第4章 4.2 排列（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件围绕排列的定义、排列数概念及公式展开，通过知识辨析（如元素是否重复、交换位置是否变化）导入，衔接排列数运算与有限制条件的排列问题（“在”与“不在”、相邻、不相邻、定序），构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养数学眼光（观察排列的有序性与元素不重复性），典例用捆绑法、插空法等体现数学思维（逻辑推理与分步计数），通过排列数符号精确表达问题（数学语言）。如师生站排问题中特殊元素优先处理，帮助学生掌握解题逻辑，既提升学生解题能力，也为教师提供清晰教学路径与易错点指导。

知识点 1 排列 4.2 排列 必备知识 清单破 1.定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.理解:一个排列包含两个方面的意义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”. 第1讲　描述运动的基本概念 2.排列数公式 (1) =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用来求值); (2) = (常用来化简或证明). 知识点 2 排列数 1.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同排列的个数叫作从n个不同 元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.同一个排列中,同一个元素可以重复出现吗? 2.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列发生变化吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不可以. 2.发生.排列是有顺序的,元素位置发生变化,排列就会发生变化. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 排列数及其运算 关键能力 定点破 1.应用排列数公式时的注意点 (1)准确展开:求排列数一般用乘积式展开,要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分:若运算式是分式或分数形式且分子与分母中有相同的因式或因数,则要先约分 再计算. (3)合理组合:化简、证明时一般运用阶乘式,应用排列数、阶乘的性质,进而提高运算的速度 和准确性. 2.常用性质 ① =n =m + ; ②n·n!=(n+1)!-n!; ③ = - . 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)用排列数表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N+且n<55)为　　　    ; (2)计算 =　　　    ; (3)满足不等式 >6 的x的集合为　　　　　    . 3 {3,4,5,6,7} 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整数,∴(55-n)▪ (56-n)…(69-n)= . (2) = =  =3. (3)原不等式即 > ,其中2<x≤9,x∈N+, 即x2-21x+104>0,整理得(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13. 又2<x≤9,x∈N+,∴2<x<8,x∈N+. 故x=3,4,5,6,7,即所求集合为{3,4,5,6,7}. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 　　解含参数的排列数问题时要注意 中的隐含条件n≥m,n,m∈N+,防止遗漏导致解题错 误. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 2 有限制条件的排列问题 1.“在”与“不在”问题 　　解决此类问题,常用的方法是特殊位置(元素)分析法,遵循的原则是优先排特殊位置(元 素),即先满足特殊位置(元素)的要求,再处理其他位置(元素),如果有两个及以上的约束条件, 那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件;当直接求解困难时,可考虑用间接法解题. 2.“捆绑法”解决相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法 如下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体,然后与其他元素一起排列,有 种排 法;②“松绑”,注意捆绑元素本身的内部排列,有 种排法;③由分步乘法计数原理知,符合 条件的排法有 · 种. 第1讲　描述运动的基本概念 3.“插空法”解决不相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k 当n为奇数时,k≤ ;当n为偶数时,k≤  个元素互不相 邻,求不同排法的种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素进行全排列,有 种 排法;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k 个分别分配给两两不相邻的k个元素,有 种排法;③由分步乘法计数原理知,符合条件的 排法有 · 种. 4.“定序”问题 　　在排列问题中,某些元素已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺序.在具体 的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的顺序固 定,则满足题意的排法有 种. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别求满足下列情 况的不同站法的种数. (1)老师必须站在中间或两端; (2)2名女学生必须相邻而站; (3)4名男学生互不相邻; (4)4名男学生身高都不等,且按从高到低的顺序站. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)先考虑老师,有 种站法, 再考虑其余6人,有 种站法, 故不同站法的种数为  =2 160. (2)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有 种站法, 所以不同站法的种数为  =1 440. (3)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空 一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为  =144. (4)在7人全排列的所有站法中,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 种,而按从高到低的顺 序站有从左到右和从右到左2种,所以不同站法的种数为2× =420. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个: (1)无重复数字且个位数字不是5的六位数? (2)无重复数字且为5的倍数的五位数? (3)无重复数字的六位数?若这些六位数按照从小到大的顺序排成一列数,则240 135是该列数 的第几个? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(间接法):0在十万位或5在个位上时都有 种情况,0在十万位且5在个位上 时有 种情况. 故符合题意的六位数共有 -2 + =504(个). 解法二(直接法):当个位数字为0时,符合题意的六位数有 个; 当个位数字不为0时,符合题意的六位数有   个. 故符合题意的六位数共有 +   =504(个). (2)符合题意的五位数可分为两类: 第一类,个位数字是0的五位数,有 个; 第二类,个位数字是5的五位数,有  个. 故符合题意的五位数的个数为 +  =216. (3)符合题意的六位数共有 - =600(个), 其中十万位数字为1的有 个,十万位数字为2,万位数字为0或1或3的共有3 个,∵ +3 + 1=193,∴240 135是该列数的第193个. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 　　含有数字“0”的排列问题隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将其视为有限制条件 的元素优先排列问题.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他受限制的数字,则应考虑 受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 $