第1章 13-思想方法练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学直线与方程单元复习课件系统梳理了直线方程的核心知识及数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归四种数学思想方法，通过专题专项练将知识点与思想方法串联，帮助学生构建“知识-方法-应用”的完整网络。 其亮点在于以思想方法为统领设计复习活动，如通过“斜率几何意义”例题培养数学眼光，按斜率存在性分类讨论发展数学思维，将距离最值转化为平行线距离强化数学语言表达。练习涵盖基础题与综合题，支持分层教学，助力学生巩固知识，教师提升复习效率。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练1 第1讲　描述运动的基本概念 一、数形结合思想在直线方程中的应用 1.[2026广东湛江第二中学月考]已知直线l过点(1,2),且直线l的倾斜角比直线 x-3y+1=0的倾斜角大 . (1)求直线l的方程; (2)若点M(x1,y1)在直线l上,且x1∈[-2,1),求 的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得直线 x-3y+1=0的斜率为 ,所以其倾斜角为 , 则l的倾斜角为 + = , 则kl=tan =1, 又l过点(1,2),所以l的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. (2)赋予代数式 几何意义,并画出相应图形解决问题,体现数形结合思想.  表示M(x1,y1)与点(1,-2)(记为A)所在直线的斜率kAM, 已知M(x1,y1)是直线l在x∈[-2,1)部分上的动点,当x=-2时,y=-1,当x=1时,y=2,记B(1,2),C(-2,-1),如图所示: 第1讲　描述运动的基本概念   易得kAC= =- ,直线AB的斜率不存在,则kAM≤- , 即 的取值范围为 . 思想方法　数形结合思想在解决数学问题中占有极其重要的地位,运用数形结合思想能避免复杂的计 算与推理,大大简化解题过程.本章中如遇到求代数式的最值问题,可以根据式子的结构,赋予其几何意 义,转化为截距、斜率、距离等问题,借助图形的直观性解决. 第1讲　描述运动的基本概念 二、函数与方程思想在直线方程中的应用 2.[2026浙江温州永嘉中学模拟]已知函数f(x)=(a-2)x2+bx-a+1(a,b∈R且a≠2)在区间[1,2]上有零点,则a2+ b2的最小值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=(a-2)x2+bx-a+1在区间[1,2]上有零点,等价于(a-2)x2+bx-a+1=0在[1,2]上有解,即(x2-1)a+xb+1-2 x2=0在[1,2]上有解, 将(x2-1)a+xb+1-2x2=0表示的图形看成直线(x2-1)a+xb+1-2x2=0(把x看成参数),体现参变转化的方程思想. (a,b)表示平面直角坐标系aOb中,直线(x2-1)a+xb+1-2x2=0(把x看成参数)上的点,所以a2+b2的最小值即原 点到直线(x2-1)a+xb+1-2x2=0的距离d的平方的最小值, 将距离表示为x的函数,利用二次函数求最值,体现函数思想. 易得d= ,则d2= =4- =4- , 因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以当x=1时,d2取得最小值,为4-3=1, 所以a2+b2的最小值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏盐城五校联盟联考]在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,2),AB边上的中线CF所在 直线的方程为x+2y-5=0. (1)若AC边上的高BE所在直线的方程为x-3y+10=0,求边BC所在直线的方程; (2)若∠B的平分线BD所在直线的方程为y=2x,求边BC所在直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　已知A(-4,2),设B(xB,yB),C(xC,yC), 则 +2× -5=0,即xB+2yB-10=0①,xC+2yC-5=0②. (1)根据AB的中点和点C在直线CF:x+2y-5=0上,直线AC与BE垂直,点B在直线BE:x-3y+10=0上,列方程求 出点B,C的坐标,体现方程思想. 因为直线AC与直线BE垂直,直线BE的斜率为 ,所以 × =-1,即3xC+yC+10=0③, 联立②③解得xC=-5,yC=5, 又xB-3yB+10=0④,故联立①④解得xB=2,yB=4, 故B(2,4),C(-5,5), 所以直线BC的方程为 = ,即x+7y-30=0. (2)因为∠B的平分线所在直线的方程为y=2x,所以yB=2xB⑤, 第1讲　描述运动的基本概念 联立①⑤解得xB=2,yB=4,故B(2,4), 则直线AB的方程为 = ,即x-3y+10=0, 设直线BC的方程为ax+by+c=0(a,b,c均不为0),则2a+4b+c=0. 根据直线y=2x上的点O(0,0)到直线AB,BC的距离相等,列出方程,将其转化为以 为变量的二次方程求 解,体现方程思想. 在直线y=2x上取点O(0,0),由角平分线定理可知,点O到直线AB,BC的距离相等, 则 = ,即10a2+10b2-c2=0, 又c=-2a-4b,所以10a2+10b2-(-2a-4b)2=0,整理得3 -8· -3=0, 解得 =- 或 =3,所以直线BC的斜率k= 或k=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 当k= 时,直线BC的方程为y-4= (x-2),即x-3y+10=0,与直线AB重合,舍去; 当k=-3时,直线BC的方程为y-4=-3(x-2),即3x+y-10=0,满足题意. 所以直线BC的方程为3x+y-10=0. 思想方法　函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.在本章中,通过联 立直线方程,解方程组求出交点坐标;利用待定系数法求直线方程;解决对称问题时,通过垂直关系得斜 率之积为-1和以两对称点为端点的线段的中点在对称轴上得到两个方程,联立得到方程组等都是很明 显的方程思想的体现.解决与运动变化有关的问题(如最值问题、求参数的取值范围等)时,常转化为函 数问题来解决,通过函数关系找出其中的联系和规律. 第1讲　描述运动的基本概念 三、分类讨论思想在直线方程中的应用 4.[2026河南新乡联考]已知直线l过点(0,2),且与直线 x-y+2=0及x轴围成等腰三角形,则直线l的方程为  (　　　) A. x+y-2=0或 x-3y+6=0 B. x-3y+6=0或3x- y+2 =0 C.x-y+2=0 D. x+y-2=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(0,2),直线 x-y+2=0过A(0,2)和B . 依次分析直线l的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零和斜率大于零四种情况,找到满足题意的直线 方程,体现分类讨论思想. ①当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,如图所示,直线l、直线 x-y+2=0与x轴围成的三角形是△AOB, 不是等腰三角形,不满足题意.   ②当直线l的斜率小于零时,设B关于y轴的对称点为C , 第1讲　描述运动的基本概念 当直线l过A,C两点时,AB=AC,△ABC是等腰三角形.又直线 x-y+2=0的斜率为 ,所以∠ABC= ,所以 △ABC为等边三角形,所以直线l的斜率小于零时只有这一种情况,此时直线l的倾斜角为 ,斜率为- , 故其方程为y=- x+2,即 x+y-2=0.   ③当直线l的斜率为零时,直线l平行于x轴,不能与直线 x-y+2=0及x轴围成三角形,不满足题意.   第1讲　描述运动的基本概念 ④当直线l的斜率大于零时,只有如图所示的一种情况可使直线l过点(0,2),且与直线 x-y+2=0及x轴围 成等腰三角形.   设直线l与x轴负半轴交于点D,则AB=BD,因为直线 x-y+2=0的斜率为 ,所以∠ABO= ,所以∠ABD=  , 所以∠ADB= ,所以直线l的斜率为 ,故其方程为y= x+2,即 x-3y+6=0. 综上所述,直线l的方程为 x+y-2=0或 x-3y+6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026黑龙江牡丹江第一高级中学月考]已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0. (1)求经过点A(1,4)且与直线l2垂直的直线的方程; (2)求经过直线l1与l2的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得直线l2的斜率为- , 因此所求直线的斜率为 ,设其方程为y= x+b, 由点A(1,4)在所求直线上可得4= ×1+b,解得b= , 所以所求直线的方程为y= x+ ,即3x-2y+5=0. (2)在两坐标轴上的截距互为相反数分截距为0和截距不为0两种情况求解,体现分类讨论思想. 联立 解得  即直线l1与l2的交点坐标为(1,2). 当所求直线在两坐标轴上的截距为0,即直线过原点时,满足题意,设其方程为y=kx, 将(1,2)代入,得k=2, 第1讲　描述运动的基本概念 此时所求直线的方程为y=2x,即2x-y=0; 当所求直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设其方程为 + =1(a≠0,b≠0), 依题意得 解得  此时所求直线的方程为 + =1,即x-y+1=0. 综上所述,所求直线的方程为2x-y=0或x-y+1=0. 思想方法    分类讨论思想是很重要也很常用的一种思想方法,确定分类的标准是关键,在直线与方程中 遇到直线的倾斜角和斜率之间的关系时,要考虑倾斜角是不是90°;遇到利用两直线平行或垂直求参数 时,要考虑直线的斜率是否存在;在截距问题中要考虑截距是不是0等.注意分类要保证不重不漏. 第1讲　描述运动的基本概念 四、转化与化归思想在直线方程中的应用 6.[2026江苏宿迁沭阳南湖高级中学调研]已知实数a,b,c,d满足 = = ,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为  (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方, 由实数a,b,c,d满足 = = ,得3a-4b=0,3c-4d+9=0, 故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上, 将(a-c)2+(b-d)2的最小值转化为两平行直线间距离的平方,体现转化与化归思想. 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线3x-4y=0和3x-4y+9=0之间距离的平方, 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025四川遂宁期中]已知O为坐标原点,A(3,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点,则 (　　　　) A.△APQ的周长的最小值为4  B.AP+AQ的最小值为1+  C.AP+PQ的最小值为2  D. AP+OP的最小值为4 BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得A(3,1)关于直线l的对称点为(1,3),关于x轴的对称点为(3,-1),设A1(1,3),A2(3,-1),连接QA1,PA2, 则AQ=QA1,AP=PA2,   对于A,求△APQ的周长的最小值,可以利用对称性将其转化为求两点间的距离.连接A1A2,则△APQ的周 长为PQ+AQ+AP=PQ+QA1+PA2≥A1A2= =2 ,当且仅当A1,P,Q,A2四点共线时,等号成立, 故△APQ的周长的最小值为2 ,故A错误. 对于B,设A(3,1)到x轴和到直线l:x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2= = , 可得AP+AQ≥d1+d2=1+ ,所以AP+AQ的最小值为1+ ,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,求AP+PQ的最小值,可以利用对称性将其转化为点到直线的距离. 设A2(3,-1)到直线l:x-y=0的距离为d3,则d3= =2 ,所以AP+PQ=PA2+PQ≥d3=2 ,故AP+PQ的 最小值为2 ,故C正确. 对于D,当P在原点处时,易得AP= ,OP=0,故 AP+OP=2 .当点P不在原点处时,作PC⊥l,垂足为C, 因为直线l的斜率为1,所以∠COP=45°,所以CP= OP, 所以 AP+OP=  = (AP+CP)= (PA2+CP)≥ d3=4,故 AP+OP的最小值为4,故D正 确. 思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在根据代数式的结构将其转化为截距、距离、 斜率,以及利用图形的对称性质,将线段和与差的最值问题转化为两点间的距离问题求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $