第4章 4.4 二项式定理（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件聚焦二项式定理及应用，涵盖定理公式、二项式系数性质、特定项求解、三项展开式、赋值法等核心知识点，通过知识辨析巩固概念，分题型逐步深入，结合杨辉三角和排列组合形成完整学习支架。 其亮点在于以典例解析（如三项展开式的因式分解与逐层展开法）培养逻辑推理，杨辉三角观察环节发展数学眼光中的抽象能力，排列组合方法训练数学建模。学生能系统掌握解题通法，教师可依托分层内容高效实施教学。

知识点 1 二项式定理及相关概念 4.4 二项式定理 必备知识 清单破 1.公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-rbr+…+ bn称为二项式定理. (其中0≤r≤n,r∈N,n∈ N+)叫作二项式系数,在定理中,令a=1,b=x,则得到公式(1+x)n= + x+ x2+…+ xr+…+ xn. 2.二项展开式的通项为Tr+1= an-rbr,它是(a+b)n展开式的第r+1项. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 二项式系数的有关性质 1.对称性 　　在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 = . 2.单调性和最大值 　　二项式系数从两端向中间逐渐增大,当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为 奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 (1) + +…+ =2n; (2) + + +…= + + +…=2n-1. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.二项式(a+b)n和(b+a)n的展开式相同吗? 2.(a-b)n与(a+b)n的展开式中二项式系数和项的系数都相同吗? 3.令f(r)= (0≤r≤n,且r∈N),则f(r)的图象关于直线r= 对称吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.相同.虽然二者展开式相同,但展开式中项的排列顺序是不同的,(a+b)n展开式中的第(r+1)项 是 an-r·br,(b+a)n展开式中的第(r+1)项是 bn-rar. 2.二项式系数相同,项的系数不相同.二项式系数只与项数有关,与a,b的值无关,而项的系数指 项中除变量外的常数部分,不仅与项数有关,还与a,b的值有关. 3.对称. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 求二项展开式中的特定项(项的系数) 关键能力 定点破 1.对于常数项,隐含的条件是字母的指数为0. 2.对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.求解时必 须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解. 3.对于整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知 的展开式中,常数项为60,则a的值为 (　    ) A.2　　　　    B.2或-2 C.3　　　　    D.3或-3 (2) 的展开式中的有理项共有 (　    ) A.4项　　　　　B.5项　　　　     C.6项　　　　　D.7项 (3) 展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则展开式中的第7项为　　　　　 . B C 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) 的展开式的通项为Tk+1= ·(ax)6-k· = ·(-1)ka6-k· ,k=0,1,2,…,6, 令6- k=0,可得k=4,因此展开式中的常数项为T5= (-1)4a2=60, 则a2=4,所以a=±2. (2) 的展开式的通项为Tr+1= ·2r· (r=0,1,2,…,10), 令20- 为整数,可得r=0,2,4,6,8,10,则有理项共有6项. (3) 的展开式的通项为Tr+1= ( )n-r· ,r=0,1,2,…,n,则T7= ( )n-6 ,Tn+1-6= Tn-5= ( )6 , 由 ∶ =1∶6, 第1讲　描述运动的基本概念 化简得 =6-1,所以 -4=-1,解得n=9, 所以T7= ×( )9-6× = ×2× = . 第1讲　描述运动的基本概念 求(a+b+c)n的展开式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将a+b+c变成两个二项式相乘,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将a+b+c分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的展开. (3)利用组合知识:把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后把各 个同类项合并. 定点 2 三项展开式问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例  的展开式中x2的系数为　　　    . 解析    解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5. (1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,r=0,1,…,5,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= ·25-kxk,k=0,1,…,5, 所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1=  25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N. 令r+k=2,可得 或 或  因此 的展开式中x2的系数为 · ·23+ · ·24+ · ·25=800. 解法二: = ,且它的展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),  的展开式的通项为Tr+1= ·(x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N), 所以Tk+1=  2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N), 令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0. 当k=3,r=2时,x2的系数为 · ·23×32=720; 当k=4,r=0时,x2的系数为 · ·24×30=80. 综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800. 800 第1讲　描述运动的基本概念 　　赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法.要根据所求,灵 活地对字母赋值,通常赋的值为0,-1或1. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈ N+)的式子,常令x=y=1. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为 f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=  ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= . 定点 3 赋值法求展开式中的系数和 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则 + + +…+  的值为 (　    ) A.28　　　B.28-1　　　C.27　　　D.27-1 (2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=　　　    . B 364 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B,则A=a1+ a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…, 由已知可得B-A=38. 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n, 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n, ∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8. 故 + + +…+ =2n- =28-1. (2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,① 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,② 由 得a0+a2+a4+…+a12= . 令x=0,则a0=1. 故a2+a4+…+a12= -1=364. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 4 有关展开式中二项式系数、系数的最值问题 1.求展开式中二项式系数最大的项时,可直接根据性质求解. 2.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:(1)看成关于n的函数,结合函数的单调性判断 系数的增减性,从而求出系数的最值; (2)在系数均为正值的前提下,求它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根据其展开式 的通项列出不等式(组)即可. 3.根据二项式系数的性质求参数时,关键是正确列出与参数有关的式子,然后解此关系式即 可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求项数n; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中所有系数的绝对值的和. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) 的展开式的通项为Tr+1=   =  -  r ,r=0,1,2,…,n, 因为前三项系数的绝对值成等差数列, 所以2 · = +  , 化简得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1, 因为n≥2,所以n=8. (2)由(1)知n=8,二项式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5= ·  =70×   =  . (3)展开式中所有系数的绝对值的和为  +  +…+  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路   定点 5 杨辉三角问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,若第n(n∈N)行中从左至右第14与第15个数 的比为2∶3,则n的值为(　    ) 第0行　　　　　　　　    1 第1行　　　　　　　    1    1 第2行　　　　　　    1    2    1 第3行　　　　　    1    3    3    1 第4行　　　　     1    4    6    4    1 第5行　　 　    1    5    1010    5    1 ……　　　　　　　    …… A.32　　　　　B.33　　　　     C.34　　　　　D.35 C 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知 ∶ =2∶3, 所以3 =2 , 即 = , 整理得 = ,所以n=34. 第1讲　描述运动的基本概念 素养 通过对排列、组合的研究,培养逻辑推理、数学建模的核心素养 学科素养 情境破 素养解读 　　排列、组合知识在高考中多以选择题或填空题的形式出现,要求考生能对不确定的情况 进行分析,因此在学习中,要注意由点到面,由浅至深的辩证理解,多方面、多角度的思考并解 决问题. 在解决排列与组合的相关问题时,常用的方法有相邻问题捆绑法、相间问题插空法、多排问 题单排法、定序问题缩倍法、定位问题优先法、有序分配问题分步法、多元问题分类法、 交叉问题集合法、至少(或至多)问题间接法等.通过正确分类将排列、组合问题进行模型化, 从而找到解决对策,提高解题效率,培养逻辑推理、数学建模的核心素养. 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 将A,B,C,D,E,F这六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　    种. (用数字作答) 480 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    解法一(特殊元素优先法):如图,   ①C在第1位时,有 =120种排法; ②C在第2位时,在字母D,E,F中任取一个放在第1位,剩下的4个字母全排列,共有 · =72种 排法; ③C在第3位时,若A,B均在C的左侧,则有  种排法,若A,B均在C的右侧,则在字母D,E,F中任 取两个放在C的左侧,有 ·  种排法,故共有  +   =48种排法. 根据对称性可知,不同的排法共有2×(120+72+48)=480(种). 解法二(定序问题缩倍法):由题设可知,A,B,C三者的顺序可以为ABC,ACB,BAC,BCA,CBA, CAB,共6种情况,其中满足条件的共有4种情况,所以将A,B,C,D,E,F这六个字母排成一排,且A, B均在C的同侧的不同的排法共有 × = ×720=480(种). 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 解决排列、组合问题后要注意进行反思,总结题目考查的是哪个知识点、与哪些知识相关 联、是以什么形式来出题的、题目中隐藏的信息有哪些、怎样将已有知识综合运用到题目 中等,多角度分析问题的来龙去脉,从而提高逻辑思考能力,掌握解决每类问题的通法,达到培 养数学建模素养的目的. 第1讲　描述运动的基本概念 $