第3章 3.1 椭圆（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件系统涵盖椭圆的定义、标准方程、几何性质、位置关系及求解方法，通过知识辨析导入，从定义到方程再到性质应用层层递进，以表格对比焦点位置、典例分步解析构建学习支架。 其亮点在于结合数学思维与语言，通过“距离之和是否为椭圆”等辨析培养推理意识，焦点三角形用余弦定理、离心率列齐次方程等体现运算能力，典例步骤清晰助学生系统掌握，教师可高效开展教学。

　　平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点 F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距. 知识点 1 椭圆的定义 3.1 椭圆 必备知识 清单破 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 第1讲　描述运动的基本概念 性质 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴为x轴、y轴;对称中心为(0,0) 顶点 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a), A2(0,a), B1(-b,0), B2(b,0) 轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 离心率 e= (0<e<1) 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.椭圆的通径 　　过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫作椭圆的通径,其长度为 . 2.焦点弦 　　过焦点的弦,焦点弦中通径最短. 3.焦半径 　　椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作椭圆的焦半径,记r1=| PF1|,r2=|PF2|. (1) + =1(a>b>0),则r1=a+ex0,r2=a-ex0; (2) + =1(a>b>0),则r1=a+ey0,r2=a-ey0. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 1.点P(x0,y0)与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系 　　点P在椭圆上⇔ + =1;点P在椭圆内部⇔ + <1;点P在椭圆外部⇔ + >1. 2.用代数法判断直线与椭圆的位置关系 　　把椭圆方程与直线方程联立,消去y(x),整理得到关于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0(Ay2+By+C= 0),该一元二次方程根的判别式为Δ,①若Δ>0,则直线与椭圆相交;②若Δ=0,则直线与椭圆相 切;③若Δ<0,则直线与椭圆相离. 3.弦长公式 　　设直线y=kx+b与椭圆有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则弦长公式为|MN|=  或|MN|= (k≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹一定是椭圆吗? 2.椭圆的离心率e越大,椭圆就一定越扁吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.当2a>|F1F2|时,是椭圆;当2a=|F1F2|时,是线段;当2a<|F1F2|时,点的轨迹不存在. 2.一定.e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆. 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 椭圆的标准方程的求解 1.定义法 　　根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出标准方程. 2.待定系数法 　　其步骤如下: (1)作判断.由题意判断焦点在x轴还是y轴上,还是都有可能. (2)设方程.依据判断设方程,特别地,如果中心在原点,焦点位置不明确时,方程可设为mx2+ny2= 1(m>0,n>0,m≠n). (3)找关系.由条件找关系,建立方程组. (4)求解.解方程组,代入所设方程即可. 第1讲　描述运动的基本概念 3.两种特殊方程的设法 (1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0,a>b>0)或 +  =k2(k2>0,a>b>0). (2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(k<b2<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同的焦点; (2)焦点在坐标轴上,且经过两点(2,- ), . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:因为所求椭圆与椭圆 + =1的焦点相同,所以所求椭圆的焦点在y轴上, 且c2=25-9=16. 设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.① 因为点( ,- )在椭圆上, 所以 + =1,即 + =1.② 由①②得b2=4,a2=20, 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-9), 第1讲　描述运动的基本概念 因为点( ,- )在椭圆上,所以 + =1,化简得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=-21(舍去). 所以所求椭圆的方程为 + =1. (2)解法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为 + =1(a1>b1>0). 由已知条件得 所以  所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为 + =1(a2>b2>0). 第1讲　描述运动的基本概念 由已知条件得 解得  则 < ,与a2>b2>0矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为 + =1. 解法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 由已知条件得 解得  所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 2 椭圆的焦点三角形问题 1.椭圆上异于长轴端点的点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.关于椭 圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 2.焦点三角形的常用结论 (1)焦点三角形的周长C=2a+2c. (2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan .当yP=±b,即点P 位于短轴端点时,S取得最大值bc. (4)当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (多选)设椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,坐标原点为O.若椭圆C上存在一点 P,使得|OP|= ,则下列说法正确的有(　    ) A.cos∠F1PF2=  B. · =5 C.△F1PF2的面积为2 D.△F1PF2的内切圆半径为 -1 思路点拨    根据已知求出P点坐标,根据两点间距离公式分别求出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中利 用余弦定理可判定A,利用向量的数量积公式可判定B,利用三角形的面积公式可判定C,根据 等面积法可判定D. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得a=2 ,|F1F2|=2c=2× =4,则F1(-2,0),F2(2,0). 由对称性不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ, 由 解得  所以m= = , n= = , 所以mn= ·  = =5. 由椭圆的定义得m+n=2a=4 , 在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncos θ, 第1讲　描述运动的基本概念 即42=(m+n)2-2mn-2mncos θ=(4 )2-2×5-2×5cos θ,解得cos θ= ,故A正确.  · =mncos θ=5× =3,故B错误. △F1PF2的面积 = mnsin θ= ×5× =2,故C正确. 设△F1PF2的内切圆半径为r, 则 = (m+n+|F1F2|)r, 即2= ×(4 +4)r,解得r= -1,故D正确. 答案    ACD 第1讲　描述运动的基本概念 定点 3 求椭圆的离心率 1.当a,c易求时,直接代入e= 求解;当b,c易求时,利用e= 求解;当a,b易求时,利用e=  求解. 2.若a,c的值不可求,则可列出只含a,c的齐次方程(不等式),列式时常用公式b= 代替式 子中的b,然后将等式(不等式)两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程(不等式),再求解 即可.此时要注意0<e<1. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以F2为圆心,|F1F2| 为半径的圆与椭圆C交于M,N两点,若|OM|=|MF1|,则椭圆C的离心率为 (　    ) A. -1　　　　    B.2-  C. -1　　　　    D.2-  思路点拨    通过边长相等得到角相等,证明三角形相似,利用线段比例关系得到a,c的关系式 即可得到结果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,不妨令M位于第二象限,   由题意得,|F1F2|=|MF2|=2c, 由椭圆定义得|MF1|+|MF2|=2a, 故|OM|=|MF1|=2a-2c, ∵|F1F2|=|MF2|,|OM|=|MF1|, ∴∠F2MF1=∠F2F1M=∠MOF1, 即∠F2MF1=∠MF1O,∠F2F1M=∠MOF1, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴△MF1O与△F2MF1相似, ∴ = ,即 = , 整理得c2-4ac+2a2=0, 故e2-4e+2=0,解得e=2± , 由0<e<1得e=2- , 即椭圆C的离心率为2- . 答案    B 第1讲　描述运动的基本概念 定点 4 直线与椭圆的相交弦问题 1.求相交弦的长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长. (2)当直线斜率存在时,利用弦长公式求弦长. 2.与椭圆中点弦有关问题的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标 　　联立直线方程和椭圆方程,消去x(y)得到关于y(x)的一元二次方程,利用根与系数的关系 以及中点坐标公式求解. (2)利用点差法求直线斜率或方程的步骤 ①设点.设出弦的两端点坐标. ②代入.将端点坐标代入曲线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 ③作差.两式相减,利用平方差公式把式子展开. ④整理.转化为中点坐标和斜率的关系式求解. (3)利用共线法求直线方程 　　设椭圆 + =1(a>0,b>0)与直线的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,如果弦AB的中点 为P(x0,y0),则利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0-y),则有 + =1, + =1,两式 作差即可得所求直线方程. 　　这三种方法中“点差法”最常用,“点差法”体现了“设而不求,整体代入”的解题思 想;“点差法”还可用于解决对称问题,因为此类问题一般也与弦的中点和直线斜率有关. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点. (1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度; (2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.思路点拨    (1)求出直线方程 联立,得方程组  得交点坐标 求得弦长. (2)设A,B的坐标 利用点差法求出kAB 得出直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x. 由 得 或  不妨令A ,B , 所以|AB|= =3 . 所以线段AB的长度为3 . (2)由题意知直线l的斜率存在. 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, 第1讲　描述运动的基本概念 则 两式相减,得 + =0, 所以kAB= =- . 又P(4,2)是线段AB的中点, 所以x1+x2=8,y1+y2=4, 所以kAB=- =- , 故直线l的方程为y-2=- (x-4), 即y=- x+4. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 5 与椭圆有关的最值、定值及定点问题 1.解决与椭圆有关的最大(小)值问题的常用方法 (1)定义法:利用定义转化为常见问题来处理. (2)几何法:若题目的条件和结论能明显体现其几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解 决,解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及 对称知识求解. (3)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可先建立目标函数,再根据函数式 的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法 及函数的单调性法等. 第1讲　描述运动的基本概念 2.与椭圆有关的定值、定点问题 (1)解决定点问题,需要注意的两个方面 　　一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为0的 特殊情况入手,找出定点,为解题指明方向. 　　二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,实质就是求解直线方程中参数 之间的关系,熟悉直线方程的特殊形式是关键. (2)解决定值问题的常用方法 ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知椭圆 + =1的上焦点为F,M是椭圆上一点,点A(2 ,0),当点M在椭圆上运动时, |MA|+|MF|的最大值为　　　    . 解析    由题意得a=3,b= ,∴c= =2. 如图所示,设椭圆的下焦点为F',则F'(0,-2). 连接MF',AF'. ∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|, ∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6, 又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|= =4,当且仅当A,F',M共线且F'在线段AM上时,等号成立, ∴|MA|+|MF|的最大值为4+6=10. 答案    10 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知椭圆E: + =1(a>b>0)经过点 ,离心率为 . (1)求E的方程; (2)若点P是椭圆E的左顶点,直线l交E于A,B两点(异于点P),直线PA和PB的斜率之积为- . ①证明:直线l恒过定点; ②求△PAB面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 所以  所以E的方程为 + =1. (2)①证明:由题意知P(-2,0). 当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2, 由  消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 第1讲　描述运动的基本概念 则x1+x2= ,x1x2= , 则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= . 因为kPA·kPB= · =- , 所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0, 即x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0, 所以 + +4+ =0,整理得m2-km-2k2=0, 所以(m-2k)(m+k)=0,所以m=2k或m=-k. 当m=2k时,直线l的方程为y=kx+2k=k(x+2),此时直线l恒过定点(-2,0),显然不符合题意; 当m=-k时,直线l的方程为y=kx-k=k(x-1),此时直线l恒过定点(1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 当直线l的斜率不存在时,不妨令点A在点B上方,设l:x=t(-2<t<2),与 + =1联立,得A,B两点 的坐标分别为 , , 由kPA·kPB=- ,得 · =- ,解得t=1或t=-2(舍去),此时直线l的方程为x=1,过点(1, 0). 综上,直线l恒过定点(1,0). ②当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2, 由①知x1+x2= ,x1x2= , 因为|AB|= ·  第1讲　描述运动的基本概念 = · = , 点P(-2,0)到直线l:y=kx-k的距离d= , 所以S△PAB= |AB|·d= × × = =18 . 令u=4k2+3,则u>3,k2= , 所以S△PAB=  =   =  , 由u>3得0< < , 第1讲　描述运动的基本概念 所以0<  < , 即S△PAB∈ . 当直线l的斜率不存在时,由①知直线l:x=1. 此时|AB|=3, 所以S△PAB= ×3×3= . 综上所述,△PAB面积的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $