11.2.2 单项式与多项式相乘 教案 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该教案聚焦“单项式与多项式相乘”法则的推导及应用，通过长方形面积分割的几何模型导入，引导学生用整体与分割两种方法表示面积，结合复习的乘法分配律和单项式乘法法则，搭建从旧知到新知的学习支架。 此教案以数学抽象和逻辑推理为核心，从几何面积模型抽象出代数法则，体现数形结合思想。探究环节让学生经历“转化—计算—归纳”过程，分层练习与辨析题强化符号处理等易错点，提升数学运算素养，为教师提供清晰教学流程和分层资源，助力学生掌握运算规范。

XX中学教案 学科 数学 教师 班级 课题 11.2.2 单项式与多项式相乘 课型 新授 教学 目标 知识 目标 1.理解单项式与多项式相乘的法则推导过程，掌握运算法则； 2.能熟练运用法则进行单项式与多项式相乘的运算； 3.能运用单项式与多项式相乘解决化简求值和简单实际问题。 能力 目标 1.经历单项式与多项式乘法法则的探究过程，培养类比迁移和归纳概括能力； 2.通过将"单×多"转化为"单×单"，体会转化思想，提升运算能力； 3.培养规范书写、不漏项、不误符号的运算习惯。 核心 素养 目标 1.数学运算：能准确、规范地进行单项式与多项式相乘运算，提升运算素养； 2.逻辑推理：经历“类比—转化—归纳”的推理过程，体会乘法分配律的推广； 3.数学抽象：从几何面积模型中抽象出代数运算法则，发展数形结合思想； 4.数学建模：能运用单项式与多项式相乘解决几何图形面积等实际问题。 教学 重点 难点 重点：单项式与多项式相乘的法则及其应用。 难点：多项式各项符号的处理（尤其是负号）、不漏乘常数项、运算结果的化简。 教学 方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、类比迁移法 教学 手段 多媒体课件、学案 课时 1 教学 环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情境导入，导入新课（5分钟） 【创设情境】 问题：一个长方形的长为(a+b+c)，宽为p，求这个长方形的面积。 方法一：整体看，S=p(a+b+c) 方法二：分割成三个小长方形，S=pa+pb+pc 因此：p(a+b+c)=pa+pb+pc 【温故知新】 ①乘法分配律用字母表示：m(a+b)=______ ②单项式与单项式相乘的法则是什么？ 【引出课题】今天我们学习如何将乘法分配律推广到单项式与多项式相乘。（板书） 1.画图分析长方形面积，用两种方法列式； 2.发现p(a+b+c)=pa+pb+pc，初步感知法则； 3.口答乘法分配律和单项式乘法法则； 4.明确本节课学习目标。 以长方形面积分割为背景，数形结合，让学生直观理解乘法分配律的推广； 复习分配律和单项式乘法，为新知探究做铺垫。 （二）合作探究，构建新知（15分钟） 【探究活动】计算并观察： (1)2a·(3a²-5b) (2)(-4x)·(2x²+3x-1) 引导学生运用乘法分配律和单项式乘法法则推导： (1)2a²·(3a²-5b)=2a²·3a²+2a²·(-5b) =6a⁴-10a²b (2)(-4x)·(2x²+3x-1)=(-4x)·2x²+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)=-8x³-12x²+4x 【归纳法则】板书： 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 公式：p(a+b+c)=pa+pb+pc 【追问思考】 ①单项式与多项式相乘的依据是什么？（乘法分配律） ②积的项数与多项式的项数有什么关系？（相同，除非有同类项需合并） ③计算时要特别注意什么？（符号、不漏乘常数项） 【例题精讲】 例1 计算：(-2a²)·(3ab²-5ab³) 解：原式=(-2a²)·3ab²+(-2a²)·(-5ab³) =-6a³b²+10a³b³ 例2 化简求值：3x(2x²-x+1)-x(6x²-3x+1)，其中x=2。 解：原式=6x³-3x²+3x-6x³+3x²-x=2x 当x=2时，原式=2×2=4 （强调：先展开，再合并同类项，最后代入求值） 例3（实际应用）一个长方形的长为(2x+3)，宽为2x，求它的面积。 解：S=2x·(2x+3)=4x²+6x 1.独立尝试计算探究题，运用分配律转化； 2.小组讨论：每一步的依据是什么？ 3.尝试用文字归纳法则； 4.思考并回答三个追问问题； 5.跟随教师板演例题，注意符号和书写规范； 6.体会化简求值中“先化简再代入”的简便性。 让学生经历“转化—计算—归纳”的探究过程，培养类比迁移能力； 通过追问深化对法则的理解，特别是符号和漏项问题； 例题由浅入深：直接运用→化简求值→实际应用，层层递进。 （三）课堂练习 ，内化新知（约10分钟） 【分层练习】 ★ 基础题（全员完成） 1. 计算：(1) 3a(2a-5) (2) -2x(x²-3x+1) (3) ( ab)(4a²-2ab+b²) 【(1)6a²-15a (2)-2x³+6x²-2x (3)2a³b-a²b²+()ab³】 2. 计算：(1) x(x²-1)+2x²(x+1) (2) 3a(a²+2a)-2a²(a-3) 【(1) x³-x+2x³+2x²=3x³+2x²-x (2) 3a³+6a²-2a³+6a²=a³+12a²】 ★★ 提高题（选做） 3. 先化简，再求值：2x(x-3y) - y(x-2y)，其中 x=-1，y=2。 【原式=2x²-6xy - xy+2y²=2x²-7xy+2y²；当x=-1,y=2时，原式=2+14+8=24】 4. 若2x(xᵐ+3)=2x⁴+6x，求m的值。 【左边=2xᵐ⁺¹+6x，由题意2xᵐ⁺¹=2x⁴，∴m+1=4，m=3】 ★★★ 辨析题 5.下列计算是否正确？错误的请改正： (1) a(a²+a)=a³+a (2) -2x(x-y)=-2x²-2xy (3) 3x(2x²-3x+1)=6x³-9x² (4) -ab(a-b)=-a²b-ab² 【(1) ×，改正：a(a²+a)=a³+a² (2) ×，改正：-2x(x-y)=-2x²+2xy (3) ×，改正：3x(2x²-3x+1)=6x³-9x²+3x (4) ×，改正：-ab(a-b)=-a²b+ab²】 教师巡视，对学困生个别指导，选取典型错误投影点评。 1.独立完成基础题，同桌互查； 2.学有余力的同学完成提高题； 3.辨析题先判断再改正，小组交流错因； 4.主动板演，参与讲评。 分层练习满足不同层次学生需求； 基础题巩固法则直接运用和混合运算； 提高题训练化简求值和逆向思维； 辨析题针对四大易错点（漏项、符号、常数项、分配不彻底）设计，强化易错点突破。 （四）课堂小结 （约3分钟） 今天你学到了什么？有哪些需要注意的地方？ 师生共同梳理： 1. 法则：单项式×多项式 → 单项式×每一项 → 积相加； 2. 依据：乘法分配律； 3. 注意：①不要漏乘（包括常数项）；②符号处理（负号要变号）；③结果要合并同类项。 作业 检测 基础作业 【基础作业】 1. 教材课后习题（对应新教材11.2.2练习）； 2. 计算：(1) 5x(3x-2y) (2) -3a(2a²-a+4) (3) 2ab(3a²-2ab+b²) 【(1) 15x²-10xy (2) -6a³+3a²-12a (3) 6a³b-4a²b²+2ab³】 3. 一个三角形的底为 (2a+3b)，高为 4a，求它的面积。 【S=()×(2a+3b)×4a = 2a(2a+3b) = 4a²+6ab】 提高作业 【提高作业】 1. 先化简，再求值：3x(2x²-x+2) - x(6x²-3x+1)，其中 x=1/2； 【原式=6x³-3x²+6x - 6x³+3x²-x = 5x；当x=时，原式=】 2. 若 x(2xᵐ-3) = 2x⁵ - 3x，求 m 的值； 【左边=2xᵐ⁺¹-3x，由题意2xᵐ⁺¹=2x⁵，∴m+1=5，m=4】 3. 解方程：2x(x-3) - x(2x+1) = 14。 【左边=2x²-6x - 2x²-x = -7x，∴-7x=14，x=-2】 拓展预习 作业 【拓展预习作业】 1. 思考：多项式与多项式相乘，如 (a+b)(m+n)，能否转化为单项式与多项式相乘来计算？尝试推导； 【(a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+an+bm+bn（将其中一个多项式看作整体，转化为单项式乘多项式）】 2. 预习下一节"多项式与多项式相乘"的内容。 板书设计 【情境引入】 长方形面积： p(a+b+c) =pa+pb+pc 【转化思想】 单×多 ↓分配律 单×单 【单项式×多项式法则】 p(a+b+c) = pa+pb+pc 步骤： ①乘每一项 ②积相加 ③合并同类项 注意：符号、不漏项 【例题】 例1 (-2a²)(3ab²-5ab³) =-6a³b²+10a³b³ 例2 化简求值 原式化简=2x x=2时，值=4 例3 面积=4x²+6x 教学反思 本节课通过长方形面积分割的几何模型引入，学生能直观理解p(a+b+c)=pa+pb+pc的分配律推广，数形结合效果较好。在法则运用中，多数学生能掌握“用单项式乘每一项再相加”的步骤，但课堂练习暴露出两个突出问题：一是负号处理不熟练，如-2x (x-y)易写成-2x²-2xy，符号变号意识薄弱；二是漏乘常数项，如3x (2x²-3x+1)常漏掉+3x。化简求值题中，部分学生未先合并同类项就直接代入，计算繁琐且易错。今后教学中应增加符号专项训练和“逐项检查”的答题习惯培养，对学困生可提供“先标项再分配”的分步策略，切实落实运算的准确性和规范性。 学科网（北京）股份有限公司 $