫九头虫，一 种叫九尾狐。已知九头虫有9头1尾，而九尾狐有9尾1头。现在有63个头和87条尾巴。请问，九尾狐 比九头虫多( ）只。 【变式训练2】(25-26五年级上·全国·课后作业)园园参加数学比赛，一共有10道题，每道题做对得 8分，不做或做错扣5分，园园最后得了41分。她做对了几道题？ 第9页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练2】(23-24四年级下·全国·课后作业)妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本 书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读 完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 奥数拓展四用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】学校某层楼共有12间宿舍，共有80个床位，大宿舍每间8个床位，中宿舍每间7个床位， 小宿舍每间5个床位，大宿舍有多少间？下列结果不可能的是( ）。 A.2 B.4 C.6 D.8 【变式训练1】(25-26五年级下·江苏·期中)春假期间，小宇和朋友去游乐园玩，他们买了5张过山车 门票和3张旋转木马门票，共付380元：如果买3张过山车门票和5张旋转木马门票，共付340元，那么 过山车的单价是()元，旋转木马的单价是( )元。 【变式训练2】（24-25五年级上·江苏·单元测试)为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识， 平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得-8分，源源共得11分，他 答对几道题？答错几道题？ 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级上·广东佛山·期末)一年一度的秋季运动会又来了，五年级家委为孩子们购买了12箱 矿泉水，矿泉水有两种包装，小箱的每箱12瓶，大箱的每箱20瓶。级长在分发时发现，两种矿泉水共200 瓶，其中大箱的比小箱的多( )。 A.2箱 B.3箱 C.4箱 D.5箱 第10页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2.(25-26五年级上·河北石家庄·期末)鸡兔同笼，共46个头，128条腿，鸡、兔分别有( 只。 A.28、18 B.18、28 C.20、26 D.24、22 3.(24-25五年级下·宁夏银川·期末)鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数，有22只脚，则笼子里 有( )只兔子。 A.6 B.3 C.5 D.10 4.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)鸡兔同笼，有21个头，70条腿。鸡、兔各有几只？完成填空， 并补全表格。 鸡/只 邦2 + 兔/只 20119 腿/条 8280下70 小强用列表法解决这个问题，他发现：每增加1只鸡，减少1只兔，腿就会减少()条。从80到70减 少了（)条腿，就应该增加()只鸡，减少()只兔。 5.（24-25五年级下·安徽阜阳·期末)鸡兔共50只，鸡和兔的脚有120只，鸡有( )只。 6.(25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测)一次数学竞赛有20道题，做对一题记+5分，做错一题记- 1分，小明得了88分，小明做对了多少题？ 7.(24-25五年级下·山东淄博·期末)《孙子算经》是唐代数学家李淳风所写的一本数学著作，其中首 次记录了“鸡兔同笼”问题。在数学课上，李淳风先生通过AI技术向同学们发问：现在有一些鸡和兔被关 在同一个笼子里，鸡和兔共15个头，42只脚。问：鸡和兔各有多少只？ 第11页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 8.(24-25五年级下·四川泸州·期末)爸爸为了鼓励东东和强强养成坚持跳绳的习惯，约定：每天先完 成跳绳的获得4面红旗，后完成跳绳的获得3面红旗。经过几天的坚持锻炼，东东已经获得了29面红旗， 那么强强可能获得了多少面红旗？请表示你的思考过程。 9.(25-26五年级下·山东烟台·期末)在一次“端午知识知多少”的知识竞赛中，一共有20道题，做对 一题得5分，做错或不做，每题倒扣2分，五(3)班的代表们得了79分，他们做对了()道题。 10.(25-26五年级下·山东泰安·期末)五年级二班全班45名同学义务植树造林612棵。每个男生栽15 棵、每个女生栽12棵。男生和女生各有多少人？ 【能力提升】 1.(25-26五年级上·陕西榆林·期末)聪聪的储蓄罐里有5角和1元的硬币共24枚，总值19.5元，则 5角的硬币有( )枚。 A.15 B.13 C.11 D.9 2.(25-26五年级上·河北·课后作业)校园知识比赛共10道题。做对一道得5分，做错或没做倒扣3分。 乐乐一共得了26分，他做对了( )道题。 A.5 B.6 C.7 D.8 3.(25-26五年级下·山东烟台·期末)古代《算法统宗》一书中有一道著名的古算题，“一百馒头一百 僧（僧指和尚），大僧三个更无争（意思是：大和尚每人吃三个，小僧三人分一个，大小和尚各几个？” 答：大和尚( )人，小和尚( )人。 第12页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 4.(24-25五年级上·安徽安庆·期末)动物园里的鸵鸟和长颈鹿一共有30只眼睛和44条腿。这个动物 园里的鸵鸟有( )只，长颈鹿有( ）只。 5.(24-25五年级上·广东深圳·期末)乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的训练，共有16张乒乓球 桌，共有38人在打球。那么，进行单打的桌子有( )张，进行双打的桌子有( )张。 6.(24-25五年级上·河北邢台·期末)在青少年学宪法知识竞赛中，共有20道题，规定答对1道题得5 分，答错一道题扣5分。聪聪20道题全答了，结果只得了70分，聪聪答对了几道题？答错了几道题？ 7.(24-25五年级下·山东威海·期中)李老师带了2张100元和1张50元的人民币到文具店，正好购买 了单价为10元和5元的圆珠笔共30支。他买了多少支单价为10元的圆珠笔？ 8.(24-25五年级上·全国·课后作业)四季鲜花店委托运输公司运送2000个玻璃花瓶，每个花瓶运费 0.4元，如损坏一个，要赔偿7元，结果运输公司得到运费711.2元。运输公司在搬运过程中损坏了多少个 花瓶？ 四季鲜花店 9.(25-26四年级下·四川广安·期末)某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏 一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 第13页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(25-26四年级下·河北邢台·期末)学校社团组织同学们下棋，象棋和跳棋一共有24副。象棋每副 需要2人下，跳棋每副需要6人下。这些棋正好能满足120人同时参与下棋，象棋和跳棋各有多少副？ 第14页共14页2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 数学好玩 鸡兔同笼『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+4个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一：列表法 2 知识点二：假设法 2 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 列表法解鸡免同笼 3 高频考点二 假设法解鸡免同笼 9 高频考点三 方程法解鸡免同笼 11 高频考点四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 14 难点突破 奥数拓展 16 奥数拓展一 列表法解鸡免同笼 16 奥数拓展二 假设法解鸡免同笼 18 奥数拓展三 方程法解鸡免同笼 20 奥数拓展四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 22 优选真题 实战演练 24 【基础通关】 24 【能力提升】 30 知识点一：列表法 先猜测鸡和兔各有几只，再验证脚的只数是否对应，经过不断猜测、验证，最终找到答案。 知识点二：假设法 1. 假设法：假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。 2. 解题步骤 （1）进行假设：将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。 （2）计算假设总和：根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数为2×8=162×8=16只；若假设全是兔，每只兔有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=324×8=32只。 （3）比较并计算差值：拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26−16=1026−16=10只脚。 （4）分析原因并求解：分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4−2=24−2=2只脚，根据这个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只兔子看成鸡少2只脚，所以兔的数量为10÷2=510÷2=5只，进而鸡的数量为8−5=38−5=3只。 3. 注意事项 假设法需要已知两个事物（如鸡和兔）的两种属性（如头的数量和脚的数量）各自的总和，满足这样特征的问题才可以考虑用假设法求解。 高频考点一 列表法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级下·江西九江·期末）“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》。现鸡兔同笼一共有10个头，28条腿、鸡、兔各有几只？请你用列表的方法解决问题。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 答：_________________________。 【答案】 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 鸡有6只，兔有4只 【思路引导】鸡和兔一共有个头，说明鸡的只数与兔的只数之和是。鸡有条腿，兔有条腿，总腿数为条。 采用列表法，按照顺序列举鸡和兔的只数组合，分别计算腿的总数，直到找出腿的总数等于条的组合为止。 【规范解答】根据鸡和兔的头数之和为，从鸡有只开始列举，计算腿的条数。 腿的条数计算方法：鸡的只数兔的只数。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 通过列表计算可知，当鸡有只，兔有只时，腿的总数是条，符合题意。 答：鸡有6只，兔有4只。 【变式训练1】（25-26五年级上·四川成都·期末）松鼠每天采摘松果储存过冬。晴天每天摘28个，雨天每天比晴天少摘8个，一周共摘了180个。这一周（不是晴天就是雨天）雨天有多少天？晴天有多少天？ 雨天/天 晴天/天 松果数/个 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 答：这一周雨天有（    ）天，晴天有（    ）天。 【答案】详见表格 2；5 【思路引导】晴天每天采摘的数量减去8求出雨天每天采摘的数量。已知一周共有7天，且只有晴天和雨天两种情况，可以利用列举法（填表法）进行尝试。依次假设雨天的天数，计算出对应的晴天天数，再算出松果的总数，直到找出总数为180个的那一种情况，从而确定雨天和晴天的天数。 【规范解答】雨天每天采摘松果的数量：28－8＝20（个） 假设雨天有1天，则晴天有6天。 松果总数：（个） ，不符合题意。 假设雨天有2天，则晴天有5天。 松果总数：（个） ，符合题意。 雨天3天，晴天4天，总数为：3×20＋4×28＝60＋112＝172个，小于180个。无需再列。 雨天/天 晴天/天 松果数/个 （  1  ） （  6  ） （  188  ） （  2  ） （  5  ） （ 180   ） （  3  ） （  4  ） （ 172   ） 答：这一周雨天有2天，晴天有5天。 【变式训练2】（25-26五年级上·陕西汉中·期末）小明在家庭聚会时复刻古人的投壶（如图）游戏，规则如下：每人有10枚“箭”。准备大、小两个壶，投中大壶得3分，投中小壶得5分，没有投中扣1分。最终，小明的姐姐投中9次，共得32分，她大壶和小壶分别投中了多少次？请你用列表的方法解决问题。 【答案】 投中大壶数量/次 投中小壶数量/次 总得分/分 0 9 3×0＋5×9＝45 1 8 3×1＋5×8＝43 2 7 3×2＋5×7＝41 3 6 3×3＋5×6＝39 4 5 3×4＋5×5＝37 5 4 3×5＋5×4＝35 6 3 3×6＋5×3＝33 大壶投中6次，小壶投中了3次。 【思路引导】先把未投中的1次扣分影响排除，算出投中9次的实际得分是32＋1＝33分。再把问题转化为：在9次投中里，大壶（3分/次）和小壶（5分/次）的组合如何得到33分。用列表法，从大壶投中0次开始，依次列举所有可能的组合，计算对应的小壶次数和总得分，直到找到“大壶6次、小壶3次”这个总得分正好是33分的组合，最后验证这个组合符合题目条件，得出最终答案。 【规范解答】32＋1＝33（分） 表略。 当大壶投中6次、小壶投中3次时，投中得分正好是33分，再减去未投中的1分，总得分32分。 答：她大壶投中6次，小壶投中了3次。 【变式训练3】（25-26五年级上·浙江丽水·期末）元旦假期，某单位46名员工自驾到丽水古堰画乡游玩。请你利用所学知识帮忙解决以下问题。 (1)车辆安排：单位准备了5座车和6座车共8辆，每辆车都刚好坐满。负责人用下面的表格尝试安排车辆： 车的总辆数 5座车/辆 6座车/辆 人数 8 8 0 40 7 1 41 6 2 42 … … … 观察表格，请回答： ①每减少1辆5座车，同时增加1辆6座车，可坐的总人数就会增加( )人。 ②如果5座车、6座车各安排4辆，那么一共可坐( )人。 ③按照这样的规律，单位最终安排5座车( )辆，6座车( )辆。 (2)午餐座位安排：午饭时，大家体验了丽水特色“长桌宴”（如图），按这样的拼法，4张桌子可以坐( )人；该单位46名员工需要拼( )张这样的桌子刚好坐满。 (3)停车缴费：8辆车在景区停车场停了6小时20分钟，返回时，他们一共需付多少元停车费？ 景区停车场收费标准： ①30分钟内免费。 ②停车30分钟以上至2小时（包含2小时）收5元。 ③停车超过2小时部分，每小时收3元。（不足1小时按1小时计算） 【答案】(1) 1 44 2 6 (2) 18 11 (3)160元 【思路引导】（1）①每减少1辆5座车，同时增加1辆6座车，可坐的总人数就会增加（6－5）人； ②5座车的数量×4＋6座车的数量×4＝可坐的总人数； ③根据规律，结合第②小题的数据，在5座车、6座车各安排4辆的基础上，再减少2辆5座车，增加2辆6座车，刚好可坐46人。 （2）看图可知，1张桌子可坐6人，6＝1×4＋2；2张桌子可坐10人，10＝2×4＋2；3张桌子可坐14人，14＝3×4＋2……由此可知，坐的人数＝桌子数×4＋2；桌子数＝（坐的人数－2）÷4。 （3）6小时20分钟不足7小时按7小时计算。先求出超出2小时的时间，乘对应收费标准，再加上2小时收的5元，计算出1辆的停车费，再乘8即可。 【规范解答】（1）①6－5＝1（人） 每减少1辆5座车，同时增加1辆6座车，可坐的总人数就会增加1人。 ②5×4＋6×4 ＝20＋24 ＝44（人） 如果5座车、6座车各安排4辆，那么一共可坐44人。 ③5×2＋6×6 ＝10＋36 ＝46（人） 按照这样的规律，单位最终安排5座车2辆，6座车6辆。 （2）4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（人） （46－2）÷4 ＝44÷4 ＝11（张） 按这样的拼法，4张桌子可以坐18人；该单位46名员工需要拼11张这样的桌子刚好坐满。 （3）6小时20分钟按7小时计算 （7－2）×3＋5 ＝5×3＋5 ＝15＋5 ＝20（元） 20×8＝160（元） 答：他们一共需付160元停车费。 高频考点二 假设法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·广东佛山·阶段检测）随着生活水平的不断提升，野外露营成为了人们休闲的一种新方式。秋假期间，五年（1）班家长自发组织学生去顺峰山露营，下面是他们出发前购买的水果信息。 ①买了16千克苹果。 ②香蕉9.6元/千克，称重打价后显示总价192元。 ③只买了香蕉和苹果，共付了424元。 根据上面数学信息，合理解答下面每个问题。 (1)每千克苹果多少元？ (2)一个苹果大约0.32千克，购买的苹果刚好够每位同学一个，但是香蕉刚好每位同学分了2根，平均每根香蕉多少千克？ (3)本次露营，家长还为孩子们每人准备2瓶矿泉水，矿泉水有两种包装：A包装是8瓶一箱，每箱14.4元，B包装是12瓶一箱，每箱19.2元。如果两种包装的矿泉水共买了11箱，买这些矿泉水需要花多少元？ 【答案】(1)14.5元 (2)0.2千克 (3)172.8元 【思路引导】（1）用424元减去香蕉的总价，求出苹果的总价，再用苹果的总价除以苹果的千克数，求出每千克苹果的价格； （2）用购买苹果的总千克数除以一个苹果的千克数，求出苹果总个数，即学生的总人数，再用学生的总人数乘2，求出香蕉的个数，用香蕉的总价除以香蕉的单价，求出香蕉的总质量，最后用香蕉的总质量除以香蕉的个数，求出平均每根香蕉的质量； （3）用学生的人数乘2，求出矿泉水的瓶数，两种包装的矿泉水共买了11箱，通过假设全买A包装，计算与实际需要的瓶数差，B包装和A包装的矿泉水每箱差（12－8＝4瓶）；用相差的瓶数除以4，计算出B包装的箱数，进而求出A包装的箱数；最后计算出A、B包装的费用，相加得到总费用。 【规范解答】（1）424－192＝232（元） 232÷16＝14.5（元） 答：每千克苹果14.5元。 （2）16÷0.32＝50（人） 50×2＝100（根） 192÷9.6＝20（千克） 20÷100＝0.2（千克） 答：平均每根香蕉0.2千克。 （3）50×2＝100（瓶） 假设全买A包装，11箱有11×8＝88（瓶） 100－88＝12（瓶） 12－8＝4（瓶） 12÷4＝3（箱） 11－3＝8（箱） 8×14.4＝115.2（元） 3×19.2＝57.6（元） 115.2＋57.6＝172.8（元） 答：买这些矿泉水需要花172.8元。 【变式训练1】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）《孙子算经》有这样一段话：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有三十六足，问鸡兔各几何？”根据这句话的信息可以知道鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 6 6 【思路引导】假设全部为兔子，那么12只兔子，每只兔子有4条腿，应该总共有12×4＝48条，但实际只有36只腿，原因是把鸡的两条腿也看成了四条腿，用（48－36）÷（4－2）即可求出鸡的数量，从而解答。 【规范解答】假设都是兔子。 鸡数量： （12×4－36）÷（4－2） ＝（48－36）÷2 ＝12÷2 ＝6（只） 兔子数量：12－6＝6（只） 即鸡有6只，兔有6只。 【变式训练2】（24-25五年级下·山东东营·期末）零钱罐里有1元和5元的人民币20张，共40元，1元有( )张，5元有( )张。 【答案】 15 5 【思路引导】已知两种面值的人民币总张数和总钱数，求各自张数。利用假设法，假设全是其中一种面值，计算出总钱数与实际总钱数的差，再除以单张面值的差，即可求出另一种面值的张数，最后求出第一种面值的张数。 【规范解答】假设20张人民币全是1元的，5元的张数： （张），1元的张数：（张）。 【变式训练3】（25-26五年级上·四川成都·期末）邮票的种类繁多，有普通邮票、纪念邮票、特种邮票、航空邮票、军用邮票、个性化邮票等等，不同种类的邮票具有不同的特点和价值，为集邮爱好者提供了丰富的选择。暖暖用10元钱正好买了2角和5角的邮票共35张，这两种邮票各买了多少张？ 【答案】 2 角的邮票 25 张，5 角的邮票 10 张。 【思路引导】这是小学典型的鸡兔同笼问题，用假设法解答： 统一单位：10元 ＝ 100角 假设35张全是2角邮票，对应的钱数为：352； 再计算比实际总钱数少的钱数＝总钱数35张的钱数， 少的原因是把5角邮票当成2角计算，每张少算的钱数＝52； 因此5角邮票的张数＝比实际总钱数少的钱数每张少算的钱数； 2角邮票的张数为＝355角邮票的张数； 【规范解答】10 元 ＝ 100 角 （角） （角） （角） （张） （张） 答：买了 2 角的邮票 25 张，5 角的邮票 10 张。 高频考点三 方程法解鸡免同笼 【典例精讲】（23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测）停车场现在只有汽车和两轮摩托车一共18辆，轮胎数是一个两位数，两个数位上的数都是最小的合数，其中汽车有（    ）辆。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】最小的合数是4，可知轮胎总数是44个，可以设汽车有x辆，则摩托车就是（18－x）辆，再根据汽车的轮胎数＋摩托车的轮胎数＝44个，列出方程，求出汽车的数量即可。 【规范解答】解：设汽车有x辆，摩托车有辆。 即汽车有4辆。 【变式训练1】（25-26五年级下·河南焦作·期末）学校书法比赛需要购买毛笔和砚台。毛笔每支12元，砚台每个28元，一共买了30件物品，总共花了600元。请问毛笔和砚台各买了多少件？ 【答案】毛笔15件；砚台15件 【思路引导】设砚台买了x件，毛笔买了（30－x）件；根据总价＝单价×数量，砚台每个28元，x件是28x元，毛笔每支12元，（30－x）件是12×（30－x）元，买砚台的钱数＋买毛笔的钱数＝600元，列方程：28x＋12×（30－x）＝600，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设砚台买了x件，毛笔买了（30－x）件。 28x＋12×（30－x）＝600 28x＋12×30－12x＝600 28x＋360－12x＝600 16x＋360－360＝600－360 16x＝240 16x÷16＝240÷16 x＝15 毛笔：30－15＝15（件） 答：毛笔买了15件，砚台买了15件。 【变式训练2】（24-25五年级下·山东济南·期末）3月12日是植树节，为响应“绿水青山就是金山银山，保护环境人人有责。”的号召，钢城区某学校组织五年级学生参加植树活动。共32人参加此次活动，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，一共种了80棵树。参加植树活动的女生有( )人。 【答案】16 【思路引导】先设女生有x人，根据“共32人参加此次活动”可知，男生有（32－x）人。根据等量关系“男生种的树的棵数＋女生种的树的棵数＝80棵”列方程并解答。 【规范解答】解：设女生有x人，则男生有（32－x）人。 2x＋3（32－x）＝80 2x＋96－3x＝80 96－x＝80 96－x＋x＝80＋x 96＝80＋x 80＋x＝96 80＋x－80＝96－80 x＝16 【变式训练3】（24-25五年级下·天津红桥·期末）某羽毛球馆有20个羽毛球场地，现有54人在场地打球（所有场地均被占满），进行单打的羽毛球场地有( )个，进行双打的羽毛球场地有( )个。 【答案】 13 7 【思路引导】分析题目，设进行双打的羽毛球场地有x个，则单打的羽毛球场地有（20－x）个；根据等量关系：双打的场地数量×每个双打场地的人数（4）＋单打的场地数量×每个单打的场地的人数（2）＝54列出方程，解出方程即可得到双打的场地数量，最后用场地的总数量减去双打的场地数量即可得到单打的场地数量。 【规范解答】解：设进行双打的羽毛球场地有x个，则单打的羽毛球场地有（20－x）个。 4x＋2（20－x）＝54 4x＋2×20－2x＝54 4x＋40－2x＝54 2x＋40＝54 2x＋40－40＝54－40 2x＝14 2x÷2＝14÷2 x＝7 20－7＝13（个） 进行单打的羽毛球场地有13个，进行双打的羽毛球场地有7个。 高频考点四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】（25-26五年级上·陕西咸阳·期末）某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是55个。智能清扫机器人和智能配送机器人分别有多少台？ 【答案】 智能清扫机器人5台；智能配送机器人10台 【思路引导】假设仓库里全是3个轮子的智能清扫机器人，此时对应的轮子总数为3×15＝45个，比实际轮子数少55－45＝10个；每将1台智能清扫机器人替换为4个轮子的智能配送机器人，轮子总数会增加1个，用实际少的轮子数除以每次替换增加的轮子数，就能得到智能配送机器人的台数。最后用总台数减去智能配送机器人的台数，就能得到智能清扫机器人的台数。 【规范解答】假设全是智能清扫机器人。 3×15＝45（个） （55－45）÷（4－3） ＝10÷1 ＝10（台） 15－10＝5（台） 答：智能清扫机器人有5台，智能配送机器人有10台。 【变式训练1】（25-26五年级上·陕西榆林·期末）某物流公司使用两种无人机进行快递配送，小型无人机每次可配送2个包裹，大型无人机每次可配送4个包裹，某天监控系统显示两种无人机共执行了18次配送任务，共配送了50个包裹。这天小型无人机和大型无人机分别执行了多少次配送任务？ 【答案】小型无人机：11次，大型无人机：7次 【思路引导】应用“鸡兔同笼”模型，执行任务次数相当于鸡和兔的头的数量，每次配送包裹数相当于鸡和兔的脚的数量，可以用假设法解决；小型无人机执行任务次数＝（任务总次数×4－实际配送包裹数）÷（大型无人机每次配送包裹数－小型无人机每次配送包裹数）。 【规范解答】假设18次都是大型无人机执行任务，即18次任务全部按每次配送4个包裹核算，则共可配送18×4＝72个包裹，实际配送50个，多了22个，因为小型无人机每次配送2个，假设中是4个，每次任务多算了2个，则22里边有几个2，小型无人机就执行了多少次任务。 小型无人机执行任务次数： （18×4－50）÷（4－2） ＝（72－50）÷2 ＝22÷2 ＝11（次） 大型无人机执行任务次数： 18－11＝7（次） 答：小型无人机执行了11次配送任务，大型无人机执行了7次配送任务。 【变式训练2】（25-26五年级上·陕西西安·期末）实验小学五（1）班的同学将义卖活动筹得的善款全部用于购买书包，捐赠给一所贫困山区小学的同学们。他们用筹得的1000元善款，从文具店购买了两种不同的书包：一种是经济实用的“基础款”书包，每个40元；另一种是容量更大、更适合走远路上学的“加厚款”书包，每个60元。最终，他们一共买到了22个书包，刚好能将善款全部用完。请问：充满爱心的同学们，购买的“基础款”书包和“加厚款”书包各有多少个？ 【答案】 “基础款”书包16个；“加厚款”书包6个 【思路引导】假设22个书包均是“基础款”书包，每个40元，根据“总价＝单价×数量”求出总花费为40×22＝880元，这比实际的1000元少了1000－880＝120元； 每个加厚款书包60元，比基础款贵60－40＝20元，少算的120元，是因为把部分加厚款当成了基础款，所以加厚款的数量为120÷20＝6个； 总数量是22个，因此基础款数量为22－6＝16个。 【规范解答】40×22＝880（元） （1000－880）÷（60－40） ＝120÷20 ＝6（个） 22－6＝16（个） 答：购买的“基础款”书包有16个，“加厚款”书包有6个。 【变式训练3】张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了______名小朋友。 【答案】6 【思路引导】如果每人分3个苹果，则苹果和橘子一样，刚好分完，现每人只分了1个苹果，即每人剩余了2个苹果，共剩余12个苹果，用12÷2，即可得出人数。 【规范解答】12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（名） 所以一共分给了6名小朋友。 奥数拓展一 列表法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）乒乓球是我国的国球。在乒乓球训练场，一共有64名运动员在用24张乒乓球台进行训练，有的单打有的双打。请用列表的方法解答，一共有几张乒乓球台在进行单打训练？（单打是指双方各1名选手对打，双打是指双方各2名选手配合对打） 答：一共有______张乒乓球台在进行单打训练。 【答案】16张 【思路引导】从单打乒乓球台数量为0开始，依次增加1，计算出对应的双打乒乓球台数量和运动员总数，直到找到运动员总数为64的情况为止，据此解答。 【规范解答】 单打台数（张） 双打台数（张） 总人数（人） 0 24 96 1 23 94 2 22 92 3 21 90 4 20 88 5 19 86 6 18 84 7 17 82 8 16 80 9 15 78 10 14 76 11 13 74 12 12 72 13 11 70 14 10 68 15 9 66 16 8 64 故一共有16张乒乓球台在进行单打训练。 【考点剖析】鸡兔同笼问题可以用列表法解决，也可以用假设法或列方程解决。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁丹东·期末）市团委举行小学生诗词大赛，一共设置20道题。评分标准是：答对一题得5分，不答或答错倒扣3分，笑笑最终得了76分，请你用列表的方法算一算笑笑答对了多少道题？ 【答案】17道 【思路引导】最终得分＝答对题数×5－不答或答错题数×3，假设全部答对，再逐渐增加不答或答错题数，列表算出最终得分，找到最终得分是76分的情况即可。 【规范解答】 答对题数 20道 19道 18道 17道 不答或答错题数 0道 1道 2道 3道 得分 100分 92分 84分 76分 答：笑笑答对了17道题。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东茂名·期末）鸡兔同笼，有13个头，34条腿，鸡、兔各有多少只？（用列表法解决问题） 鸡/只 兔/只 腿/条 【答案】鸡6只；兔7只；腿40条； 鸡7只；兔6只；腿38条； 鸡8只；兔5只；腿36条； 9只；4只 【思路引导】鸡兔共有13只，腿有34条。1只鸡2条腿，1只兔4条腿，鸡的只数×2＋兔的只数×4＝34。每增加1只鸡，则要减少1只兔，腿数就减少4－2＝2（条）。先假设鸡有6只，则兔有7只，鸡有6×2＝12（条）腿，兔有7×4＝28（条）腿，鸡兔共有12＋28＝40（条）腿，判断出需增加鸡的只数，减少兔的只数，据此列表解决。 【规范解答】 鸡/只 兔/只 腿/条 6 7 40 7 6 38 8 5 36 9 4 34 答：鸡有9只，兔有4只。 奥数拓展二 假设法解鸡免同笼 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁沈阳·期末）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？ 【答案】21枚；6枚 【思路引导】这道题的解题核心是通过“假设法”计算1角和5角硬币各有多少枚。题目中给出的总值是“5.1元”，而硬币面值是“1角”和“5角”，为了避免单位混淆，首先要统一单位：5.1元＝51角。先假设全是1角，这样可以算出一个“理论总面值”，进而求出理论总面值与实际总面值的差。再求出5角硬币与1角硬币的面值差。最后用总差额除以5角硬币与1角硬币的面值差，就能得到5角硬币的数量。也就是假设全是1角，先算出来的肯定是5角。据此解答。 【规范解答】根据分析： 5.1元＝51角 假设全是1角。 （角） （角） 5角硬币的数量： （枚） 1角硬币的数量： （枚） 答：1角硬币有21枚，5角硬币有6枚。 【变式训练1】（25-26五年级上·陕西榆林·期末）一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了22分，他投中了( )个3分球，( )个2分球。 【答案】 4 5 【思路引导】用假设法解决，假设他投的9个球都是3分球，这时会多5分。是因为把每个2分球多算了1分。5分里面有几个1分，就有几个2分球，求出2分球的数量。再用一共投的球减去2分球的数量，算出3分球的数量。 【规范解答】假设他投的9个球都是3分球。 9×3＝27（分） 27－22＝5（分） 5÷（3－2） ＝5÷1 ＝5（个） 9－5＝4（个） 所以，他投中了4个3分球，5个2分球。 【考点剖析】用假设法解决，把2分球算成3分球，每个2分球就多算了1分。多的5分里面有几个1分，就有几个2分球。 【变式训练2】（24-25五年级上·上海嘉定·期末）小胖参加数学竞赛。共有20道竞赛题，答对一道得5分，答错（或不答）一道倒扣3分。小胖得了68分，那么他答对了( )道题。 【答案】16 【思路引导】这道题可以用假设法来解答。假设20道题全部答对，可得分数为20×5＝100分；实际少得的分数为100－68＝32分；答错（或不答）一道题，少得的分数为：答对得5分＋倒扣3分，即5＋3＝8分；用少得的总分数除以答错（或不答）一道题少得的分数得到答错（或不答）的题数，即32÷8＝4道；用20道题减去答错（或不答）的4道，得到答对的题数。 【规范解答】20×5＝100（分） 100－68＝32（分） 5＋3＝8（分） 32÷8＝4（道） 20－4＝16（道） 因此，小胖参加数学竞赛。共有20道竞赛题，答对一道得5分，答错（或不答）一道倒扣3分。小胖得了68分，那么他答对了16道题。 【考点剖析】解决此类倒扣分数型问题的关键是：明确答错（或不答）一道题的实际失分是“答对得的5分”加上“倒扣的3分”，共8分；用假设法先算出总分差，再通过单题失分求出错题数，最后用总题数减错题数得到对题数，是这类问题的核心解题逻辑。 奥数拓展三 方程法解鸡免同笼 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）生物学家最近新发现了两种生物，一种叫九头虫，一种叫九尾狐。已知九头虫有9头1尾，而九尾狐有9尾1头。现在有63个头和87条尾巴。请问，九尾狐比九头虫多( )只。 【答案】3 【思路引导】已知九头虫有9头1尾，而九尾狐有9尾1头；设九头虫有只就有9个头和条尾巴，则九尾狐有（63－9）只就有（63－9）个头和（63－9）×9条尾巴； 根据“共87条尾巴”可得出等量关系：九头虫的尾数＋九尾狐的尾数＝九头虫和九尾狐的总尾数，据此列出方程，并求出方程的解，即九头虫的只数，进而求出九尾狐的只数；再用九尾狐的只数减去九头虫的只数，求出九尾狐比九头虫多的只数。 【规范解答】解：设九头虫有只，则九尾狐有（63－9）只。 ＋（63－9）×9＝87 ＋567－81＝87 ＋567－81＋81－＝87＋81－ 567＝87＋81－ 87＋80＝567 87＋80－87＝567－87 80＝480 80÷80＝480÷80 ＝6 九尾狐有： 63－9×6 ＝63－54 ＝9（只） 九尾狐比九头虫多：9－6＝3（只） 所以，九尾狐比九头虫多3只。 【考点剖析】本题考查鸡兔同笼问题，找出九头虫和九尾狐的头数、尾数的倍数关系，据此得出等量关系，并按等量关系列方程解答。 【变式训练2】（25-26五年级上·全国·课后作业）园园参加数学比赛，一共有10道题，每道题做对得8分，不做或做错扣5分，园园最后得了41分。她做对了几道题？ 【答案】7道 【思路引导】设园园做对了x道题，那么园园做错了（ ）道，等量关系为：做对的分数-做错的分数＝41分，据此列方程解答。 【规范解答】解：设园园做对了x道题。                               答：园园做对了7道题。 【变式训练2】（23-24四年级下·全国·课后作业）妈妈送给菲菲一个存钱罐，她们约定好每次共读一本书。如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元。如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈。两人读完10本书后，存钱罐里有90元，菲菲有多少次先看完一本书？ 【答案】8次 【思路引导】设菲菲有x次先看完，如果菲菲先看完，妈妈就给存钱罐里放12元，妈妈给存钱罐12x元；妈妈看了（10－x）本，如果妈妈先看完，她就要拿出来3元还给妈妈，妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元，用妈妈给存钱罐12x元－妈妈先看完菲菲拿出给妈妈的钱（10－x）×3元＝菲菲存钱罐的90元，列方程：12x－（10－x）×3＝90，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设菲菲有x次先看完，则妈妈有（10－x）次看完。 12x－（10－x）×3＝90 12x－10×3＋3x＝90 15x－30＝90 15x＝90＋30 15x＝120 x＝120÷15 x＝8 答：菲菲有8次先看完一本书。 奥数拓展四 用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】学校某层楼共有12间宿舍，共有80个床位，大宿舍每间8个床位，中宿舍每间7个床位，小宿舍每间5个床位，大宿舍有多少间？下列结果不可能的是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】如果有2间大宿舍，则中宿舍和小宿舍的床位一共有80－8×2＝64（个）。再把（12－2）间宿舍假设都是中宿舍，则有10×7＝70（个）床位，比实际多了70－64＝6（个）床位；因为每间小宿舍被多算了7－5＝2（个）床位，一共有6÷2＝3（ 间）小宿舍，那么中宿舍有10－3＝7（间）中宿舍。根据该种方法，计算BCD选项即可求出。 【规范解答】A．如果有2间大宿舍，则中宿舍和小宿舍的床位一共有80－8×2＝64（个）。再把（12－2）间宿舍假设都是中宿舍，则有10×7＝70（个）床位，比实际多了70－64＝6（个）床位；因为每间小宿舍被多算了7－5＝2（个）床位，一共有6÷2＝3（ 间）小宿舍，那么中宿舍有10－3＝7（间）中宿舍。不符合题意。 B．如果有4间大宿舍，则中宿舍和小宿舍的床位一共有80－8×4＝48（个）。再把（12－4）间宿舍假设都是中宿舍，则有8×7＝56（个）床位，比实际多了56－48＝8（个）床位；因为每间小宿舍被多算了7－5＝2（个）床位，一共有8÷2＝4（间）小宿舍，那么中宿舍有8－4＝4（间）中宿舍。不符合题意。 C．如果有6间大宿舍，则中宿舍和小宿舍的床位一共有80－8×6＝32（个）。再把（12－6）间宿舍假设都是中宿舍，则有6×7＝42（个）床位，比实际多了42－32＝10（个）床位；因为每间小宿舍被多算了7－5＝2（个）床位，一共有10÷2＝5（间）小宿舍，那么中宿舍6－5＝1（间）中宿舍。不符合题意。 D．如果有8间大宿舍，则中宿舍和小宿舍的床位一共有80－8×8＝ 16（个）。再把（12－8）间宿舍假设都是中宿舍，则有4×7＝28（个） 床位，比实际多了28－16＝12（个）床位；因为每间小宿舍被多算了7－5＝2（个）床位，一共有12÷2＝6（间）小宿舍，大于4了，不可能；故符合题意。 故答案为：D 【考点剖析】本题采用假设法，先假设大宿舍，再假设中宿舍计算。 【变式训练1】（25-26五年级下·江苏·期中）春假期间，小宇和朋友去游乐园玩，他们买了5张过山车门票和3张旋转木马门票，共付380元；如果买3张过山车门票和5张旋转木马门票，共付340元，那么过山车的单价是( )元，旋转木马的单价是( )元。 【答案】 55 35 【思路引导】假设两种购买方案合为一次购买，那么一共买8张过山车门票和8张旋转木马门票需要380元加上340元，也就是720元，用720除以8，求得1张过山车与1张旋转木马门票之和，再乘3，求得3张过山车与3张旋转木马门票之和，用第1次的380元减去3张过山车与3张旋转木马门票之和，余下的钱表示2张过山车门票的钱，再除以2求得过山车的单价，再用90元减去过山车的单价即可。 【规范解答】1张过山车与1张旋转木马门票之和： （380＋340）÷（3＋5） ＝720÷8 ＝90（元） 过山车的单价： （380－90×3）÷2 ＝（380－270）÷2 ＝110÷2 ＝55（元） 旋转木马的单价： 90－55＝35（元） 【变式训练2】（24-25五年级上·江苏·单元测试）为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【答案】7道；3道 【思路引导】根据“答对1题得5分，答错1题得﹣8分”可以知道答对一题与答错一题相差了13分，假设10道题都答对，就应该得（5×10）分，现在只得11分，相差了（50－11）分，用（50－11）除以13，就是答错的题数，再用10减去答错的题数即可。 【规范解答】5＋8＝13（分） 答错：（5×10－11）÷13 ＝（50－11）÷13 ＝39÷13 ＝3（道） 答对：10－3＝7（道） 答：答对7道，答错3道。 【基础通关】 1．（25-26五年级上·广东佛山·期末）一年一度的秋季运动会又来了，五年级家委为孩子们购买了12箱矿泉水，矿泉水有两种包装，小箱的每箱12瓶，大箱的每箱20瓶。级长在分发时发现，两种矿泉水共200瓶，其中大箱的比小箱的多（    ）。 A．2箱 B．3箱 C．4箱 D．5箱 【答案】A 【思路引导】用假设法解答。假设全是大箱，利用大箱的每箱20瓶乘总箱数求出矿泉水的假设总瓶数，用这个总数减去两种矿泉水实际的总数200瓶求出差值。用这个差值除以大箱和小箱的瓶数差计算出小箱的数量，再用总箱数减去小箱的数量计算出大箱的数量，最后用大箱的数量减去小箱数量。 【规范解答】假设全是大箱。 （瓶） 求小箱的数量： （箱） 求大箱的数量： （箱） 求大箱比小箱多的： （箱） 大箱的比小箱的多2箱。 2．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）鸡兔同笼，共46个头，128条腿，鸡、兔分别有（    ）只。 A．28、18 B．18、28 C．20、26 D．24、22 【答案】A 【思路引导】假设全部是鸡，这样算出的总腿数会比实际少，这个差值是因为把兔当成鸡来算，每只兔少算了2条腿，用总腿数差除以每只兔少算的腿数，就能得到兔的数量，再用总只数减去兔的数量，就得到鸡的数量。 【规范解答】假设全部是鸡。 46×2＝92（条） 兔的数量：（128－92）÷（4－2） ＝36÷2 ＝18（只） 鸡的数量：46－18＝28（只） 所以鸡有28只，兔有18只。 3．（24-25五年级下·宁夏银川·期末）鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数，有22只脚，则笼子里有（    ）只兔子。 A．6 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【思路引导】用假设法解题，假设全是鸡，先求出全是鸡的总脚数，它和实际总脚数的差值是因为每只兔子比鸡多2只脚，用差值除以2即可得到兔子的数量。 【规范解答】求全是鸡的总脚数： （只） 假设的总脚数与实际的总脚数相差： （只） 一只兔子比一只鸡多的脚数： （只） 兔子有： （只） 则笼子里有3只兔子。 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）鸡兔同笼，有21个头，70条腿。鸡、兔各有几只？完成填空，并补全表格。 小强用列表法解决这个问题，他发现：每增加1只鸡，减少1只兔，腿就会减少（__）条。从80到70减少了（__）条腿，就应该增加（__）只鸡，减少（__）只兔。 【答案】 2 10 5 5 【思路引导】采用列表法解决鸡兔同笼问题。总头数保持不变，观察表格中鸡、兔只数变化对应的腿数变化，找到变化规律，推算鸡和兔的数量。 【规范解答】对比表格前两组：鸡增加1只，兔减少1只，腿数：（条），即每增加1只鸡，减少1只兔，腿减少2条。 腿一共减少：（条） 调整次数：，鸡增加5只，兔减少5只。   鸡：（只） 兔：（只） 5．（24-25五年级下·安徽阜阳·期末）鸡兔共50只，鸡和兔的脚有120只，鸡有( )只。 【答案】 40 【思路引导】可用假设法解决，假设所有动物全为鸡，因为一只鸡（2只脚）和一只兔（4只脚）的脚数相差2只，所以可以算出实际总脚数（120只）与假设情况下总脚数（）的差值，从而计算出兔的数量，最后用总数减去兔的数量求出鸡的数量。 【规范解答】假设50只全为鸡 总脚数：（只） 实际多出来的脚：（只） 1只兔比1只鸡多的脚：（只） 兔子的数量：（只） 鸡的数量：（只） 6．（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一次数学竞赛有20道题，做对一题记﹢5分，做错一题记﹣1分，小明得了88分，小明做对了多少题？ 【答案】18道 【思路引导】假设全部做对，总的得分比实际得分多，而每做错一道题不但5分拿不到还要倒扣1分，相当于每把一道错题假设为正确的多加了6分，则总分数差值里边有几个6分就有几道错题，总题数－错题数＝答对的题数。 【规范解答】（20×5－88）÷（5＋1） ＝（100－88）÷6 ＝12÷6 ＝2（道） 20－2＝18（道） 答：小明做对了18题。 7．（24-25五年级下·山东淄博·期末）《孙子算经》是唐代数学家李淳风所写的一本数学著作，其中首次记录了“鸡兔同笼”问题。在数学课上，李淳风先生通过AI技术向同学们发问：现在有一些鸡和兔被关在同一个笼子里，鸡和兔共15个头，42只脚。问：鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡有9只；兔有6只 【思路引导】假设全是鸡，则脚的总数＝头数×2。与实际脚数比较，差数是因为每只兔比鸡多2只脚。用总脚数差除以每只兔与鸡的脚数差，得到兔的只数。再用总头数减兔的只数得到鸡的只数。 【规范解答】假设全是鸡。 兔：（42－15×2）÷（4－2） ＝（42－30）÷2 ＝12÷2 ＝6（只） 鸡：15－6＝9（只） 答：鸡有9只，兔有6只。 8．（24-25五年级下·四川泸州·期末）爸爸为了鼓励东东和强强养成坚持跳绳的习惯，约定：每天先完成跳绳的获得4面红旗，后完成跳绳的获得3面红旗。经过几天的坚持锻炼，东东已经获得了29面红旗，那么强强可能获得了多少面红旗？请表示你的思考过程。 【答案】27面或34面 【思路引导】每天两人一共得7面红旗，总红旗数是7的倍数。根据东东的红旗数，结合每天最多得4面、最少得3面，推算出总天数的可能值，再用总红旗数减去东东的红旗数，就能得到强强的红旗数。 【规范解答】每天两人一共得： 4＋3＝7（面） 东东要得到29面，假设每天都得4面，最少需要天数： 29÷4＝7（天）……1（面），7天最多得4×7＝28（面），小于29面，所以总天数最少是7＋1＝8（天）； 东东要得到29面，假设每天都得3面，最多需要天数： 29÷3＝9（天）……2（面），9天最少得3×9＝27（面），小于29面；如果是10天，最少得3×10＝30（面），大于29面，所以总天数最多是9天。 因此总天数只能是8天或9天。 当总天数为8天时：强强的红旗数： 7×8－29 ＝56－29 ＝27（面） 当总天数为9天时，强强的红旗数： 7×9－29 ＝63－29 ＝34（面） 答：强强可能获得了27面或34面红旗。 9．（25-26五年级下·山东烟台·期末）在一次“端午知识知多少”的知识竞赛中，一共有20道题，做对一题得5分，做错或不做，每题倒扣2分，五（3）班的代表们得了79分，他们做对了( )道题。 【答案】 17 【思路引导】用假设法解题，先假设所有题都做对，算出总得分与实际得分的差值，再求出做错或不做1道题比做对1道题少得的分数，用总差值除以每道题的分数差得到错题数，最后用总题数减错题数就是做对的题数。 【规范解答】（分） （分） （分） （道） （道） 他们做对了17道题。 10．（25-26五年级下·山东泰安·期末）五年级二班全班45名同学义务植树造林612棵。每个男生栽15棵、每个女生栽12棵。男生和女生各有多少人？ 【答案】 男生有24人，女生有21人 【思路引导】用假设法解题，先假设全班都是女生，算出假设栽树总棵数与实际总棵数的差值，该差值是把男生当成女生少算的总棵数，用差值除以每个男生比女生多栽的棵数，得到男生人数，再计算女生人数。 【规范解答】假设全班都是女生，男生有： （人） 女生人数为：（人） 答：男生有人，女生有人。 【能力提升】 1．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）聪聪的储蓄罐里有5角和1元的硬币共24枚，总值19.5元，则5角的硬币有（    ）枚。 A．15 B．13 C．11 D．9 【答案】D 【思路引导】1元＝10角，19.5元＝195角，假设24枚硬币全是5角的，则一共有24×5＝120（角），这比已知的195角少出195－120＝75（角），因为1枚5角的硬币比1枚1元的硬币少10－5＝5（角），所以1元的硬币是：75÷5＝15（枚），进而求出5角硬币的数量即可。 【规范解答】1元＝10角 19.5元＝195角 假设全是5角的硬币，则1元的硬币有： （195－24×5）÷（10－5） ＝（195－120）÷5 ＝75÷5 ＝15（枚） 24－15＝9（枚） 则5角的硬币有9枚。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查鸡兔同笼问题的假设法解法，通过假设全是5角硬币，找出与实际面值的差值，再根据每枚硬币的面值差求出1元硬币的数量，进而得到5角硬币的数量。 2．（25-26五年级上·河北·课后作业）校园知识比赛共10道题。做对一道得5分，做错或没做倒扣3分。乐乐一共得了26分，他做对了（    ）道题。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】做对1道得5分，做错或没做倒扣3分，即做对1道比做错或没做多得（分）。假设乐乐全做对，那么可得（分），这样比实际多出（分），则做错或没做的题有（道），再用总的题数减去做错或没做的题，就可以求出做对的题数。 【规范解答】5＋3＝8（分） 5×10＝50（分） 50－26＝24（分） 24÷8＝3（道） 10－3＝7（道） 乐乐一共得了26分，他做对了7道题。 故答案为：C 【考点剖析】本题是易错题，考查鸡兔同笼的运用，易错点在没有正确理解倒扣的含义。做对1道得5分，做错或没做倒扣3分，那么做对1道比做错或没做多得（分）。 3．（25-26五年级下·山东烟台·期末）古代《算法统宗》一书中有一道著名的古算题，“一百馒头一百僧（僧指和尚），大僧三个更无争（意思是：大和尚每人吃三个，小僧三人分一个，大小和尚各几个？”答：大和尚( )人，小和尚( )人。 【答案】 25 75 【思路引导】大和尚每人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头。若将1个大和尚和3个小和尚搭配成一组，则每组4人正好吃4个馒头，此时每组的人数与馒头数相等。已知总人数和总馒头数均为100，利用总人数除以每组人数即可求出组数，进而分别求出大和尚和小和尚的人数。 【规范解答】每组人数：（人） 每组吃馒头数：（个） 总组数：（组） 大和尚人数：（人） 小和尚人数：（人） 4．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）动物园里的鸵鸟和长颈鹿一共有30只眼睛和44条腿。这个动物园里的鸵鸟有( )只，长颈鹿有( )只。 【答案】 8 7 【思路引导】鸵鸟和长颈鹿都是每只2只眼睛，总眼睛数30只，因此总只数为30÷2＝15只。假设全是鸵鸟：鸵鸟每只2条腿，总腿数为15×2＝30条。实际腿数44条，比假设的多44－30＝14条。每只长颈鹿比鸵鸟多4－2＝2条腿，因此长颈鹿数量为14÷2＝7只。总只数减去长颈鹿数量，求出鸵鸟的数量。据此解答。 【规范解答】总只数：30÷2＝15（只） 假设全是鸵鸟，实际腿数比假设的多：44－15×2 ＝44－30 ＝14（条） 长颈鹿：14÷（4－2） ＝14÷2 ＝7（只） 鸵鸟：15－7＝8（只） 所以这个动物园里的鸵鸟有8只，长颈鹿有7只。 【考点剖析】这道题的关键在于先通过眼睛总数算出鸵鸟和长颈鹿的总只数，再用假设法结合腿数的差异，推导出两种动物的数量。 5．（24-25五年级上·广东深圳·期末）乒乓球训练馆内同时在进行单打和双打的训练，共有16张乒乓球桌，共有38人在打球。那么，进行单打的桌子有( )张，进行双打的桌子有( )张。 【答案】 13 3 【思路引导】这道题需明确：单打时一张乒乓球桌有2人，双打时一张乒乓球桌有4人。核心是通过假设全部是单打或全部是双打，对比实际人数求出人数差，同时求出单打和双打每张乒乓球桌的人数差进而求出单打或双打桌子的张数。题目中已知实际人数为38人，共有16张乒乓球桌，假设全是双打，用总人数与实际人数的差除以单打和双打每张乒乓球桌的人数差的结果是单打的乒乓球桌的数量。再用乒乓球桌的总数量减去单打乒乓球桌的数量算出双打乒乓球桌的数量即可。据此解答。 【规范解答】假设全部是双打： （ 人） （人） 单打： （张） 双打：（张） 所以，单打的桌子有13张，双打的桌子有3张。 【考点剖析】这道题的关键是先假设全是某一种情况，通过计算与实际的差值，反推出另一种情况的数量。 6．（24-25五年级上·河北邢台·期末）在青少年学宪法知识竞赛中，共有20道题，规定答对1道题得5分，答错一道题扣5分。聪聪20道题全答了，结果只得了70分，聪聪答对了几道题？答错了几道题？ 【答案】17道；3道 【思路引导】假设聪聪20道题全答对了，那得分应该为20×5＝100（分），但是聪聪只得了70分，少了100－70＝30（分），答错一道题比答对一道题少得5＋5＝10（分），30分相当于答错了30÷10＝3（道）题， 再用20减去答错的题数就是答对的题数。 【规范解答】（20×5－70）÷（5＋5） ＝（100－70）÷10 ＝30÷10 ＝3（道） 20－3＝17（道） 答：聪聪答对了17道题；答错了3道题。 【考点剖析】此题是含有两个未知量，关键之处是通过假设法找出总差值，再除以单个差值，就能计算出其中一个量。 7．（24-25五年级下·山东威海·期中）李老师带了2张100元和1张50元的人民币到文具店，正好购买了单价为10元和5元的圆珠笔共30支。他买了多少支单价为10元的圆珠笔？ 【答案】20支 【思路引导】通过假设法来解决，先算出李老师带的总钱数，然后假设全部买的是单价为5元的圆珠笔，根据总钱数的差异以及两种笔单价的差异，求出单价为10元的圆珠笔的数量。计算李老师带的总钱数：2张100元是2×100＝200（元），1张50元，所以总共带了200＋50＝250（元）。假设全部买的是单价为5元的圆珠笔：如果30支笔全是单价5元的圆珠笔，那么总共花费30×5＝150（元）。计算与实际总钱数的差值：实际带了250元，假设花费150元，那么少算了250－150＝100（元）。计算单价为10元的圆珠笔的数量：少算的100元就是因为把单价10元的圆珠笔当成单价5元来算造成的，每支少算5元，所以单价为10元的圆珠笔数量为100÷5＝20（支）。 【规范解答】 （元） 30×5＝150（元） 250－150＝100（元） 10－5＝5（元） 100÷5＝20（支） 答：他买了20支单价为10元的圆珠笔。 【考点剖析】本题考查鸡兔同笼问题的解题方法知识点，关键是理解假设法的思路，准确计算各种差值。 8．（24-25五年级上·全国·课后作业）四季鲜花店委托运输公司运送2000个玻璃花瓶，每个花瓶运费0.4元，如损坏一个，要赔偿7元，结果运输公司得到运费711.2元。运输公司在搬运过程中损坏了多少个花瓶？ 【答案】12个 【思路引导】这道题可以用假设法解决，假设2000个花瓶完好无损，运输公司应得到的运费是0.4×2000＝800（元）。实际只得到711.2元，实际比假设少了：800－711.2＝88.8（元），损坏1个花瓶，不但拿不到运费0.4元，还要赔偿7元，也就是运输公司要少得0.4＋7＝7.4（元）。少得88.8元是损坏了88.8÷7.4＝12（个）花瓶。据此解答。 【规范解答】假设没有损坏应得运费： 0.4×2000＝800（元） 损坏1个花瓶少得运费： 0.4＋7＝7.4（元） 损坏的花瓶个数： （800－711.2）÷7.4 ＝88.8÷7.4 ＝12（个） 答：运输公司在搬运过程中损坏了12个花瓶。 【考点剖析】本题要清楚的一点是，运输公司损坏1个花瓶不但拿不到0.4元的运费，还要赔偿7元，也就是运输公司损坏1个花瓶损失的是0.4＋7＝7.4（元），而不只是赔偿7元。本题没有求完好无损的花瓶个数，只求损坏花瓶的个数，所以我们假设2000个花瓶都没有损坏，这样就可以直接求出损坏花瓶的个数，这样解答的步骤会少一些。 9．（25-26四年级下·四川广安·期末）某物流公司运送150个花瓶。已知每个花瓶的运费为20元，损坏一个不但不给运费还要赔100元。结算时，物流公司共得2760元的运费。共损坏了多少个花瓶？ 【答案】2个 【思路引导】根据题意，可以假设所有花瓶都完好无损，计算出理论上应得的总运费，然后与实际结算的运费相减，得出总差额。用20加100计算出损坏一个花瓶造成的差额。最后用总差额除以损坏一个花瓶造成的差额，即可求出损坏花瓶的数量。 【规范解答】假设150个花瓶全部完好无损。 150×20＝3000（元） （3000－2760）÷（20＋100） ＝240÷120 ＝2（个） 答：共损坏了2个花瓶。 10．（25-26四年级下·河北邢台·期末）学校社团组织同学们下棋，象棋和跳棋一共有24副。象棋每副需要2人下，跳棋每副需要6人下。这些棋正好能满足120人同时参与下棋，象棋和跳棋各有多少副？ 【答案】象棋6副，跳棋18副 【思路引导】本题属于典型的“鸡兔同笼”问题，适合采用假设法进行解答。根据题意，已知象棋和跳棋的总副数以及总人数，可以假设24副棋全是跳棋，计算出假设情况下的总人数，与实际总人数进行比较得出差额。利用每副跳棋比每副象棋多的人数，求出象棋的副数，进而求出跳棋的副数。 【规范解答】假设24副棋全是跳棋。 假设后的总人数：（人） 比实际多出的人数：（人） 每副跳棋比每副象棋多的人数：（人） 象棋的副数：（副） 跳棋的副数：（副） 答：象棋有6副，跳棋有18副。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $