专题02 知识点14：函数的周期性及函数图象对称性的应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点14：函数的周期性及函数图象对称性的应用

一、核心知识框架

函数的周期性与对称性是函数的重要性质，周期性描述了函数值的重复规律，对称性则反映了函数图象的几何特征。两者之间存在密切联系——函数图象的对称性往往可以推导出函数的周期性。在高考中，这部分内容常与函数的奇偶性、单调性相结合，综合考查学生的逻辑推理与运算能力。

二、函数周期性的定义

1. 周期函数

一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个 都有 ，且 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。

2. 最小正周期

如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。

3. 周期函数的性质

• 周期函数的定义域是无界的（即两端趋向无穷）
• 若 为 的周期，则 （，且 ）均为 的周期
• 若函数 有最小正周期 ，那么它除 （，且 ）外，函数 无其他周期

三、函数周期性的常用结论

设 ，则以下结论成立：

这些结论在高考中频繁出现，是解决函数周期性问题的基础工具。

四、函数图象对称性的常用结论

1. 一个函数自身的对称性

设函数 的定义域为 ，则：

当 时，关于点 对称的条件简化为 或 。

2. 两个函数图象之间的对称性

五、对称性与周期性的关系

函数图象的对称性与其周期性之间存在密切联系——若函数图象具有两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴与一个对称中心，则可以推导出该函数是周期函数。

这些结论可类比三角函数 的图象特征来理解记忆。

六、常见题型与解题方法

题型一：利用周期性求函数值

解题思路：利用周期性将自变量转化到已知区间内，再代入解析式求解。

示例：若 是周期为 2 的函数，当 时 ，则 。

题型二：利用对称性求函数值或解析式

解题思路：利用对称性将自变量转化到已知区间，或利用对称中心/对称轴建立方程求解。

示例：若 关于点 中心对称，且 ，则令 代入 ，得 ，解得 。

题型三：双对称问题求周期

解题思路：若函数同时满足两种对称性（如两条对称轴、两个对称中心、或一条对称轴与一个对称中心），则先利用对称性推导出周期，再将自变量的值转化到已知区间求解。

题型四：对称性与单调性综合

解题思路：利用对称性将自变量转化到同一单调区间，再利用单调性比较大小或解不等式。

题型五：对称性在方程根的问题中的应用

解题思路：若函数图象具有对称性，则其零点（方程的根）也成对出现，且关于对称中心或对称轴对称。利用这一性质可以简化方程的求解过程。