第一章 数列 单元测试-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列 单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在等差数列中，，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 5．在正项等比数列中，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和 10．记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 11．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 13．已知数列的前项和为，则 ． 14．已知数列满足，，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 16．（15分）在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，若数列的前项和为，求证：. 18．（17分）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 19．（17分）为数列{}的前项和.已知＞0，. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列单元测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1时品 的一个通项公式是4=() 2n-3 A. B.2-1 2n-1 2n+1 C. 2n+1 D. 2m+3 2n+3 2n+5 2.在等差数列a}中，4+4+4十a=4,则4+a,=() A.4 B.3 C.2 D.1 3.在等差数列{a}中，4=13,4，=1，则a,=() A.8 B.9 C.10 D.11 4.设S为等差数列{a的前n项和，且neN,都有9<S出，若S=S,则() nn+1 A.Sn的最小值是S, B.Sn的最小值是So C.Sn的最大值是S。 D.Sn的最大值是So 5.在正项等比数列{an}中，a,44。=2√2，则log4a,+l0g4a2=( a月 B青 c. D. 6.已知数列{an}为等比数列，4=100，公比q= 若是数列a}的前n项积，则x取得最大值时以的值为(） A.5 B.6 C.7 D.8 等比数列a的前n项和为S,数列物的前n项和为，且满足0，=4若2026，则a}公此 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 1 8.在正项数列a}中，4=写aa+a,=2"，且元2≥a,则元的取值范用为（) B. D.[1,+o) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知数列{a}的前n项和Sn=1-2”,则() 1 A.4=1 B.42=-2 C.4=-2w-1 D.数列 的前n项和工，=-2+ 2 10.记等比数列{a}的公比为9，前n项和为Sn,己知a4=1,且-a,a,4成等差数列，则下列说法正确的是() A.q=2 B.S4,Sg-S4,S2-S成等比数列 C.若q>0,则数列{oga,}的前n项和为-) 2 D.若q>0,则存在正整数M,使得当n≥M时，a.>2025+ha 11.设等差数列{a}的前n项和为Sn,公差为d,4>0,a。+a,>0,a。·a,<0,下列结论正确的是（) A.d<0 B.Sn的最大值为S。 C.当Sn>0时，n的最大值为13 D.数列 前n项和为T,T2最大 n 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.己知等差数列m)的首项a,=1,公差d=}当m最小时，= 13.已知数列{a}的前n项和为Sn,a=1,a1=4Sn,则a4=」 14.已知数列{a}满足41=1，a+1=a,+3n+1,则a= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知Sn为数列{a}的前n项和，若S,=6,S。=42,且数列 为等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： 2)若数列，}的首项为2，且=a,求数列，}的前n项和7，. .1 16.(15分)在等比数列a}中，4=1，且4,4，+24成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=l0g241,求数列 1 b.bia 的前n项和T. 17.（15分)已知数列{an}满足4=2，amH=2an+2,b.=4.+2. (1)证明：数列b}是等比数列，并求数列{b}的通项公式： 1 ②记6，山13，山若数列红}的前u项和为，求证：名工<号 18.（17分)己知{an}为正项等差数列，4+4，=30,4a4=29,Sn为{an}的前n项和 (1)求数列{a}的通项公式 (2)求数列 的前n项和T; n 4m3(n+1) (3)设数列 S.S 的前项和为M,证明：M,<+) 19.（17分)Sn为数列{a}的前n项和.已知a.>0,a+2a,=4Sn+3. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设{ 是首项为1，公比为3的等比数列， a ①求数列b}的前n项和T.: ②若不等式江，-S,+2n2≤0对一切n∈N恒成立，求实数的最大值. 湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列 单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为，所以。故选：B. 2．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由等差数列的下标和性质即可计算求解. 【详解】由题可得，所以，故选：C. 3．在等差数列中，，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解 【详解】因为等差数列中，，，可得公差， 所以．故选：B． 4．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为. 【详解】由，得，即，所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A. 5．在正项等比数列中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，由，解出， 再由，求值即可. 【详解】在正项等比数列中，有，由，解得， 所以.故选：A 6．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比，所以 ， 所以，当时，最大，即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 7．记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解. 【详解】等比数列中，，则， 因，故数列是首项为，公比为的等比数列， 显然，否则；且，否则， 则，由，得，所以.故选：C 8．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列，所以，即． 当为奇数时，为递增数列，所以，即． 当为偶数时，为递减数列，所以，所以． 又，所以，所以.故选：C 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和 【答案】BCD 【分析】由，当则，计算可得ABC，由等比数列的求和公式可以得D. 【详解】，A错误. 当时，，则，也满足上式，所以，，B，C均正确. ，数列的前项和，D正确.故选：BCD 10．记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】CD 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误； 对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误； 对于C，由题意，，则，则， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确； 对于D，由题意，，则，， 因为呈指数增长，呈线性增长， 因此当足够大时，必有，故D正确.故选：CD. 11．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则，由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列，则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确，对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误，对于D，由题意得，则， 则，得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，，由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，，得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得，所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增；又，，则， 因此当最小时，，故答案为： 13．已知数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由题，结合可得是等比数列，然后可得答案. 【详解】由，可得，， 则是等比数列，又，则，.故答案为： 14．已知数列满足，，则 ． 【答案】70 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解. 【详解】因为，所以， 累加可得：， 则．故答案为：70 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】先根据等差数列的通项公式求数列的通项公式，进而得到，再利用求数列的通项公式. （2）利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消求和法求. 【详解】（1）由题意：，，又数列为等差数列，设数列的公差为， 由.所以.所以. 当时，，当时，. 时，上式也成立.所以. （2）因为，所以，，，…，. 以上各式相乘，可得当时，，又，所以，， 所以. 16．（15分）在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等差中项及等比数列通项公式计算即可. （2）运用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意知，，又，∴，∴，故. （2）由（1）得，∴． 17．（15分）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，再根据裂项相消求出，结合其单调性即可证明. 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 因为，所以，结合以上递推关系可知，，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，由得， 所以 因为得，数列为单调递增数列，所以，所以. 18．（17分）已知为正项等差数列，，为的前项和. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和; (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出，得到，所以. （2）先求出，代入得到，利用错位相减法求得； （3）化简得到，利用裂项相消法求出，则 【详解】（1）利用等差数列性质：，结合 所以 是方程 的根，因为为正项等差数列，所以公差，，所以 由 ，所以。所以 （2）由（1）知等差数列前n项和： 所以，利用错位相减法求前项和， 两式相减得到，所以 （3）因为，所以 裂项化简通项 所以，因为，所以，得证. 19．（17分）为数列{}的前项和.已知＞0，. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用错误相减法与等差等比公式求和，参变分离得恒成立，结合数列的单调性即可求解. 【详解】（1）由，可知， 两式相减得，即， ，，（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列， 的通项公式. （2）①，，， ，所以 ．． ②由（1）易求得， 所以不等式对一切恒成立，即对一切恒成立 即转化为对一切恒成立，令，则， 又，当时，；时，， 所以，且，则．所以实数的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第1章：数列单元测试卷 一。 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 13579 1.数列写79 …， 的一个通项公式是4=() 2n-3 2n-1 2n+1 2n+3 A. B. C. D. 2n-1 2n+1 2n+3 2n+5 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 圆第加项的分子为21L,对应的分母为21，所议Q故选：B 2.在等差数列{a}中，4+4+4+=4，则4+4=() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】由等差数列的下标和性质即可计算求解， 【详解】由题可得4+4+a,+4=2(a2+a)=4,所以4+a,=2,故选：C 3.在等差数列{a}中，4=13,4=1，则a,=() A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合a=4+2d,即可求解 【详解】因为等差数列{a,}中，4，=13,4=1，可得公差d=49=1-13-2, 9-36 所以a=4+2d=9.故选：B. 4,设S为等差数列a的前n项和，且v∈N,都有<十，若S=9,则（) A.Sn的最小值是S, B.Sn的最小值是So C.Sn的最大值是S。 D.Sn的最大值是So 【答案】A 【分析1由鸟<S结合等差数列的前n项和公式可知数列a,}为递增的等差数列，由S,=S,可得a,<0,a。>0, nn+1 即可求出，S有最小值，且最小值为S, 【详解1由三<S,得a+a、+2+a山，即a<a,所以数列a}为递增的等芜数列 nn+1 2n 2(n+1) 因为S=S3,所以4+4+4+4，+4。+41+42+43=0，即4+4。=0， 则a<0,ao>0,所以当n≤9且neN时，a.<0: 当n≥10且neN时，an>0.因此，Sn有最小值，且最小值为S。.故选：A. 5.在正项等比数列{a,}中，a,a4。=2V5,则log4a,+log442=( 1 1 1 A. 1 B. 3 c. D. 6 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，由a,a,4。=G=2V5,解出a,再由log44+log,a2=log4(a,42)=log4G,求值 即可 【详解】在正项等比数列{a}中，有a,4.=a,4o=aG,由a,4,a。=aG=2√2，解得a=√2， 所以log,4+log,a:=le.(aa)=lg,4=lg,2-故选：A 6,已知数列和，}为等比数列，4=100，公比g分若是数列a}的前”项积，则工取得最大值时n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【分析】先求出{a}的通项公式，再根据当 a1<1时，工最大求解即可 a,21 【详解】因为数列a}为等比数列，？=100，公比g=方所以a-10~( 100× ≥1 所心买=g么4：当及1时，无微大即m 1) 2 <1,解得：n=7, ne N" 所以当n=7时，T最大 故选：C 7.记等比数列扣}的前”项和为8，数列和}的前u项和为，且满足么=a, S26=2026,则{a,}公比gF () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解 【详解】等比数列{a}中，a.=4g，则b=a1=ag-2, 因-马g2 可4，故数列私，}是首项为4，公比为q的等比数列， 显然q≠1，否则 达=2：且q≠-1，否则Ss=0, 则S2026= -?1m40g,由之=206，得1g226,所以g=25数随C 1-q 1-q2 8.在正项数列a}中，4=写a+a,=2州，且2-2≥a,则元的取值范围为《) 1 11 D.[L,+w) 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得{？-}是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案 12-3 【详解】由a1+a,=2,得+×及=1，得23：- 2+1千220 422 223 测侵引是百现为号号子公比为磷比数所以会(，即竖-〔+号 当n为奇数时， 2 2 3 2 当n为偶数时， 为威数外所u)付 又22”≥4n, 所以A≥经，所以1≥2故选：C 11 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知数列{a}的前n项和S。=1-2”,则() 1 A.a=1 B.42=-2 C.4=-2-1 D. 数列 的前n项和Tn=-2+ 2-】 【答案】BCD 【分析】由a=S,当n≥2则an=Sn-Sn-1,计算可得ABC,由等比数列的求和公式可以得D. 【详解】4=S=-1,A错误 当n≥2时，Sn1=1-2，则a4=S。-Sn-1=-21,4=-1也满足上式，所以an=-2-1,a2=-2,B,C均正确 1 ,数列 的前n项和T=-2+ 六，D正确故选：BGD 10.记等比数列{a}的公比为9，前n项和为S。,己知4=1，且-4，a,4成等差数列，则下列说法正确的是() A.9=2 B.S4,S-S4,S2-S成等比数列 C.若q>0,则数列{og,a,}的前n项和为-山 2 D.若q>0,则存在正整数M,使得当n≥M时，a.>2025+ha 【答案】CD 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比9，可判断A:当9=-1时，S:=0,可判断B:先求数列{a,} 的通项公式，再利用对数运算得数列log24}的通项公式，判断log2a}为等差数列，利用前n项公式即可判断C: 由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A,由题意，-4+4=24，又a=1,则-q+q=2,解得q=2或9=-1，故A错误； 对于B,当q=-1时，S4=0,则S4,S-S4,S2-S成等比数列不成立，故B错误： 对于C,由题意，q=2,则a。=4·”1=21,则log2a.=n-1, 所以数列{og,a}是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，-少，故C正确： 2 对于D,由题意，q=2,则an=2-1,2025+na=2025+n-1)ln2, 因为a,=2呈指数增长，2025+(n-1)lh2呈线性增长， 因此当n足够大时，必有a>2025+lna.,故D正确.故选：CD. 11.设等差数列{a}的前n项和为Sn,公差为d,4>0,a。+a,>0,a。·a,<0,下列结论正确的是() A.d<0 B.S,的最大值为S。 C.当n>0时，n的最大值为13 D.数列 S) 前n项和为T.,T2最大 n 【答案】ABD 【分析】分析数列{，}的单调性，结合已知条件可判断A,结合题意并利用等差数列的性质判断B,利用等差数列 的求和公式可判断C,令b,=S,结合等差数列的定义分析可知b,>0,,<0,判断D即可。 n 【详解】对于A,若d>0,则{a}为递增数列， 所以a>a6>4>0，与a。a<0矛盾， 若d=0,则{a}为常数列，所以，4，=a=a>0,与aa<0矛盾， 若d<0,则{a}为递减数列，则4>a4。>4,由 a6+a,>0 aa<0,可得a>0>4,合乎题意，故A正确， 对于B,由已知得a,>0>4,且{a}为递减数列，则数列的前6项均为正数，从第7项开始出现负数， 可得Sn的最大值为S6,故B正确，对于C,由A可知，a,>0,a,<0, 得到3，=12a+a）=6a,+4)>0,S,=（4+4x13=1a<0, 2 2 圆当S>0时.1的最大值为2，散C错误，对干D,由题意得9三%+2，则义-Q 2 则器+)得到数列 为等差数列，且其首项为a,公差为 d n 由a。>0,得4+5d>0,由a,<0得，a+6d<0,由a。+a,>0得，2a+11d>0,即a+ 1d>0, 2 令么-习，。-4+1-1号，则等差数列私}为递减数列， 且4，=a+5d>0,4:=4+1>0,4,=4+6d<0,得到数列 前n项和为T,T2最大，故D正确 2 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 2.已知等差数列a@m的首项au=11,公差d=一子，当a最小时，合 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式α，，由通项公式得a的单调性，进而根据单调性判断最值 47 【详解)由题意，a=a+(n-)d+ "4,neN 令a,≤0，得-3n+≤0，解得n≥3-15+3，所以当m≤15时，4>0，此时a单调递减， 44 当n>15时，a<0,此时0单调递增：又a,=-三× 15+71 16+子aa 3， T4246-- 4 因此当4最小时，n=16,故答案为：16 13.己知数列{a}的前n项和为Sn,4=1,a1=4Sn,则a,= 【答案】100 【分析】由题，结合a,= S,n=1 S-S,≥2可得}是等比数列，然后可得答案 (S:n=1 【详解】由an= S-3,n≥2可得aa=4S,=S1-S，S1=5S, 则{Sn}是等比数列，又a1=S=1,则Sn=5"-1,a4=S4-S3=100.故答案为：100 14.已知数列{a}满足41=1，a+1=a,+3n+1,则a= 【答案】70 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解 【详解】因为a=a.+3n+1,所以a+1-an=3n+1, 累加可得：a=(a,-a+a-a-:++么，-a片a=6r2H6-5++41+3-2_3, 2 2 则4，=7×20=70.故答案为：70 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知Sn为数列{a}的前n项和，若S=6,S6=42,且数列 S,为等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： (2若数列，}的首项为2，且。=，求数列，}的前n项和x、 b.a+2 【答案】(1)4.=2n ②74h n+1 的通项公式，进而得到Sn=n(n+1),再利用a.= S,n=1 【分析】先根据等差数列的通项公式求数列 n ,-S1,n≥2求 数列{a}的通项公式 (2)利用累乘法求数列b}的通项公式，再利用裂项相消求和法求T 【详解1(1)由题意：号=3，鸟=2=7，又数列 S为等差数列，设数列 的公差为D, 22 66 n n 由三=S+4D→7=3+4D→D=1所以S=9+m-2)D=3+n-2=n+1.所以S,=n0n+ 62 当n=1时，a=S=1×2=2,当n≥2时，a.=Sn-Sm1=n(n+1)-(n-1)n=2n. n=1时，上式也成立.所以a=2n. bna2n n 因为==2+2m+2所以2=上.乌=23 63'6=4'b5’”bn+1 以上各式相装，可得当a2时：合a又4-2.所以-日) b-2 neN', 所u灭-甘女岛 1 16.（15分)在等比数列a}中，4=1，且4,4+24成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)设b.=log2a+1,求数列 的前n项和T. 【答案】(1)4=2- (2)7=n n+1 【分析】(1)运用等差中项及等比数列通项公式计算即可. (2)运用裂项相消法求和即可 【详解】(1)由题意知，2a+1=a+1,又a=1,.q=2g,.q=2,故an=a1=2"1 (2)由(1D得么，=：2=，Ta-a,6+b,ba上223+nn+1n+Tn+1 1 1 17.(15分)已知数列{an}满足4=2，an出=2an+2,b.=4+2。 (1)证明：数列地}是等比数列，并求数列{b}的通项公式： (2)i记c。= 1 【答案】(1)证明见解析，b,=2 (2)证明见解析 【分析】(1)根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解： (2)求出数列C,}的通项公式，再根据裂项相消求出T,,结合其单调性即可证明. 【详解】(1)因为a1=20n+2,所以a1+2=2(an+2),又b=a,+2,所以b1=2b., 因为42，所以么=4+240，结合以上递推关系画知，么0，分2 所以数列b}是以b=4+2=4为首项，2为公比的等比数列， 所以b,=4·2”-1,所以数列{b}的通项公式为b=2+1; 1 1 11 2)由1)知6，=2，由6,18，h1g,得c,(+10m+2+1n+2 x好子。g合月 n+1n+22n+22 因为得c,= =+之0，数列亿为单调道增致列.所以工=号名所以哈么<兮 1 6 18.(17分)已知{a}为正项等差数列，4+4。=30，aa=29,Sn为{a}的前n项和. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列 3"S, 的前n项和T; (3)设数列 4n(n+1) S.Sm 的前u项利为M,正明：近<号 【答案】(1)4n-3 (2)(n-1)3m+1+3 (3)证明见解析。 【分析】(1)根据条件求出4=1，a=29,得到d=4,所以a.=4n-3. (2)先求出S=n(2n-1),代入得到3S=(2m-1)3,利用错位相减法求得T=(0-)-31+3: n (3)化简得到+卫-1+、 1 1 11 利用裂项相消法求出Mn=n S.S 22n-12+1 +2221+,则M,<m+2 【详解】(1)利用等差数列性质：4+a,=4+4=30,结合44=29 所以a,4是方程x2-30x+29=0的根，因为{a}为正项等差数列，所以公差d>0,a>4,所以4=1,4=29 由a=a+7d=29，所以d=4。所以a.=1+4(n-1)=4-3 (2)由（1)蜘知等差数列前n项和：S=m1+加-3）=n(-) 2 所以3S=(2-1)3”,利用错位相减法求前n项和Z,,=13+3-3+53++-1)3 37m=13子+33+…+(2n-3)·3+(2-)1 -2Tn=3+2(32+33+.…+3"21-1)3m4 两式相减得到=3+2.91-3 2-(2h-1）3H 1-3 ，所以Tn=(n-1)31+3 =3+3+1-9-(2n-1)30 =(2-2)3+1-6 (3)因为S.=(2-1),所以4r+D-。4n0n+少 4n2 SS1n(21-1)0+1)(21+1)42-1 裂项化简通项加0+D:4r-r1)H141,1） SnSn1412-14hm2-1221-121+1 以+0-卦传司副 1-1 1 所以=n+ 22n+1 ,因为22n+可>0，所以4<n+号得正 1 1 =n+ 22(2n+1) 19.(17分)Sn为数列{a}的前n项和.己知an>0,a+2a,=4Sn+3 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设 b. 是首项为1，公比为3的等比数列， a ①求数列b}的前n项和T.: ②若不等式江.-S.+2m≤0对一切neN恒成立，求实数入的最大值. 【答案】(1)a.=2n+1 20I=n3:②27 1 【分析】(1)应用a与S的关系即可术解；(2)》应用结误相减法与等差等比公式求和，参变分离得1<”恒成 立，结合数列的单调性即可求解 【详解】(1)由+2a.=4S+3,可知42+2a1=4S1+3, 两式相减得a1-a+2(an1-an)=4a1,即2(a1+a)=a1-a=(a1+a)(a1-a), 4n>0.4+1-4n=2,:a4+2a=4a+3,.a=-1(舍)或4=3，则{a}是首项为3，公差d=2的等差数列， ∴.{a}的通项公式a。=3+20-1)=2+1。 (2)02=3,b.=a3=(2+0-3,T=3+53+7-3++21+03, a 3江=3.3+5.32+7.33++(2n-1)3m-+(2n+1)3,所以-2T=3+23+232+.+2.3m1-(2n+103” 231-3）r3=2m3.I=n3 =3+2 1-3 ②由(1)易求得Sn=1(n+2), 所以不等式江-Sn+2n2≤0对一切neN恒成立，即23”-n(n+2)+2m2≤0对一切neN恒成立 即转化为1≤2”对一切aeN恒成立，令0=2，(eN).则/m≥， 又fu+-fo--.当1≤w≤2时.fm+)-1)0:时，f+训-fo侧>0， 所以f0>②)>f),且f3)<f④<，则2≤/0=f(B)=27所以实数A的最大值为27 1