02-阶段（月考）达标检测卷（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

这是一份高中数学阶段达标检测卷，满分150分，包含单项选择、多项选择、填空、解答题，覆盖空间向量、直线与圆、立体几何等知识点，可作为学生巩固基础、提升综合解题能力的学习支架。 资料注重核心素养培养，通过空间向量基底判断、直线平行条件证明等题目发展数学眼光与推理思维，结合神舟十二号对接等情境化问题提升应用意识，分层设题帮助教师了解学情，对高三学生巩固升学考试核心知识、提升综合应用能力有积极作用。

阶段达标检测卷 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.设空间向量e1=(1,1,0),e2=(2,4,λ),e3=(2,3,1).若e1,e2,e3不能构成空间的一组基底,则实数λ= ( ) A.0　　    B. 　　    C.2　　    D.1     C     解析　由题意可知e1,e2,e3共面, 设e2=me1+ne3(m,n∈R),即(2,4,λ)=m(1,1,0)+n(2,3,1), 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 2.已知直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-2)x-ay+1=0,则“a=-2”是“l1∥l2”的 ( ) A.必要不充分条件　　    B.充分不必要条件　　     C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     C     解析　若l1∥l2,则a·(-a)-(a-2)=0, 即a2+a-2=(a+2)(a-1)=0,可得a=-2或a=1, 当a=-2时,l1:2x-y+1=0,l2:2x-y- =0,此时两直线平行; 当a=1时,l1:x+y-1=0,l2:x+y-1=0,此时两直线重合. 所以“a=-2”是“l1∥l2”的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知两点A(2,-1),B(-5,-3),直线l:ax+y-a-1=0与线段AB的延长线相交(不含点B),则实数a的取值范围是  ( ) A. 　　     B.  C. ∪[2,+∞)　　    D.(-∞,-2]∪      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线l的方程可变形为a(x-1)+(y-1)=0,所以直线l恒过定点(1,1)(记为P),则kPB= = , 易得kAB= = ,kl=-a, 由直线l与线段AB的延长线相交(不含点B),可得kAB<kl<kPB,即 <-a< ,所以- <a<- .   第1讲　描述运动的基本概念 4.已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+ax-2y-3=0(a∈R)的公共弦所在的直线与直线l:2x-ay+1=0平行,则两平 行线间的距离为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　圆C1与圆C2的方程相减得ax-2y+1=0,此方程即为圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程, 由直线ax-2y+1=0与直线l平行,得2×(-2)=-a2,解得a=±2, 当a=2时,两直线方程均为2x-2y+1=0,此时两直线重合,故舍去; 当a=-2时,直线l:2x+2y+1=0,公共弦所在的直线方程为-2x-2y+1=0,即2x+2y-1=0,此时两直线平行,成立, 则圆C2:x2+y2-2x-2y-3=0,即(x-1)2+(y-1)2=5,其圆心为C2(1,1),半径r2= , 圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,故|C1C2|= ∈( -2, +2),符合题意, 故所求平行线间的距离为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,∠BAC=∠BCD=90°,|AB|=|AC|,|CD|= |BC|=1,点P是线 段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得直线PQ与平面ACD所成的角为30°,则线段PA的长度的取值 范围是 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以C为原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过C且与平面BCD垂直的直线为z轴建立 空间直角坐标系,   则C(0,0,0),A(0,1,1),B(0,2,0),D(1,0,0),则 =(1,-1,-1), =(0,1,1), =(0,1,-1). 由题可设Q(q,0,0)(0≤q≤1), =λ =(0,λ,-λ)(0≤λ≤1), 则 = -( + )=(q,0,0)-(0,1,1)-(0,λ,-λ)=(q,-1-λ,λ-1),设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则 则x=0,令y=1,得z=-1,故n=(0,1,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 当直线PQ与平面ACD所成的角为30°时, sin 30°=|cos< ,n>|= = = , ∴6λ2=q2+2, ∵0≤q≤1,∴q2+2∈[2,3],∴2≤6λ2≤3, 又0≤λ≤1,∴ ≤λ≤ ,故|PA|= = λ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,点P为线段D1B上的动点,设|D1P|=λ|D1B|, 则下列正确结论的个数为 ( ) ①当λ= 时,EP∥平面AB1C; ②当λ= 时,PE的长取得最小值,且最小值为 ; ③|PA|+|PC|的最小值为 ; ④当C1∈平面CEP时,λ= .     C     A.0　　    B.1　　     C.2　　    D.3 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.   则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,0,0), 设点P(x,y,z),因为|D1P|=λ|D1B|,P在线段D1B上,所以 =λ ,即(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),则 所以P(2λ, 2λ,2-2λ). 当λ= 时,P ,所以 = , 第1讲　描述运动的基本概念 易得 =(-2,2,0), =(0,2,2), 设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 即 取x1=1, 则y1=1,z1=-1,所以m=(1,1,-1). 因为m· =1× +1× +(-1)× =-1≠0, 所以m⊥ 不成立,所以EP与平面AB1C不平行,故①错误. 易得|PE|= = = ,由题知0≤λ≤1,所以当λ= 时,|PE| 取得最小值,且最小值为 ,故②正确. 因为|PA|+|PC|= + =4  第1讲　描述运动的基本概念 =4 ,0≤λ≤1, 所以当λ= 时,|PA|+|PC|取得最小值,且最小值为 ,故③正确. 当C1∈平面CEP时,点P∈平面C1CE, 易得 =(-1,2,0), =(0,0,2), =(-2λ,2-2λ,2λ-2), 设平面C1CE的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 即 则z2=0,取x2=2,则y2=1,所以n=(2,1,0). 因为点P∈平面C1CE,所以 ·n=(-2λ)×2+(2-2λ)×1+(2λ-2)×0=2-6λ=0,解得λ= ,故④错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.在平面直角坐标系中,已知A(3,3)是以点C为圆心的圆上的一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相 同的两点(异于点A)重合,两次的折痕所在直线的方程分别为x-y+1=0和x+y-7=0,若圆C上存在点P,使得 ∠MPN=90°,其中点M(-m,0),N(m,0),则m的最小值为 ( ) A.4　　    B.-4　　    C.-5　　    D.-6     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知折痕所在直线为点A与折叠后的对应点所连线段的垂直平分线, 故圆心C是直线x-y+1=0与x+y-7=0的交点. 由 得x=3,y=4,即圆心C的坐标为(3,4). 又点A(3,3)在圆上, 故圆C的半径为 =1, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=1. 因为∠MPN=90°,M(-m,0),N(m,0),所以点P在以MN为直径的圆上,该圆的方程为x2+y2=m2,圆心为(0,0),半 径为|m|. 两圆的圆心距为 =5,由题知两圆有公共点,则  则|m|∈[4,6],即m∈[-6,-4]∪[4,6],故m的最小值为-6. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,给出下列四个结论,其中正确的有  ( ) ①若点P在线段AD1上运动,则始终有C1P⊥CB1; ②若点P在线段AA1上运动,则过P,B,D1三点的正方体的截面面积的最小值为 ; ③若点P在线段BA1上运动,则|AP|+|PD1|的最小值为 ; ④若点P在线段AD1上运动,则直线CP与平面BCC1B1所成最大角的正切值为 . A.4个　　    B.3个　　    C.2个　　    D.1个     B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于①,如图1,连接A1D,易得B1C∥A1D,又A1D⊥AD1,所以B1C⊥AD1,因为C1D1⊥平面BCC1B1,B1C ⊂平面BCC1B1,所以C1D1⊥B1C,连接AC1,因为AD1∩C1D1=D1,AD1,C1D1⊂平面AC1D1,所以CB1⊥平面AC1D 1,因为C1P⊂平面AC1D1,所以C1P⊥CB1,故①正确.  　　      对于②,设|AP|=a,a∈[0,1],在C1C上取一点P1,使得|C1P1|=|AP|,连接D1P1,P1B,PD1,PB,BD1.易知PB∥D1P1,且| PB|=|D1P1|,则P,B,D1,P1四点共面,故过P,B,D1三点的正方体的截面为平行四边形PBP1D1. 第1讲　描述运动的基本概念 以D为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系, 则B(1,1,0),D1(0,0,1),P(1,0,a),P1(0,1,1-a), 故 =(-1,-1,1), =(0,-1,a), 则| |= ,| |= , · =1+a, 所以 =2 =| || |sin∠PBD1 =  = = , 故当a= 时,过P,B,D1三点的正方体的截面面积最小,为 ,故②错误. 对于③,连接CD1,将△AA1B与四边形A1D1CB沿A1B展开在同一平面上,如图3,连接AD1,由图可知,线段AD1 第1讲　描述运动的基本概念 的长度即为|AP|+|PD1|的最小值,在△AA1D1中,|AA1|=|A1D1|=1,∠AA1D=45°+90°=135°,则|AD1|=  = ,故③正确.  　　      对于④,连接BC1,过P作PP1∥AB,交BC1于P1,连接CP1,如图4, 因为AB⊥平面BCC1B1,所以PP1⊥平面BCC1B1, 所以∠PCP1是直线CP与平面BCC1B1所成的角, 第1讲　描述运动的基本概念 因为tan∠PCP1= ,|PP1|=1,所以当CP1的长度最小时,tan∠PCP1最大, 易知当CP1⊥BC1,即P1是BC1的中点时,CP1的长度最小,且最小值为 ,所以tan∠PCP1的最大值为 =  ,④正确. 综上所述,正确的结论有3个. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为线段BD1,A1D上的动点,E为BB1的中点,则 ( ) A.存在P,Q两点,使得PQ∥AB　　     B.A1P⊥DC1 C.AP与D1C1所成的角最大为 　　    D.EQ长度的最大值为      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建 立空间直角坐标系,   则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),因为E为BB1的中点,所以E(2,2,1). 对于A,连接BD,易得 =(-2,-2,2), =(2,0,2), =(0,2,0), =(-2,-2,0), 设 =t =(-2t,-2t,2t), =s =(2s,0,2s),t∈[0,1],s∈[0,1],则 = + + =(2s+2t-2,2t-2,2s-2t), 令 则s=t= ,此时 =(0,-1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 因为 =-2 ,所以 ∥ ,所以PQ∥AB, 故存在P,Q两点使得PQ∥AB,故A正确. 对于B,连接BA1,易得 =(0,-2,2),所以 = - =(-2t,2-2t,2t-2). 又 =(0,2,2),所以 · =(-2t)×0+(2-2t)×2+(2t-2)×2=0,故 ⊥ ,即A1P⊥DC1,故B正确. 对于C,易得 =(0,2,0), = + =(-2t,2-2t,2t), 设AP与D1C1所成的角为θ,则cos θ=|cos< , >|= = = , 当t=1时,cos θ=0,则θ= > ,故C错误. 对于D,易得 = - =(2s,0,2s)-(2,2,1)=(2s-2,-2,2s-1)(s∈[0,1]), 则| |= = . 第1讲　描述运动的基本概念 设f(s)=8s2-12s+9,其图象开口向上,对称轴为直线s= ,故f(s)在 上单调递减,在 上单调递增, 因为f(0)=9,f(1)=5,所以EQ长度的最大值为 =3,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=r2(r∈N*)上有且仅有2个不同的点到直线l:2x+y+9=0的 距离为 ,点P是直线l上的动点,则下列说法正确的是 ( ) A.r=3 B.在圆C上不存在两个点A,B,使得∠APB=120° C.若以PC为直径的圆与圆C相交于M,N两点,则 · 的最小值为  D.设D(0,2),点Q是圆C上任意一点,则|DQ|+3|OQ|的最小值为2      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆心C(-1,0)到直线l:2x+y+9=0的距离d= = , 由题意得r- <d= <r+ ,则 - <r< + , 因为r∈N*,所以r=3,故A正确. 对于B,当CP⊥l且直线PA,PB均为圆C的切线时,∠APB取得最大值,此时|CP|=d= ,|CA|=r=3, 则sin  = = > =sin 60°,所以∠APB>120°, 因此圆C上一定存在两个点A,B,使得∠APB=120°,故B错误. 对于C,因为PC是直径,所以∠PMC=90°,故直线PM是圆C的一条切线, 则|PM|= ≥ = , 所以 · = ≥ ,当且仅当CP⊥l时取等号,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,设T(a,0),Q(x,y),3|OQ|=|QT|, 则9(x2+y2)=(x-a)2+y2,整理得x2+y2+ x- =0, 对比圆C:x2+y2+2x-8=0,令a=8,则T(8,0). 又D(0,2)在圆C内,T(8,0)在圆C外, 所以|DQ|+3|OQ|=|DQ|+|QT|≥|DT|=2 ,当且仅当D,Q,T三点共线且Q在D,T之间时取等号,即|DQ|+3|OQ |的最小值为2 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知圆C1过点A(-1,1),B(3,1),C(1,3),动点P是直线l:2x+y+2=0上任意一点,过P向圆C1引两条切线,切点 分别为M,N,记cos∠MPN的最小值为m,sin∠MPN的最大值为n.下列说法正确的是 ( ) A.圆C1的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4 B.m+n=-  C.四边形MPNC1的面积的取值范围为[2 ,+∞) D.当C1P⊥l时,四边形MPNC1的外接圆与圆C1的交点所在的直线方程为2x+y+1=0     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为A(-1,1),B(3,1),所以AB的中点坐标为(1,1),记为F,故|FA|=|FB|= =2,|FC| = =2,即点F与A,B,C三点间的距离相等,所以F(1,1)为圆C1的圆心,且圆C1的半径为2,所以 圆C1的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,故A正确.   对于B,因为C1M⊥PM,C1N⊥PN,所以△C1MP与△C1NP均为直角三角形,易证得Rt△C1MP≌Rt△C1NP, 所以∠MPC1=∠NPC1= ∠MPN, 因为∠MPN∈(0,π),所以∠MPC1∈ , 第1讲　描述运动的基本概念 又因为cos∠MPN=2cos2∠MPC1-1,所以当cos∠MPC1最小时,cos∠MPN取最小值,此时sin∠MPC1最大, 又sin∠MPC1= ,|C1M|=2,所以当|C1P|最小,即C1P⊥l时,sin∠MPC1最大,即cos∠MPC1最小,即cos∠ MPN最小,此时|C1P|= = ,则|MP|= =1,所以cos∠MPC1= = , 则cos∠MPN=2cos2∠MPC1-1=- ,即m=- , 此时∠MPN最大,且∠MPN为钝角, 因为P为直线l上的一个动点,所以∠MPN可以从一个锐角连续变化为一个钝角,所以sin∠MPN的最大 值为sin  =1,即n=1,所以m+n= ,故B错误. 对于C,因为Rt△C1MP≌Rt△C1NP,所以 =2 =2× ×|C1M|·|PM|=|C1M|· =2  , 第1讲　描述运动的基本概念 当C1P⊥l时,|C1P|最小,且 = ,所以 ≥2,故C错误. 对于D,因为C1M⊥PM,C1N⊥PN,所以PC1为四边形MPNC1外接圆的直径. 当C1P⊥l时, ·kl=-1,又kl=-2,所以 = ,所以直线C1P:x-2y+1=0, 联立 解得 则P(-1,0), 故四边形MPNC1的外接圆的圆心为 ,半径为 = ,所以外接圆的方程为x2+  = , 与圆C1的方程相减,得交点所在的直线方程为2x+y+1=0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.经过点P(2,1),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程为_______________________.     x-2y=0或x+2y-4=0     解析　当直线过原点时,其在x轴上的截距和在y轴上的截距均为零,满足题意,可设直线方程为y=kx,将 (2,1)代入,可得k= ,故直线方程为y= x,即x-2y=0; 当直线不过原点时,可设直线方程为 + =1,将(2,1)代入,可得a=2,故直线方程为 + =1,即x+2y-4=0. 故所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知圆O:x2+y2=1,点P为直线x-y-2=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线 AB经过定点_________. 解析　设P(b+2,b),则以OP为直径的圆的方程为 + = [(b+2)2+b2]①,又圆O:x2+y2=1②,所 以由①-②可得直线AB:(b+2)x+by=1,即b(y+x)+2x-1=0, 令 解得 所以直线AB经过定点 . 第1讲　描述运动的基本概念 14.在棱长为 的正四面体A-BCD中,动点P满足|PA|= |PB|,记△BCD所在平面为α,则平面α截点P的轨 迹所形成的图形的周长为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   取△BCD的中心M,连接AM,可得AM⊥平面BCD,且|AM|= , 则B(0,0,0),C( ,0,0),D ,A , 设P(x,y,z),因为|PA|= |PB|, 所以 = × , 第1讲　描述运动的基本概念 整理得 + + =4,即点P的轨迹是以 (记为O1)为球心,2为半径 的球面, 则球心O1到平面BCD的距离为 = ,即球心O1到平面α的距离为 , 又由截面圆的性质,可得截面圆的半径为 = , 所以截面圆的周长为2π× = . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知O为坐标原点,直线l:(2a-3)x-(a-1)y+1=0. (1)若直线l不经过第四象限,求实数a的取值范围; (2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线l:(2a-3)x-(a-1)y+1=0即a(2x-y)-3x+y+1=0, 令 解得 所以直线l过定点(1,2). (2分) 因为直线l不经过第四象限,所以结合图形可知,直线l的斜率存在,所以a≠1, (3分) 则直线l的方程可化为y= x+ ,记点A(1,2),则kOA=2, (4分)   由图可得0≤ ≤2,解得a≥ , (5分) 故实数a的取值范围是 . (6分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由题意知a≠1, 令x=0,得y= >0,则a>1, 令y=0,得x= >0,则a< , (8分) 故直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 × × = = ,1<a<  , (10分) 所以当a= 时,所围成的三角形的面积最小, (11分) 此时直线l的方程为- x- y+1=0,即2x+y-4=0. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知圆C:x2+y2=4,直线l过点A(2,4). (1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程; (2)若P为圆C上任意一点,M(8,0),点Q满足 =2 ,求点Q的轨迹方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得圆C的圆心为C(0,0),半径为2, 因为22+42=20>4,所以点A在圆外, (1分) 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2, 此时直线l与圆C相切,符合题意; (3分) 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0, 因为直线l与圆C相切,所以 =2,解得k= , (5分) 所以直线l的方程为y-4= (x-2),即3x-4y+10=0. (6分) 综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y+10=0. (8分) (2)设Q(x,y),P(x0,y0),则 =(8-x0,-y0), =(8-x,-y). 因为 =2 ,所以 即  (11分) 第1讲　描述运动的基本概念 因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2=4上,所以 + =4, (12分) 即(2x-8)2+(2y)2=4,整理得(x-4)2+y2=1, 即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=1. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,|AD|=2,|AB|=4,AD⊥BD,△SAD为等边三 角形,且平面SAD⊥平面ABCD,E是AB的中点,F是侧棱SC的中点. (1)证明:EF∥平面SAD; (2)求点D到平面SBF的距离.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:如图,取SD的中点M,连接AM,MF,   又因为点F是侧棱SC的中点,所以MF∥CD,|MF|= |CD|, (2分) 因为E是AB的中点,且四边形ABCD是平行四边形,所以AE∥CD,|AE|= |CD|,故AE∥MF,|AE|=|MF|,所以 四边形AEFM是平行四边形, (4分) 则EF∥AM,因为EF⊄平面SAD,AM⊂平面SAD,所以EF∥平面SAD. (7分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)取AD的中点O,连接OE,OS, 因为△SAD为等边三角形,所以SO⊥AD, 因为平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,SO⊂平面SAD,所以SO⊥平面ABCD. 因为O,E分别为AD,AB的中点,所以OE∥BD,又AD⊥BD,所以OE⊥AD,则OA,OE,OS两两垂直, 以O为坐标原点,OA,OE,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图. (10分)   第1讲　描述运动的基本概念 易得|SO|= |AD|= ,|BD|= = =2 , 则D(-1,0,0),S(0,0, ),C(-3,2 ,0),B(-1,2 ,0),F , 故 =(0,2 ,0), =(1,-2 , ), = . (12分) 设平面SBF的法向量为n=(x,y,z), 则 令y=1,则n=(0,1,2), (13分) 则点D到平面SBF的距离为 = =  . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)2021年6月17日,神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接.神舟十 二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图如图1所示,半径相等的圆I1,I2,I3,I4与圆柱OO1的底面圆分别相 切于A,B,C,D四点,且圆I1与I2,I2与I3,I3与I4,I4与I1分别外切,线段A1A为圆柱OO1的母线.M为线段A1O1的中 点,点N在线段CO1上,且|CN|=2|NO1|.已知圆柱OO1的底面半径为2,|AA1|=4. (1)求证:AM∥平面BDN; (2)线段AA1上是否存在一点E,使得OE⊥平面BDN?若存在,请求出AE的长;若不存在,请说明理由; (3)飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图如图2所示.天和核心舱可简化为底 面半径为2的圆柱O2O3,它与飞船推进舱共轴,即O,O1,O2,O3共线.天和核心舱舱体两侧伸展出太阳翼,其 中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形,四边形PQRS为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4,即| O1O2|=4,且|O2O3|=|RS|=2,|PS|=7.在对接过程中,核心舱可能会进行相对于推进舱的逆时针旋转的运动,请 你求出在舱体相对距离保持不变的情况下,在舱体相对旋转过程中,直线A1P与平面PQRS所成角的正弦 第1讲　描述运动的基本概念 值的最大值.    第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:如图①,设M',N'分别是点M,N在线段AC上的射影,   ∴M'为AO的中点,N'为OC的三等分点, (2分) ∴tan∠MAM'= = =4, 第1讲　描述运动的基本概念 tan∠NON'= = =4, ∴∠MAM'=∠NON',∴AM∥ON, 又AM⊄平面BDN,且ON⊂平面BDN, ∴AM∥平面BDN. (5分) (2)根据题意建立如图②所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则O(0,0,0),B(0,2,0),D(0,-2,0),N , 设E(2,0,t)(0≤t≤4), ∴ =(0,4,0), = , =(2,0,t), (8分) 第1讲　描述运动的基本概念 假设OE⊥平面BDN,则  ∴- + t=0,∴t= . ∴线段AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BDN,且|AE|= .(10分) (3)将矩形PQRS作为参照物,不妨设A1顺时针旋转的弧度为α(α>0), 则结合(2)中所建坐标系可得A1(2cos(-α),2sin(-α),4),即A1(2cos α,-2sin α,4), (12分) 又P(10,0,8), ∴ =(10-2cos α,2sin α,4). 易知平面PQRS的一个法向量为(0,1,0),记u=(0,1,0). (13分) 设直线A1P与平面PQRS所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,u>| =  = · , (15分) 当cos α=±1时,sin θ=0; 当-1<cos α<1时,设t=3-cos α,则t∈(2,4), ∴sin θ= · ≤ × = ×(2- )= , 当且仅当t= ,即t=2 ,即cos α=3-2 时,sin θ取得最大值,为 . 综上可知,在旋转过程中,直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值为 . (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,对于点A和☉C给出如下定义:若☉C上存在两个不同的点M,N,对于 ☉C上满足|AP|=|AQ|的任意两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A是☉C的关联点,称∠MAN 的大小为点A与☉C的关联角度.(本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角) (1)如图,☉O的半径为1. ①在点A1 ,A2 ,A3(2,0)中,选出与☉O的关联角度小于90°的关联点,并求其与☉O的关联角度; ②点B(1,m)在第一象限内,若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是☉O的关联点,求m的最 小值; (2)已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0),☉T经过原点,线段EF上所有的点都是☉T的 关联点,记这些点与☉T的关联角度的最大值为α.若90°≤α≤180°,求t的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①根据定义可得,当A在☉O上时,不存在M,N,对满足|AP|=|AQ|的任意P,Q都有∠PAQ≤∠ MAN;当A在☉O内部时,过A的弦MN使得点A与☉O的关联角度为180°;当A在☉O的外部,且直线AM,AN 均为☉O的切线时,∠MAN最大. (2分) 如图1,则A1,A2,A3均是☉O的关联点,且A1与☉O的关联角度为180°, (3分) ∵A3(2,0),☉O的半径为1,∴|OM|=1,|OA3|=2, 当直线MA3,NA3均是☉O的切线时,sin∠MA3O= = ,∴∠MA3O=30°, ∴∠MA3N=60°,即A3与☉O的关联角度为60°. 同理可知A2与☉O的关联角度大于90°. 故与☉O的关联角度小于90°的☉O的关联点是A3,该点与☉O的关联角度为60°. (5分) 第1讲　描述运动的基本概念  　　      ②易得B为☉O外一点,∵|BD|<1,☉O的半径为1,BD上所有的点都是☉O的关联点,∴|BO|≥2,当|OB|=2 时,如图2,取点G(1,0),则∠OGB=90°, ∴m=|BG|= ≥ = ,∴m的最小值为 . (8分) (2)由(1)及题意可得,当A在☉O的外部,且直线AM,AN均为☉O的切线时,∠MAN最大,点A距离圆心最近. ∵90°≤α≤180°,∴当∠MAN=90°时,由∠TMA=∠TNA=90°,得四边形TMAN是矩形,如图3, 第1讲　描述运动的基本概念   ∵|TM|=|TN|,∴四边形TMAN是正方形,设☉T的半径为r,则|TA|= |TM|= r,则当∠MAN≥90°时,r<|TA| ≤ r. ∵T(t,0),☉T经过原点,∴r=|t|. 若E,F均在☉T内,线段EF上所有的点都是☉T的关联点,则这些点与☉T的关联角度的最大值均为180°, 符合题意, 则 解得t>5. (12分) 若E,F均在☉T外,则线段EF上距离T最近的点(记为A)满足|t|<|TA|≤| t|. 第1讲　描述运动的基本概念 当t>0时,如图4, 则 解得-4+ ≤t<3; (14分) 当t<0时,如图5, 则 解得t≤-4- . (16分) 综上可知,所求t的取值范围为(-∞,-4- ]∪[-4+ ,3)∪(5,+∞). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $