第2章 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系，系统梳理几何法（距离与半径关系）和代数法（判别式）的判断方法，通过知识辨析题衔接圆方程、点到直线距离等旧知，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养数学眼光，通过典例中几何法与代数法的对比发展数学思维，用规范公式推导强化数学语言。如典例1用两种方法判断直线与圆位置关系，助学生理解逻辑联系，提升解题能力，教师可直接利用多样化例题实施高效教学。

　　设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则圆心C(a,b)到直线l的距 离d= ,由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别 式为Δ. 知识点 1 直线与圆的位置关系 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 必备知识 清单破 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 圆与圆的位置关系 1.代数法:联立方程后,得出方程组解的个数为0,1,2时,分别对应圆与圆内含或外离、内切或 外切、相交,不仅计算复杂且情况也复杂,因此一般利用几何法进行分析判断. 2.几何法:通过方程得出两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆心之间的距离d,按下表中的标准进 行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 d与r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.如果直线的方程与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆的位置关系有哪些? 2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线与圆心有什么关系? 3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线方程与圆的方程联立并消元后得到的一元二次方程 有解吗? 4.经过圆内一点(非圆心)的最长弦所在直线与最短弦所在直线的位置关系如何? 5.若两条直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线一定平行吗? 6.若两个圆没有公切线,则它们的位置关系如何? 7.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么? 8.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则这两圆一定相交吗? 9.若两圆有公共点,则两圆的圆心距d和两圆的半径r1,r2需满足什么条件? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.相交或相切. 2.过圆心. 3.无解. 4.垂直.经过圆内一点(非圆心)的最长弦即为经过该点的直径,最短弦所在直线和该条直径所 在直线垂直. 5.不一定.也可能相交. 6.内含. 7.外切或内切. 8.不一定. 9.|r1-r2|≤d≤r1+r2. 第1讲　描述运动的基本概念 　　直线与圆、圆与圆的位置关系的判断主要有几何法和代数法两种方法.几何法侧重图形 的几何性质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法. 　　利用几何法解决直线与圆、圆与圆的位置关系的关键是正确找出圆心和半径,判断直线 与圆的位置关系,即判断圆心到直线的距离与半径的大小关系;判断圆与圆的位置关系即判 断两圆圆心之间的距离与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系. 定点 1 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 关键能力 定点破 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(代数法):联立  消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0, 则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2). (1)当直线与圆相交时,Δ>0,即- <k< . (2)当直线与圆相切时,Δ=0,即k=± . (3)当直线与圆相离时,Δ<0,即k<- 或k> . 解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d= = . 由题意知,圆的半径r=1. 第1讲　描述运动的基本概念 (1)当直线与圆相交时,d<r,即 <1, 解得- <k< . (2)当直线与圆相切时,d=r,即 =1, 解得k=± . (3)当直线与圆相离时,d>r,即 >1, 解得k<- 或k> . 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为　　　    . (2)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圆C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为     　　    . (3)已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为　　　　　    . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆O1,O2的半径分别为r1,r2,则O1(-2,2),O2(2,5),r1=1,r2=4, 因为|O1O2|= =5=r1+r2, 所以两圆外切. (2)易知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为C1(1,-2),半径r1=1,圆C2:(x-2)2+(y+1)2= ,圆心为C2(2,-1),半 径r2= , 则两圆的圆心距|C1C2|= = , 又1- < <1+ , 所以两圆相交, 所以这两个圆的公切线的条数为2. (3)易知圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1, 第1讲　描述运动的基本概念 圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3, 因为|O1O2|=2 >r1+r2,所以两圆外离,故两圆有四条公切线. 当公切线的斜率存在时,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0, 则有  解得 或 或  所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0. 当公切线的斜率不存在时,易得其方程为x=0. 综上,两圆的公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0. 第1讲　描述运动的基本概念 答案    (1)外切    (2)2    (3)y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0 易错警示 　　本例(3)中易忽略斜率不存在的情况,防止出现这种情况的有效方法就是先判断出两圆 的位置关系,确定公切线的条数,再求解.若通过设斜截式方程求得的直线少于确定的条数,则 一定有斜率不存在的公切线. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 2 与圆有关的切线问题 1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线所在直线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜 率为- ;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. (2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即 可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线). 2.切线长的求法 　　过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段 的长称为切线长.切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点 P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为 .   第1讲　描述运动的基本概念 3.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论: (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2; (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·  +E· +F=0. 4.过圆外一点的切线有两条,可熟记下列结论: (1)若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图,则直线 AB的方程为x0x+y0y=r2.   第1讲　描述运动的基本概念 (2)若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图, 则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.   (3)若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为- 的直线相切,则该切线方程为　　　　    ; (2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,其切线长为　　　    ; (3)已知圆C:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点分别 为A,B,则直线AB经过定点　　　    . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:设所求切线方程为y=- x+b,即2x+3y-3b=0. 因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d= = , 解得b=± . 所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0. 解法二:设所求切线方程为y=- x+b. 联立  消去y,整理得 x2- x+b2-13=0, 令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± . 第1讲　描述运动的基本概念 所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0. (2)由题意知圆心C的坐标为(3,1),半径为1. 设切点为B,因为点A不在圆C上,所以△ABC为直角三角形, 易得|AC|= = ,|BC|=1, 所以|AB|= = =4, 所以切线长为4. (3)设P(9-2b,b),易得直线AB的方程为(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x=9,令  解得 故直线AB经过定点(1,2). 答案    (1)2x+3y-13=0或2x+3y+13=0 (2)4    (3)(1,2) 第1讲　描述运动的基本概念 定点 3 直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题 1.直线与圆相交的弦长的求法 几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之 间的关系r2=d2+ 解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐 标后,直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元 后利用根与系数的关系得弦长l= ·|x1- x2|= ·  第1讲　描述运动的基本概念 2.解决与中点弦有关的问题的常见方法 (1)联立直线方程与圆的方程,利用根与系数的关系求出中点坐标; (2)设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差法; (3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦的中点的连线与弦垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程. 思路点拨    思路一:根据斜率是否存在分类讨论,结合一元二次方程根与系数的关系列方程 求解.思路二:根据中点坐标公式,采用“设而不求,整体代换”的策略求解.思路三:利用圆的 几何性质,即弦(非直径)的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线方程为y+2=k(x-4),代入圆的 方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0. 因为1+k2≠0,Δ>0,所以可设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1+x2= =4×2,解得k=-2. 所以所求直线的方程为2x+y-6=0. 当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 综上,所求直线的方程为2x+y-6=0. 解法二:易知直线斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 设两个交点的坐标分别为B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,则x1+x2=8,y1+y2=-4,直线AB的斜率k= . 把B,C两点的坐标代入圆的方程, 第1讲　描述运动的基本概念 得  ①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2) -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所求直线的方 程为2x+y-6=0. 解法三:当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求. 设圆心为M,所求直线的斜率为k. 因为圆心M(2,-3), 所以kMA= , 所以k=-2,所以所求直线的方程为2x+y-6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2 ,求直线l的方程; (2)若直线l'过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出此时直线l' 的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    圆C的圆心坐标为(3,4),半径R=2. (1)∵直线l被圆C截得的弦长为2 , ∴由勾股定理得圆心C到直线l的距离为1. ①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足; ②当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0, 由圆心C到直线l的距离为1,得 =1,解得k=0,故直线l的方程为y=3. 综上所述,直线l的方程为x=2或y=3. (2)∵直线与圆相交,∴l'的斜率一定存在且不为0,设直线l'的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0, 则圆心C到直线l'的距离d= , ∴△CPQ的面积S= ×d×2 =d = = , 第1讲　描述运动的基本概念 当d= 时,S取最大值,为2. 由d= = ,得k=1或k=7, ∴直线l'的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. 第1讲　描述运动的基本概念 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有: ①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率; ②关于x,y的一次式常转化为直线的截距; ③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离. (2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决. (3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目 标函数,利用三角函数知识求最大(小)值. 定点 4 与圆有关的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点. (1)求4x-3y的最大值和最小值; (2)求 的最大值和最小值; (3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令4x-3y=m,则 可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直线在x轴 上的截距最大(或最小).由图可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最大值和最 小值. 由圆心(0,0)到4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,所以|m|=10,解得m=±10.故 mmax=10,mmin=-10, 即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.   第1讲　描述运动的基本概念 (2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2 ,-2)的连线所在直线的斜率. 由图可知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值. 由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= .故kmax= , kmin=0, 即 的最大值为 ,最小值为0.   (3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.如图,由点(4,-3)到圆心(0,0)的 第1讲　描述运动的基本概念 距离为5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最 小值为9.   第1讲　描述运动的基本概念 定点 5 两圆的公共弦问题 1.两圆的公共弦所在直线方程的求法 　　设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0). 　　联立  　　①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③ 　　设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程 ③就是经过两圆交点的直线方程. 　　当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直 线的方程. 　　当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. 　　当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 　　若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的 方程. 2.两圆公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在的直线方程;②求出其中一个圆的圆心到公 共弦的距离;③利用勾股定理求出公共弦长. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2 +y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他条件求出λ即得圆的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 求圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长. 解析    联立  两式相减并化简,得x-2y+4=0,即两圆的公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0. 解法一:设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组  解得 或  所以|AB|= =2 , 即公共弦长为2 . 解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径为5 ,则圆心到直 线x-2y+4=0的距离为 =3 . 设公共弦长为2l(l>0), 第1讲　描述运动的基本概念 则50=(3 )2+l2,所以l= , 故公共弦长为2l=2 . 易错警示 　　只有在两圆相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公共弦所在直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆C的方程. 解析    解法一:联立两圆方程,得   两式相减并化简,得公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 联立  解得 或  即两圆的交点为(-1,2),(5,-6). ∵圆C以公共弦为直径, ∴其圆心是公共弦的中点,即(2,-2),半径为   =5. ∴圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:同解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(4x+3y-2)=0(λ为参数,λ∈R),即x2+y2+(4λ-12)x+(3λ-2)y-13- 2λ=0. 可求得圆心为C . ∵圆心C在公共弦所在直线上, ∴4(6-2λ)+3 -2=0, 解得λ=2. ∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 解法三:同解法一可知公共弦所在直线的方程为4x+3y-2=0. 设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数,λ≠-1). 第1讲　描述运动的基本概念 可求得圆心为C . ∵圆心C在公共弦所在直线上, ∴4· +3· -2=0, 解得λ= . ∴圆C的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 第1讲　描述运动的基本概念 $