1.2.3 直线的一般式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

1.2.3 直线的一般式方程 新课导入 观察下列4条直线的方程：;;;,会发现它们表示同一条直线，那么它们有没有统一的形式呢？这就是我们要学习的直线的一般式方程. 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于，的二元一次方程，不同时为0都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 新知学习 探究 一 直线的一般式方程 思考1．任何一条直线的方程都是关于，的二元一次方程吗？ 提示 当直线与 轴不垂直时，经过点，斜率为 的直线的方程为，即，此方程是关于，的二元一次方程. 当直线与 轴垂直时，经过点 的直线的方程为，此方程也可看作是关于，的二元一次方程. 因此，任意一条直线的方程都可以用关于，的二元一次方程，不全为0来表示. 思考2．关于，的二元一次方程，不全为0都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示 当 时，方程 可以写成，它表示斜率为，在 轴上的截距为 的直线. 当，时，方程 可以写成，它表示垂直于 轴的直线. 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于，的二元一次方程，不全为0都表示一条直线. ［知识梳理］ 1．定义 方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，不全为0叫作直线的一般式方程. 【答案】 2.直线各种形式方程的互化 ［例1］ 根据下列条件，分别写出直线的方程,并化为一般式方程. （1） 过点，斜率为； （2） 过点，与轴垂直； （3） 斜率为3，在轴上的截距为； （4） 过点，. 【答案】（1） 【解】因为直线过点，斜率为，所以直线方程为,即. （2） 因为直线过点，与 轴垂直， 所以直线方程为,即. （3） 因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为， 又因为直线在 轴上的截距为， 所以,可得， 所以直线的方程为， 即. （4） 因为直线过点，， 所以直线的方程为,即. 根据已知条件求直线方程的解题策略 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： （1）已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； （2）已知直线的斜率和在轴上的截距时，选用斜截式； （3）已知直线上两点的坐标时，选用两点式； （4）已知直线在轴、轴上的截距时，选用截距式. ［跟踪训练1］． （1） 若直线过点且倾斜角为 ，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. （2） 已知直线经过点,，则直线的一般式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.因为直线 的倾斜角为 ，则斜率为，又直线 过点，则直线 的方程为，即.故选. （2） 因为直线 经过点,，所以直线 的方程为，化简得.故直线 的一般式方程为. 二 直线的一般式方程化为其他形式的方程 ［例2］ （对接教材例6）设直线的方程为. （1） 化直线的方程为截距式,并求当在轴上的截距为时的值； （2） 已知直线的斜率为1，求的值． 【答案】 （1） 【解】直线 的截距式方程为, 令，解得. （2） 因为直线 的斜率存在，所以直线 的方程可化为. 由题意得， 解得． （1）若方程表示直线，则需满足，不全为0. （2）令可得直线在轴上的截距；令可得直线在轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. （3）解分式方程要注意验根. ［跟踪训练2］． （1） （多选）关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 经过点 C. 在轴上的截距为2 D. 直线经过第二、三、四象限 （2） 若直线的倾斜角是 ，则实数的值为_ _ _ _ . 【答案】（1） BD （2） 3 【解析】 （1） 选.因为直线，令，可得，即直线经过点，故 正确；由 可得，所以直线的斜率为，直线在 轴上的截距为，直线 经过第二、三、四象限，故，错误，正确.故选. （2） 由题意可得 且,解得 或（舍去）.所以. 三 直线的一般式方程的应用 ［例3］ 已知直线. （1） 求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2） 为使直线不经过第二象限，求的取值范围. 【答案】 （1） 【解】方法一：由，得. 令 得 故直线 恒过定点. 方法二：由，得，表示过点 的点斜式方程，即直线恒过定点. （2） 设，则直线 的斜率为.如图所示，要使 不经过第二象限，需斜率，所以 的取值范围为. 母题探究．是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的取值范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由. 解：存在实数.由本例（1）知，直线 恒过第一象限的点， 设直线 与 轴和 轴分别交于，两点，则,， , 由题意，得 解得，所以存在实数,使得直线 与 轴和 轴的正半轴都相交. . 因为，所以, 当， 即 时，的面积取得最小值8. （1）已知含参数的直线的一般式方程为,不全为0，求参数的值或取值范围的步骤： （2）直线恒过定点的求解策略 ①将方程化为点斜式，求得定点的坐标. ②将方程变形，把,转化为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得,的值，即为直线过的定点. ［跟踪训练3］．已知过定点的直线分别交轴、轴的正半轴于点，，为坐标原点. （1） 若是线段的中点，求实数的值； （2） 求的最小值. 【答案】（1） 解：由题易得直线 过定点，又 为 的中点，故，故. （2） 设，，其中，，则直线 的方程可写成， 将 代入得，，故，当且仅当，即，时取等号，故 的最小值为. 课堂巩固 自测 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.可变形为，所以该直线的斜率为，又因为倾斜角的范围为 ，因此该直线的倾斜角为 . 2．（多选）（教材P19T1改编）已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为 【答案】BD 【解析】选.对于，因为，即直线不过点，所以 不正确；对于，，由，得到，所以直线斜率为，在 轴上的截距为，所以，正确；对于，由直线，令，得到，所以 不正确. 3．过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线的一般式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】直线 的斜率为，倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即. 4．已知直线. （1） 当直线在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍时，求实数的值； （2） 求直线所过定点的坐标. 【答案】 （1） 解：由条件知，且，在直线 的方程中，令 得，令 得，所以， 解得 或， 经检验，或 均符合要求,故实数 的值为1或. （2） 由，得. 由 解得 所以直线 所过定点的坐标为. 1.已学习：（1）直线的一般式方程； （2）一般式方程和其他几种形式方程之间的转化. 2.须贯通：（1）求直线的一般式方程的策略； （2）直线的一般式方程的应用. 3.应注意：当方程表示一条直线时，，必不能同时为0. 课后达标 检测 A 基础达标 1．过点和的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由截距式方程得直线方程为，整理得. 2．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由直线，可得，所以直线 的斜率,设直线 的倾斜角为 ，则，因为 ，所以 ． 3．如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选.易知，，均不为0.由，得，又，，则，符号相反，，符号相反，所以，符号相同，所以直线的斜率，在 轴上的截距，所以直线 不经过第三象限. 4．已知直线，则此直线与两坐标轴围成的三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】选.直线 在 轴、轴上的截距分别为，，则三角形的周长为. 5．若直线的倾斜角为 ，则实数（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意知，直线的斜率，所以 解得. 6．（多选）若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】选.直线方程可化为， 由 解得 即直线过定点,，因为定点在第二象限且直线 不经过第四象限，所以直线斜率不存在或斜率大于等于0， 当直线斜率不存在时，； 当直线斜率大于等于0时， 即，解得. 综上可知，实数 的取值范围为,，，选项符合要求. 7．斜率为3，且经过点的直线的一般式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】直线的点斜式方程为，整理可得直线的一般式方程为. 8．已知直线在轴上的截距为3，则该直线在轴上的截距为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】把 代入已知方程，得，所以，所以直线方程为，令，得. 9．设，为常数，则直线恒过定点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 可变形为，即， 上式对于任何 都成立，则 解得 故直线 恒过定点. 10．（13分）已知直线. （1） 证明：直线过定点；（5分） （2） 求过点且横截距与纵截距相等的直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为，即. 令 解得 所以直线 过定点. （2） 解：当直线 的横截距、纵截距都为0时， 直线 过原点， 所以斜率， 此时直线 的方程为， 即. 当直线 的横截距与纵截距不为0时，可设直线 的方程为，因为直线 过点，代入方程得，所以，所以直线 的方程为，即直线 的方程为. 综上所述，直线 的方程为 或. B 能力提升 11．（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程，不全为0表示 B. 当时，方程，不全为0表示的直线过原点 C. 当，，时，方程表示的直线与轴平行 D. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【答案】ABC 【解析】选 选项正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 ，当 时，直线的斜率 存在，其方程可写成，它可变形为，与 比较，，，；当 时，直线的斜率不存在，其方程可写成，它可变形为，与 比较，，，，显然，不全为0，所以此说法是正确的；选项正确，因为当 时，方程，不全为0即，显然有，即直线过原点；选项正确，因为当，，时，方程 可化为，它表示的直线与 轴平行；选项显然错误. 12．设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得，， 因此直线 过定点，且斜率， 如图所示，当直线 由直线 按顺时针方向旋转到直线 的位置时，符合题意． 易得，. 结合图形知，或，解得 或. 13．（13分）已知直线. （1） 求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（6分） （2） 为使直线不经过第二象限，求的取值范围.（7分） 【答案】 （1） 证明：将直线 的方程整理为 ，所以直线 的斜率为，且过定点，,又点，在第一象限，故不论 为何值，直线 总经过第一象限. （2） 解：设 为坐标原点，则直线 的斜率为. 因为 不经过第二象限，所以. 故 的取值范围是. 14．（15分）已知，由确定两个点,. （1） 写出直线的方程可含；（5分） （2） 在内作内接正方形，顶点,在边上，顶点在边上.若，当正方形的面积最大时，求,的值.（10分） 【答案】（1） 解：由题意知当直线斜率存在时，，当 时，直线 的方程为，当 时，直线 的方程为.综上，直线 的方程为. （2） 由 和四边形 为正方形可知，因为，所以,,， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 而正方形 的面积最大，即 最大， 所以当，时，正方形 的面积最大. C 素养拓展 15．[（2025·深圳期中）]设直线经过点,是它的一个方向向量，是直线上任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即，所以我们把上式称为直线的参数方程.若直线的参数方程为为参数，则其倾斜角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，因为直线的参数方程为 为参数，所以直线的一个方向向量为， 设直线的倾斜角为，所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $