精品解析：北京大学2025年优秀中学生物理春季营试题

北京大学2025年优秀中学生物理春季试题 总分：200分 1. 质量为的行星绕质量为的固定恒星做半径为的匀速圆周运动，以恒星为原点建立坐标系。 （1）求行星的线速度； （2）当行星运动到处时，它爆炸分裂为质量各为的两个小天体，爆炸后瞬间二者只有沿方向的相对速度，而且爆炸后总机械能恰为爆炸前的二倍，求爆炸后瞬间两个小天体的速度； （3）忽略两个小天体之间的万有引力，求二者各自的轨迹，证明其均为圆锥曲线。以轴为极轴，已知圆锥曲线极坐标方程可写为，请分别针对两个小天体给出、、。 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 根据万有引力提供向心力 解得行星的线速度 【小问2详解】 设径向速度分别为，，每个小天体质量，由径向动量守恒 得 切向速度不变，仍为，总动能变为两倍，有 解得 则爆炸后瞬间两个小天体的速度 一个速度方向与轴正方向成，一个速度方向与轴负方向成。 【小问3详解】 此时天体总能量 轨迹为抛物线，距离最近时，速度为，距离中心天体为，由能量守恒和角动量守恒，有， 解得 抛物线轨方程 当分母为2时，距离最近 由此得，抛物线方程 初始，有，代入得 解得 则两小天体轨道方程分别为、 2. 考虑定容热容为的理想气体，其多方过程满足，式中多方指数为常量。 （1）证明多方过程热容为常量，并用，，表达； （2）气体经历的某循环由四个多方过程构成，热容C与温度的关系如图所示，循环由，，，四段构成，注意图中的点未必与图中的点一一对应。已知，，， ①定性画出循环的图； ②用，，表达，，； ③求循环效率。 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 根据热力学第一定律有 代入得① 理想气体状态方程 取微分得② 对多方过程取微分得③ 联立①②③解得 【小问2详解】 ①四个循环的都为定值，为4个多方过程，大致图像如下 ②假设，多方程分别为， 对四个过程依次有 可得 可得④ 由于 代入得 化简得 即 解得 故， ③由于 根据 解得 另外，由第（1）问结论 有⑤ 代入第（2）问④式有 故有⑥ 联立⑤⑥得 对应热容 可得，为吸热 而，为放热 代入得效率 3. 菲涅耳波带片中心的第一级透光，半径为。由内向外，第偶数级不透光，第奇数级透光。 （1）已知每一级环带面积相等，试求第级环带的外半径，用表达； （2）在空间中建立坐标系，一束球面光波会聚于处，现将上述波带片置于平面内，则球面光波在经过波带片之后会聚于处，已知都远远小于，请用波长表示可能的； （3）根据前一问可知，波带片可以等效于一个焦距为负的透镜（凹透镜），请给出等效焦距。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 如图所示 由于面积相等，则有 解得 【小问2详解】 以点，点。点的光，经过第个波带片上处如图所示 整个波带片的光，到达点的复振幅 对傍轴近似 傍轴近似 即 此积分依然很难求解，若取 则可积分 代入积分得 则点光强，则有 即 聚焦时，光强取极大，满足 解得 对应 【小问3详解】 对公式 化简得 故虚焦距 4. 考虑如图所示的串联电路，其中，各元件都是理想的，给定（），其中均为已知。初始时电容器带有一定电量，电源电压为零。 （1）求时刻电容器左极板电量； （2）求时间内电源输出的总能量（提示：可取极限情况检验结果）； （3）在时间内，是否可能存在某一时刻电容与电感储能相等。如果可能，请给出满足的条件；如果不可能，请说明理由。 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 电容左极板电荷量为q，电路中电流为 电感两端感应电动势 由此得全电路欧姆定律 即 特征方程 代入，方程有两相等实根 其齐次通解 其一个特解为 解得 则 初始时，，，则有 解得 代回原方程得 【小问2详解】 电源输出能量 积分得 极限情况：当时，，此为瞬间充电，电路中电流为0，电容器两端电压为0，电路不消耗能量； 当时，，此为无限缓慢的充电，电路电流为0，电感储能为0，电容器储能为，电阻发热为一阶小量忽略不计，满足题意。 【小问3详解】 电容储能 电感储能 令，当时，则有 化简得 数值解得 其中对应初始时刻，此时 故满足时，存在储能相等的时刻。 5. 如图，两个质量为的球与一个质量为的杆通过两根长度为的刚性轻杆相连，球和环均可视为质点，环可在固定光滑水平杆（轴）上滑动，重力加速度g沿轴负方向。杆可以无摩擦转动，构成双摆。设三个的坐标分别是。 （1）推导满足的线性微分方程组。 （2）引入简正坐标（的线性组合），将上一问的方程组简化为相互独立的若干个方程，写出每个简正坐标及其对应的简正频率。 【答案】（1）见解析 （2）简正坐标简正频率 【解析】 【小问1详解】 三物体纵坐标分别为0，，系统动能（忽略竖直方向速度的影响的高阶小量） 系统势能 由几何关系以及小量近似 代入得系统拉格朗日量 代入拉格朗日方程 得 【小问2详解】 令，有 其简正频率满足 化简得 解得 对应简正频率 分别代回 其特征向量分别为 对应简正坐标分别为 【注】由题目表述，可能第二问并不想让我们用这个方法，组合①+②×s+③×t为 令 解得 则简正坐标 则简正频率 结果与上面相同。 6. 立方反比引力场 （1）请给出该引力场中的守恒量。 （2）相关物理量已无量纲化，考虑一质点以初速度（0，1.2，0）由（1，0，0）处出发，求其经过y轴时的坐标和速度。 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【小问1详解】 （1）根据题意 在极坐标下 可知 ①， ② 由②×r可得 即守恒 同时，由于 即守恒 【小问2详解】 由E守恒可知 由L守恒可知 代入数据可得 对有心力，其中，有比耐方程 代入以及 整理得 解得 由于时，， 可知， 解得， 因此轨道方程为 当运动到y轴时，， 代回到速度公式中，可得 ， 7. 某种理想气体的熵为，为常量，n为摩尔数，U为内能，V为体积。 （1）请给出该气体的定容热容和定压热容。 （2）已知两容器中各有1mol温度均为T，但压强分别为的该气体，将两容器联通后，求系统总熵变。 （3）已知室内漏风，室内空气为该种气体，初态平衡时内外温度均为280K，现用火炉将室内加热至295K，请问加热前后室内气体内能密度会变大、变小还是不变？ 【答案】（1）， （2） （3）不变 【解析】 【小问1详解】 根据题意，对理想气体 此时 则 由理想气体方程有 则有 则 【小问2详解】 联通前， 两气体熵分别为， 联通后，总内能不变，温度不变，气体总熵为 则熵的增加量为 代入解得 【小问3详解】 设前后温度分别为，，外界大气压为，室内体积为V，加热前后室内外压强始终相等。加热前 加热后 由于气体内能密度 故内能密度保持不变。 8. 考虑一个电量为Q、半径为R、质量为m的均匀带电薄球壳，球壳表面电荷不可移动： （1）为使球壳悬浮在重力场中，问外加电场的方向和大小。 （2）初态球壳静止，在与z轴方向（竖直向上）夹角为锐角的方向加一随时间变化的均匀磁场，问t时刻球壳的角速度大小及方向。 （3）初态球壳静止，在z轴方向上有一匀强磁场B，初态球壳自转角速度为，与z轴夹角为锐角，求此时球壳受的力矩。 （4）接上问，我们发现球壳自转角动量以角速度进动，试求的大小与方向。 （5）接上问，若改变Q的正负号，方向是否改变？因导致的附加磁矩方向是否变化？ （6）球壳自转角动量的z分量是否守恒？请说明球壳的运动形式。 【答案】（1），方向向上 （2），方向沿轴 （3） （4），方向沿方向 （5）见解析 （6）见解析 【解析】 【小问1详解】 由题知，电荷不可移动，根据平衡条件有 若为正电，则电场强度方向向上，解大小为 后续小球所受合力为零，质心保持静止不动 【小问2详解】 以磁场方向为，以为极轴，球心为原点，为球壳上任一点到轴的距离，如图所示 则处的感生电场大小为 设极角为，根据几何关系有 则有处小圆环所受电场力为 对应力矩大小为 对轴总力矩 冲量矩 其中球壳绕直径的转动惯量 则有 解得 方向沿轴 【小问3详解】 以自转角速度方向为为极轴，相同处的电荷绕圆心旋转形成电流环，每层电流环带电荷为 电流 电流环相对轴，所受力矩（力偶的力矩可以任选转轴），总力矩为 解得 【小问4详解】 由 其中 方向沿轴，由此得 方向沿方向 【小问5详解】 当Q符号改变时，I方向变化，力矩M方向变化，而L方向不变，故换向 由于与同时换向，则附加磁矩方向不变。 【小问6详解】 由于外力矩方向沿平面，分量守恒，则有 球壳一边绕轴以转动，另一边轴绕轴以角速度进动。 9. 两根质量为、长度为l、电阻为R的杆上各接有一个电容C，两杆在无电阻、无摩擦的平行导轨上平行放置，空间中有垂直于导轨平面的匀强磁场B，初态左杆静止，右杆有向右的初速度。记右杆参量下标为1，左杆参量下标为2： （1）写出两杆速度、和电容带电量Q的微分方程。 （2）在微分方程中消去、，可以得到一个描述RC暂态电路的方程，请根据该方程给出等效电容和等效开路电压，并说明体系水平动量是否守恒。 （3）求解前两问中的方程，给出、，并给出时的、取值。 【答案】（1） （2），，水平动量守恒 （3），，， 【解析】 【小问1详解】 设某时刻两杆的速度分别为、，电容器的带电量分别为Q1、Q2整个电路满足 由题可知 而 微分方程为① 【小问2详解】 两杆动力学方程分别为②，③ 将②③联立可得 两边积分可得④ 将④代入①整理得⑤ 而RC的暂态方程为⑥ 对比⑤⑥可知 由②+③可得 因此水平动量守恒。 【小问3详解】 对RC暂态过程⑥代入初始条件，， 解得⑦ 将⑦代入②、③式可得 当时 ， 10. 已知波长为，题目给了基尔霍夫衍射公式： 讨论平行光正入射到矩孔上发生的夫琅禾费衍射，结果可以保留复数： （1）矩孔在x，y方向的尺寸分别为a，b，衍射时波矢在x，y两个方向的衍射角分别用表示，求中心在（a，0）的矩孔在观察屏上的复振幅。 （2）四个上述矩孔中心分别在（a，b）、（-a，b）、（-a，-b）、（a，-b），求合复振幅。 【答案】（1） （2），其中 【解析】 【小问1详解】 矩孔平面为平面，设矩孔平面上原点沿（，）角度入射屏幕上P（，）处的光程为L0，平行光正入射的振幅为A，则矩孔平面上小面元在P处的复振幅 直接积分 可得 其中 当然上式也可以先计算中心在原点的矩孔振幅 再乘以相移因子对应的即可。 【小问2详解】 四个矩孔，直接按下界积分四次复振幅相加即可，也可以考虑4个矩孔中心相移因子 将4个相移因子相加 代入欧拉公式可得 故合振幅 各系数与上文相同。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京大学2025年优秀中学生物理春季试题 总分：200分 1. 质量为的行星绕质量为的固定恒星做半径为的匀速圆周运动，以恒星为原点建立坐标系。 （1）求行星的线速度； （2）当行星运动到处时，它爆炸分裂为质量各为的两个小天体，爆炸后瞬间二者只有沿方向的相对速度，而且爆炸后总机械能恰为爆炸前的二倍，求爆炸后瞬间两个小天体的速度； （3）忽略两个小天体之间的万有引力，求二者各自的轨迹，证明其均为圆锥曲线。以轴为极轴，已知圆锥曲线极坐标方程可写为，请分别针对两个小天体给出、、。 2. 考虑定容热容为的理想气体，其多方过程满足，式中多方指数为常量。 （1）证明多方过程热容为常量，并用，，表达； （2）气体经历的某循环由四个多方过程构成，热容C与温度的关系如图所示，循环由，，，四段构成，注意图中的点未必与图中的点一一对应。已知，，， ①定性画出循环的图； ②用，，表达，，； ③求循环效率。 3. 菲涅耳波带片中心的第一级透光，半径为。由内向外，第偶数级不透光，第奇数级透光。 （1）已知每一级环带面积相等，试求第级环带的外半径，用表达； （2）在空间中建立坐标系，一束球面光波会聚于处，现将上述波带片置于平面内，则球面光波在经过波带片之后会聚于处，已知都远远小于，请用波长表示可能的； （3）根据前一问可知，波带片可以等效于一个焦距为负的透镜（凹透镜），请给出等效焦距。 4. 考虑如图所示的串联电路，其中，各元件都是理想的，给定（），其中均为已知。初始时电容器带有一定电量，电源电压为零。 （1）求时刻电容器左极板电量； （2）求时间内电源输出的总能量（提示：可取极限情况检验结果）； （3）在时间内，是否可能存在某一时刻电容与电感储能相等。如果可能，请给出满足的条件；如果不可能，请说明理由。 5. 如图，两个质量为的球与一个质量为的杆通过两根长度为的刚性轻杆相连，球和环均可视为质点，环可在固定光滑水平杆（轴）上滑动，重力加速度g沿轴负方向。杆可以无摩擦转动，构成双摆。设三个的坐标分别是。 （1）推导满足的线性微分方程组。 （2）引入简正坐标（的线性组合），将上一问的方程组简化为相互独立的若干个方程，写出每个简正坐标及其对应的简正频率。 6. 立方反比引力场 （1）请给出该引力场中的守恒量。 （2）相关物理量已无量纲化，考虑一质点以初速度（0，1.2，0）由（1，0，0）处出发，求其经过y轴时的坐标和速度。 7. 某种理想气体的熵为，为常量，n为摩尔数，U为内能，V为体积。 （1）请给出该气体的定容热容和定压热容。 （2）已知两容器中各有1mol温度均为T，但压强分别为的该气体，将两容器联通后，求系统总熵变。 （3）已知室内漏风，室内空气为该种气体，初态平衡时内外温度均为280K，现用火炉将室内加热至295K，请问加热前后室内气体内能密度会变大、变小还是不变？ 8. 考虑一个电量为Q、半径为R、质量为m的均匀带电薄球壳，球壳表面电荷不可移动： （1）为使球壳悬浮在重力场中，问外加电场的方向和大小。 （2）初态球壳静止，在与z轴方向（竖直向上）夹角为锐角的方向加一随时间变化的均匀磁场，问t时刻球壳的角速度大小及方向。 （3）初态球壳静止，在z轴方向上有一匀强磁场B，初态球壳自转角速度为，与z轴夹角为锐角，求此时球壳受的力矩。 （4）接上问，我们发现球壳自转角动量以角速度进动，试求的大小与方向。 （5）接上问，若改变Q的正负号，方向是否改变？因导致的附加磁矩方向是否变化？ （6）球壳自转角动量的z分量是否守恒？请说明球壳的运动形式。 9. 两根质量为、长度为l、电阻为R的杆上各接有一个电容C，两杆在无电阻、无摩擦的平行导轨上平行放置，空间中有垂直于导轨平面的匀强磁场B，初态左杆静止，右杆有向右的初速度。记右杆参量下标为1，左杆参量下标为2： （1）写出两杆速度、和电容带电量Q的微分方程。 （2）在微分方程中消去、，可以得到一个描述RC暂态电路的方程，请根据该方程给出等效电容和等效开路电压，并说明体系水平动量是否守恒。 （3）求解前两问中的方程，给出、，并给出时的、取值。 10. 已知波长为，题目给了基尔霍夫衍射公式： 讨论平行光正入射到矩孔上发生的夫琅禾费衍射，结果可以保留复数： （1）矩孔在x，y方向的尺寸分别为a，b，衍射时波矢在x，y两个方向的衍射角分别用表示，求中心在（a，0）的矩孔在观察屏上的复振幅。 （2）四个上述矩孔中心分别在（a，b）、（-a，b）、（-a，-b）、（a，-b），求合复振幅。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $