课时测评33 抛物线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评33　抛物线的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　) A.(1，0)　　　　　　 B. C. D. 答案：D 解析：抛物线的方程可化为x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是.故选D. 2.已知抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，则实数a的值为(　　) A.8　 　　 B.　 　　 C.－8　 　　 D.－ 答案：C 解析：因为抛物线x2＝2ay的准线方程为y＝4，所以－＝4，解得a＝－8，故选C. 3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.抛物线 答案：D 解析：由题可知动点到点(3，0)的距离与到直线x＝－3的距离相等，故动点的轨迹为抛物线. 4.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 答案：B 解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交准线l于点B，则｜AB｜＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离｜PB｜＝4＋2＝6，所以点P到焦点F的距离｜PF｜＝｜PB｜＝6.故选B. 5.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件中满足抛物线方程y2＝10x的有(　　) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 答案：BD 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，所以C不满足；若由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足为(2，1)，则该直线斜率存在，又抛物线y2＝10x的焦点坐标为，可设过该焦点的直线方程为y＝k，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足.所以满足抛物线y2＝10x的有BD. 6.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为　　　　. 答案： 解析：将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为. 7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝　　　　，准线方程为　　　　. 答案：2　x＝－1 解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－.由题意知3＋＝4，所以p＝2.准线方程为x＝－1. 8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　　. 答案：(－6，6)，(－6，－6) 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6.) 9.(10分)分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)因为点(3，－4)在第四象限， 所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0). 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 10.(13分)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解：设动点M(x，y)，☉M与直线l：x＝－3的切点为N， 则｜MA｜＝｜MN｜，即动点M到定点A的距离与到定直线l：x＝－3的距离相等， 所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，所以p＝6，所以动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线l上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　) A.2 B.4 C.6 D.4 答案：D 解析：如图，因为△FPM是等边三角形，所以｜PF｜＝｜PM｜＝｜FM｜， 由抛物线的定义知PM⊥l. 在Rt△MQF中，｜QF｜＝2，∠QMF＝30°，所以｜MF｜＝4， 所以S△PMF＝×42＝4.故选D. 12.已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A.3 B.4 C. D. 答案：A 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离.过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，如图，当点P为该垂线与抛物线的交点时，d1＋d2取得最小值.由F(1，0)，直线方程为4x－3y＋11＝0，得(d1＋d2)min＝＝3.故选A. 13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝　　　　. 答案：8 解析：如图，∠AFE＝60°， 因为F(2，0)， 所以E(－2，0)， 则＝tan 60°， 即｜AE｜＝4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 14.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则 而点P(x0，y0)在抛物线C上， 所以＝8x0， 所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). 15.(17分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点. (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求｜PA｜＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求｜PB｜＋｜PF｜的最小值. 解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知｜PF｜＝d， 于是问题转化为求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 如图，连接AF，交抛物线于点P，此时｜PA｜＋d最小，最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2， 因为2＞2，所以点B在抛物线内部. 过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图). 由抛物线的定义， 知｜P1Q｜＝｜P1F｜， 则｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝3＋1＝4. 即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $