第1章 08-专题强化练1 对称问题及其应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“对称问题及其应用”，围绕直线与方程核心知识，通过光线反射、最短路径等实际问题导入，搭建从点关于直线对称概念到综合应用的学习支架，衔接直线方程、斜率计算等前后知识点。 其亮点在于精选多地名校月考真题，以数学思维引导逻辑推理，用坐标法、方程求解等数学语言表达问题，如通过对称点求反射光线方程培养运算能力与几何直观。学生能提升实际问题转化能力，教师可直接用于专题教学，提高课堂效率。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练1　对称问题及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026浙江平湖当湖高级中学月考]已知从点(-1,5)射出的一束光线,经过直线2x-y+2=0反射后,反射光 线恰好过点(2,7),则反射光线所在的直线方程为 (　　　) A.2x+y-11=0　　　    B.4x-y-1=0 C.4x+y-15=0　　　    D.x+y-9=0     C     解析　设点(-1,5)关于直线2x-y+2=0的对称点为(x,y), 则 解得  故反射光线所在的直线经过点(3,3),又反射光线所在的直线过点(2,7),所以其斜率为 =-4, 故反射光线所在的直线方程为y-3=-4(x-3),即4x+y-15=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北石家庄习德高级中学检测]在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,0),(4,0),点C的坐标 为(m, m)(m>0),则CA+CB的最小值是 (　　　) A.6　　　    B.3 　　　    C.2 　　　    D.5     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵C(m, m)(m>0),∴点C在直线y= x上, 设点A(2,0)关于直线y= x的对称点为A'(x,y), 则 解得  即A'(-1, ). 如图,连接A'B,CA',因为CA+CB=CA'+CB≥A'B= =2 ,当且仅当A',C,B三点共线时等号 成立, 所以CA+CB的最小值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏镇江重点高中学情调研]在等腰直角△ABC中,AB=AC=4,P是边AB上异于A,B的一点,光线从 点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP= (　　　)   A.2　　　    B.1　　　    C. 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,   可得A(0,0),B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4, △ABC的重心为 ,即 , 设点P(a,0),0<a<4,点P关于直线BC的对称点为P1(x,y), 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 即P1(4,4-a), 易得点P关于y轴的对称点为P2(-a,0),连接QP1,RP2,由光的反射原理可知P1,Q,R,P2四点共线, 直线QR的斜率为 = ,故直线QR的方程为y= (x+a), 又直线QR过△ABC的重心 , 所以 =  , 解得a= 或a=0(舍去),故P ,所以AP= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江舟山南海实验学校月考]已知直线l1:x-y+1=0和直线l2:x+2y-5=0,M,N分别是直线l1和l2上的点, 点A(4,3),则△AMN周长的最小值是 (　　　) A.4　　　    B.6　　　    C.9　　　    D.12     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点A关于l1的对称点为B(x1,y1), 则 解得  即B(2,5), 设点A关于l2的对称点为C(x2,y2), 则 解得  即C(2,-1),连接BC,BM,CN, 所以△AMN的周长为AM+MN+AN=BM+MN+CN≥BC=6,当且仅当B,M,N,C四点共线时取等号,故△AMN 周长的最小值是6.   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广西钦州第四中学开学考试]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0) 重合,若此时y轴与直线y=kx+b也正好重合,则k+b= (　　　) A.- 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.-      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得,kAB= =- ,设线段AB的中点为D,则D(2,1), 所以折痕所在的直线方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3,令x=0,得y=-3,记C(0,-3), 因为折叠一次后,y轴与直线y=kx+b重合,所以点B(4,0)在直线y=kx+b上, 所以4k+b=0, 易得直线y=2x-3,直线y=kx+b以及y轴相交于点C(0,-3), 所以b=-3,代入4k+b=0,解得k= , 所以k+b= -3=- .   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026重庆第八中学校月考]设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出,经l 反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若| |= ,则k的值为(　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为光线经l反射后与x轴相交,所以0<k<1.如图,   设点O关于直线l的对称点为A(x1,y1), 则 得 即A(1,1), 设射线y=kx(x≥0)与直线l交于点P, 第1讲　描述运动的基本概念 由 得  即P , 故kAP= = ,则直线AP的方程为y-1= (x-1), 易知A,P,M三点共线,令y=0,得x=1-k,故M(1-k,0), 设直线AP与y轴交于点N',令x=0,得y=1- ,故N' ,由对称性可得N , 由| |= 得(k-1)2+ = ,即 -2 = , 第1讲　描述运动的基本概念 令m=k+ ,因为k∈(0,1),所以m∈(2,+∞), 则m2-2m= ,解得m= 或m=- (舍去), 所以k+ = , 解得k= 或k= (舍去), 综上,k= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖南长沙明德中学阶段检测]在如图所示的长方形台球桌面示意图中,OM=4,MP=2,台球桌的六 个球袋分别位于长方形桌面的四个顶点及长边中点上.现有三个台球分别在A ,B,C 三点所 在的位置上,且A,B,C三点共线.用球A贴着桌面滚动去击球C(不能碰到球B),使得球C沿球A运动的方向 径直落入O,R,M三个球袋中的一个.若球和球袋近似地看成点,且台球在桌面上为直线运动,球A碰到台 球桌边缘后反弹满足入射角等于反射角,则球A击中球C前,球A滚动的最短路径的长度为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为A,B,C三点共线,所以要使球A击中球C,只能通过反射. 通过入射角等于反射角,以及从球袋逆向推理,连接球袋与球C逆推球A的运动路径,可知球C落入R处球 袋时球A移动的路程最短. 连接RC并延长交PM于点T,易得R(2,2),则直线RC: = ,即y=- x+3, 令x=4,得y=1,故T(4,1),则T为线段PM的中点. 设RC的反射直线为TW,其中W为反射直线与x轴的交点,设直线WT:y= x+b, 将T(4,1)的坐标代入,得b=-1,故直线WT:y= x-1, 令y=0,得x=2,故W(2,0),则W为线段OM的中点, 设直线WT经过x轴反射得到直线y=- x+b1, 第1讲　描述运动的基本概念 将W(2,0)的坐标代入,得b1=1,故y=- x+1, 其中A 在直线y=- x+1上, 此时A球击中球C前的轨迹为AW+WT+TC, 其中AW= = , WT= = , TC= = , 故球A滚动的最短路径的长度为AW+WT+TC= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026陕西西安庆安高级中学月考]如图,当光从真空射入某介质时,在两种介质的分界面,不仅会发生 反射,还会发生折射.我们把入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率,简 称折射率. (1)当光从真空射入某介质时,发生折射,且入射角α 是折射角β的两倍,求该介质的折射率的取 值范围; (2)已知直线l':x+y-4=0,l″:12x-2y+15=0,一束光线从点P(2,1)射出, 经l'反射后,反射光线经l″再反射,再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度; ②当该光线从点P射出,从真空射入某介质时,经该光线在分界面上的投影所在的直线l'折射后,折射光 线所在直线的斜率为 ,求该介质的折射率. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知,α=2β∈ ,则β∈ , 可得该介质的折射率为 = =2cos β∈( ,2), 所以该介质的折射率的取值范围为( ,2). (2)①设经l'反射后的反射光线所在直线与直线l',l″的交点分别为A,B,点P(2,1)关于直线l',l″的对称点 分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 解得  即P1(3,2); 第1讲　描述运动的基本概念  解得  即P2(-4,2), 连接P1A,P2B, 所以该光线经过的路程长度为PA+AB+BP=P1A+AB+BP2=P1P2=7. ②由直线l':x+y-4=0可知,法线所在直线的斜率为1,其倾斜角θ1= , 直线P1P2的方程为y=2, 联立 解得 即A(2,2), 则直线PA的方程为x=2,其倾斜角θ2= ,可得入射角α= , 第1讲　描述运动的基本概念 又因为折射光线所在直线的斜率为 ,所以其倾斜角θ3= ,可得折射角β= - , 则sin β=sin =sin cos -cos sin = , 所以该介质的折射率为 = = +1.   第1讲　描述运动的基本概念 $