第二章 有理数——有理数的计算 简便运算讲解2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 以运算法则为基础，系统提炼7类简便运算方法，构建“法则-技巧-应用”逻辑链条，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |运算法则+简便运算+巩固练习|5法则+7方法（各含典例）+8综合题|分组/拆分/分配律等7类技巧，步骤清晰可迁移|从基础法则到技巧应用，题型与方法精准对应，典例覆盖核心考法|

有理数计算 简便运算 一、运算法则 1.加法运算法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法运算法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 4.除法运算法则： 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.混合运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 二、简便运算方法 1.分组法： 在同一级运算中，通过移动前后顺序（记得将数字前面的符号一起移动）重新组合，例如正数和正数组合，负数和负数组合，小数和小数组合，整数和整数组合，同分母的相组合，可以得出整数的组合。。。 举例：计算： 原式= 第一步：将减法转为加法 = 第二步：将分母相同的分数组合在一起 练习： 计算：； 原式= ； 2.带分数拆分 遇到带分数，可将带分数拆成整数和分数，然后再重新分组。 拆分方法：（a，b，c为正数） ， , 举例：， ， ， ， 练习： 1.计算：． 原式 2.计算：． 原式＝﹣3-1-＝（﹣3）+（）＝-2-1+1＝﹣2． 3.乘法分配律 善用乘法分配律以及它的逆用。遇到a(b+c+d)的格式，将其变为ab+ac+ad再进行计算。同样遇到ab+ac+ad，将其变为a(b+c+d)的形式再计算 举例： 原式 练习： 1.计算：； 原式＝28﹣30+27＝25； 2.计算：． 原式= ． 4.取倒数法 遇到a➗（b+c+d）的形式。可以将原式取倒数（即被除数和除数互换位置）变成（b+c+d）➗a的形式，接着可以用乘法分配律进行简便计算，最后将计算出来的结果再次取倒数作为最终结果。 举例：计算：． 原式的倒数： ＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14， 故原式． 练习： 1.计算：． 原式的倒数： ＝﹣20+3﹣25+12＝﹣30， 故． 2.计算：． 原式的倒数= ， ＝﹣18+4﹣14＝﹣28． 故原式= 5.裂项相加法 遇到分母可化为两数相乘的分数，该分数可裂项成两个分数相减。 举例：，， 裂项方法： . 练习： 1.计算：； 原式=＝1 ＝1； 2.计算： 原式=( =(． 3.计算：． 原式（1）（）（）（1）（1）． 6.错位相减法 遇到几个加数相加，这几个加数中后一项比前一项的商都相同，则可以用错位法进行求解。 举例：a+ 令S=a+ 则aS=+ 两式相减，可得（a-1）S=-a。故S= 练习： 1.计算1+5+52+53…+599+5100 设S＝1+5+52+53…+599+5100，① 则5S＝5+52+…+5100+5101，② ②﹣①得4S＝5101﹣1，则S． 2.计算：1 设S＝1，① 则S，② ①﹣②得S＝1，解得S＝2． 故答案为：2． 7.倒序相加法 若几个加数相加，头尾相同的位置的数相组合可以凑成相等的数，可以将式子倒着再写一边，得到一个新的式子，再将两式相加。 举例：计算：1+2+3+…+100 设S＝1+2+3+…+100，① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得2S＝101+101+101+…+101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2 ③ 所以1+2+3+…+100＝5 050． 练习： 1.计算：2+4+6+...+200 设S＝2+4+6+...+200，① 则S＝200+...+6+4+2．② ①+②，得2S＝202+202+202+…+202． 所以2S＝100×202，S＝（100×202）÷2 ③ 所以2+4+6+...+200＝10100． 三、巩固练习 1.计算： （1）﹣14+3×（﹣2）2﹣（﹣2）3÷|﹣4|． 原式＝﹣1+3×4﹣（﹣8）÷4＝﹣1+12﹣（﹣2）＝﹣1+12+2＝13． （2）； 原式＝6﹣4＝2； （3）． 原式＝4﹣（﹣5）＝4+5＝9． （4）； 原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3； （5）． 原式 ＝4﹣18+3＝﹣11． （6）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； 原式＝﹣（2.4+4.6）+（3.5﹣3.5）＝﹣7； （7）； 原式＝﹣20+15＝﹣5； （8）； 原式＝﹣6+24﹣15＝3； ． 原式 ． （10） 原式= （11） 原式＝． 2．观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空： ①　 ； ②　 　 ； ③如果n为正整数，那么　 　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）： ①； ②1． 【解答】解：∵观察算式： ， ， ； … ∴（1）①11； ②1； ③如果n为正整数，那么1． 故答案为：，；． （2）①∵； ； 12； 12， ∴（1）； ②∵1，1， 11﹣（1）﹣（），11， ∴11． 3.学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， （1）对于上述两种解法，你认为　 　 （填李明或张华）的解法计算简便． （2）请你尝试用张华的方法计算：． 【解答】解：（1）根据题意可知，上述两种解法，张华的解法计算简便． 故答案为：张华； （2）原式 ． 4．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【解答】解：（1）她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）原式 ＝﹣1300+2＝﹣1298． 5．阅读下面的方法． 解：原式[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17] 计算：． 【解答】解：原式＝[（﹣2011）+（）]+[（﹣2012）+（）]+4023+[（﹣1）+（）] ＝[（﹣2011）+（﹣2012）+4023]+[（）+（）+（）]+（﹣1） ＝﹣3． 6．附加题：阅读下面文字： 对于（﹣5）+（﹣9）+17（﹣3） 可以如下计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（）+（）（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：（﹣2000）+（﹣1999）+4000（﹣1）． 【解答】解：原式＝（﹣2000）+（）+（﹣1999）+（）+4000（﹣1）+（） ＝（﹣2000﹣1999+4000﹣1）+（） ＝0﹣1 ＝﹣1． 7．阅读下面的材料： 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+1000． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝ 　 　 ． （3）请你利用（2）中你猜想的结论计算：1+2+3+…+2013． 【解答】解：（1）1+2+3+4+5+…+1000＝（1+1000）×1000÷2 ＝1001×1000÷2＝500500． （2）1+2+3+…+n＝（1+n）•n÷2，故答案为：． （3）1+2+3+…+2013 ＝2027091． 8．计算：． 【解答】解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数计算 简便运算 一、运算法则 1.加法运算法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3.乘法运算法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 4.除法运算法则： 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.混合运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 二、简便运算方法 1.分组法： 在同一级运算中，通过移动前后顺序（记得将数字前面的符号一起移动）重新组合，例如正数和正数组合，负数和负数组合，小数和小数组合，整数和整数组合，同分母的相组合，可以得出整数的组合。。。 举例：计算： 原式= 第一步：将减法转为加法 = 第二步：将分母相同的分数组合在一起 练习： 计算：； 2.带分数拆分 遇到带分数，可将带分数拆成整数和分数，然后再重新分组。 拆分方法：（a，b，c为正数） ， , 举例：， ， ， ， 练习： 1.计算：． 2.计算：． 3.乘法分配律 善用乘法分配律以及它的逆用。遇到a(b+c+d)的格式，将其变为ab+ac+ad再进行计算。同样遇到ab+ac+ad，将其变为a(b+c+d)的形式再计算 举例： 原式 练习： 1.计算：； 2.计算：． 4.取倒数法 遇到a➗（b+c+d）的形式。可以将原式取倒数（即被除数和除数互换位置）变成（b+c+d）➗a的形式，接着可以用乘法分配律进行简便计算，最后将计算出来的结果再次取倒数作为最终结果。 举例：计算：． 原式的倒数： ＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14， 故原式． 练习： 1.计算：． 2.计算：． 5.裂项相加法 遇到分母可化为两数相乘的分数，该分数可裂项成两个分数相减。 举例：，， 裂项方法： . 练习： 1.计算：； 2.计算： 3.计算：． 6.错位相减法 遇到几个加数相加，这几个加数中后一项比前一项的商都相同，则可以用错位法进行求解。 举例：a+ 令S=a+ 则aS=+ 两式相减，可得（a-1）S=-a。故S= 练习： 1.计算1+5+52+53…+599+5100 2.计算：1 7.倒序相加法 若几个加数相加，头尾相同的位置的数相组合可以凑成相等的数，可以将式子倒着再写一边，得到一个新的式子，再将两式相加。 举例：计算：1+2+3+…+100 设S＝1+2+3+…+100，① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得2S＝101+101+101+…+101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2 ③ 所以1+2+3+…+100＝5 050． 练习： 1.计算：2+4+6+...+200 三、巩固练习 1.计算： （1）﹣14+3×（﹣2）2﹣（﹣2）3÷|﹣4|． （2）； （3）． （4）； （5）． （6）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； （7）； （8）； ． （10） （11） 2．观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空： ①　 ； ②　 　 ； ③如果n为正整数，那么　 　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）： ①； ②1． 3.学习了有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算． 有两名同学解法如下： 李明：原式， 张华：原式， （1）对于上述两种解法，你认为　 　 （填李明或张华）的解法计算简便． （2）请你尝试用张华的方法计算：． 4．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 5．阅读下面的方法． 解：原式[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17] 计算：． 6．附加题：阅读下面文字： 对于（﹣5）+（﹣9）+17（﹣3） 可以如下计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（）+（）（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：（﹣2000）+（﹣1999）+4000（﹣1）． 7．阅读下面的材料： 高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+1000． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝ 　 　 ． （3）请你利用（2）中你猜想的结论计算：1+2+3+…+2013． 8．计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $