第1章 08-1.2.4 二面角（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“空间向量与立体几何”中的“二面角”，通过三棱锥、正方体等实例导入，衔接空间向量运算与立体几何线面关系，搭建从几何直观到向量方法的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是融合一题多解（几何法、定理应用、特殊位置法）与向量坐标规范步骤，通过题组训练强化数学思维，创新题型（如“表截面”新定义）培养数学眼光。教师可丰富教学方法，学生能提升空间观念与推理能力。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.4 二面角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二面角及其度量 1.[2024辽宁省实验中学期中]已知三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不 含端点),记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ, 则 ( ) A.β<γ,α<γ　　    B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α　　    D.α<β,γ<β     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:如图,取AC的中点G,连接VG,BG,设点V在底面ABC上的射影为O,连接AO,则点P在底面 ABC上的射影D在线段AO上,过点D作DE⊥AC于点E,连接PE,BD,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC,交VG 于点F,连接BF,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,易知α,β,γ均为锐角,则cos α= = = < =cos β,即α>β,tan γ= > =tan β,即γ>β.   解法二:由最小角定理知β<α,记二面角V-AB-C的平面角为γ',显然γ'=γ,由最大角定理知β<γ'=γ. 解法三(特殊位置法):令三棱锥V-ABC为正四面体,P为VA的中点,易得cos α= ,则sin α= ,sin β= , sin γ= ,则β<α,β<γ. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若点P在正方体的内部,且满足 =  +  +  ,则二面角 P-AB-D的余弦值为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　     D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,过点P分别作PN⊥AB于点N,PM⊥平面ABCD,垂足为M,连接MN,由三垂线定理的逆定理可 知AB⊥MN,所以∠PNM为所求二面角的平面角.易知PM= ,MN= ,故PN= ,所以cos∠PNM= =  .   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏徐州铜山棠张中学月考]在四面体A-BCD中,△ABC是正三角形,△ACD是等腰直角三角形, DA=DC,平面ACD⊥平面ABC,点E在棱BD上,且四面体A-CDE与四面体A-BCD的体积之比为1∶2,则二 面角D-AC-E的余弦值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设DA=DC=2,则AB=BC=AC=2 . 取AC的中点F,连接DF,EF,BF,则BF=ABsin 60°= ,DF= AC= .   因为 = ,所以点E为BD的中点. 因为AD=CD,AB=BC,所以DF⊥AC,BF⊥AC, 又DF∩BF=F,DF,BF⊂平面BDF, 第1讲　描述运动的基本概念 所以AC⊥平面BDF, 又EF⊂平面BDF,所以AC⊥EF.因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,BF⊥AC,BF⊂平面 ABC,所以BF⊥平面ACD,又DF⊂平面ACD,所以BF⊥DF,所以BD=2 ,DE= ,EF= . 易知二面角D-AC-E的平面角为∠DFE. cos∠DFE= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用空间向量解决二面角问题 4.[2025山西省实验中学段考]如图,在直二面角α-l-β中,B,C是直线l上两点,A∈α,D∈β,且AB⊥l,CD⊥l, AB=2,BC=3,CD=4,则直线AD与直线BC所成角的余弦值为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以过点B且与BC垂直的直线为x轴,BC所在直线为y轴,BA所在直线为z轴,建立空间直角坐标 系, 则B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,3,0),D(4,3,0), ∴ =(4,3,-2), =(0,3,0), ∴cos< , >= = = , ∴直线AD与直线BC所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　在二面角的题目背景下运用向量法求异面直线所成的角时,通常用“基底表示”,但当二面 角是直二面角时,可建立坐标系,用“坐标表示”解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北唐山阶段测试]在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=∠ABC=90°,PA=BC=1,PB= AC=2,E是AB的中点,则二面角B-PC-E的余弦值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA⊂平面PAC,所以PA⊥平面ABC. 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AC=2,BC=1,∠ABC=90°,所以AB= ,所以B(0,0,0),P(0, ,1),C(1,0,0),E ,所以 =(-1, ,1),  =(0,- ,-1), = . 第1讲　描述运动的基本概念 设平面BPC的法向量为m=(x1,y1,z1), 则  令y1=1,则m=(0,1,- ). 设平面EPC的法向量为n=(x2,y2,z2), 则  令y2=2,则n=( ,2,- ). 设二面角B-PC-E的大小为θ,θ∈ , 则cos θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025北京广渠门中学月考]如图,三棱锥A-BCD中,AB=BC=AC=DB=DC,平面ABC⊥平面BCD,E为BC 的中点,EF􀱀AD,则二面角D-AB-F的余弦值为 ( )   A. 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AE,DE. 因为AB=BC=AC=DB=DC,E为BC的中点, 所以AE⊥BC,DE⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊂平面ABC,所以AE⊥平面BCD,又DE⊂平面BCD, 所以DE⊥AE. 以点E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.   第1讲　描述运动的基本概念 设AB=2,则A(0,0, ),D( ,0,0),B(0,1,0),F(- ,0, ),所以 =(0,1,- ), =( ,0,- ), =(- ,0,0). 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z), 则  令x=1,得y= ,z=1,所以m=(1, ,1). 设平面ABF的法向量为n=(a,b,c), 则  则a=0,令c=1,得b= ,所以n=(0, ,1).所以cos<m,n>= = = . 由图可知,二面角D-AB-F为钝二面角,所以二面角D-AB-F的余弦值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026重庆第八中学校月考]如图,在矩形ABCD中,AB=25,AD=15.沿AC将△ADC折起,使点D到达点P 的位置,点P在平面ABC内的射影H落在边AB上. (1)证明:AP⊥PB; (2)若M在边PC上, =m ,平面MAB与平面PBC的夹角的余弦值为 ,求m的值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由点P在平面ABC内的射影H落在边AB上,得PH⊥平面ABC, 又BC⊂平面ABC,所以PH⊥BC, 又BC⊥AB,AB∩PH=H,且AB,PH⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又AP⊂平面PAB,所以BC⊥AP, 又AP⊥PC,PC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,所以AP⊥平面PBC, 因为PB⊂平面PBC,所以AP⊥PB. (2)由(1)知AP⊥PB,在Rt△APB中,AP=15,AB=25,则PB=20, 所以PH= = =12, 故BH= =16. 以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐 第1讲　描述运动的基本概念 标系,如图所示, 则B(0,0,0),A(0,25,0),P(0,16,12),C(15,0,0),则 =(0,25,0), =(15,-16,-12). 由 =m ,得 =m(15,-16,-12)=(15m,-16m,-12m), 可得M(15m,16-16m,12-12m), 则 =(15m,16-16m,12-12m), 设平面MAB的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则  可得y=0,令z=5m,得x=4m-4, 所以n=(4m-4,0,5m). 由(1)知PA⊥平面PBC,则平面PBC的一个法向量为 =(0,9,-12), 所以|cos< ,n>|=  = = , 化简得8m2+2m-1=0,解得m= 或m=- (舍),所以m的值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错提醒　注意两个平面所成角的取值范围为 ,两个平面的法向量的夹角的取值范围为[0,π],利 用两个平面的法向量求两平面所成角的余弦值时,记得加绝对值. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.4 二面角 第1讲　描述运动的基本概念 题组    利用空间向量解决二面角问题 1.[2026辽宁省实验中学月考]如图,已知正方形ABCD、ABEF,∠CBE=120°,动点M,N分别在线段AE和 DB上,EM=BN,当| |最小时,二面角A-MN-B的余弦值是 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.-      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,以B为原点,直线BA为x轴,直线BC为y轴,过B且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间 直角坐标系,如图所示, 设正方形ABCD、ABEF的边长为m,则B(0,0,0),A(m,0,0),D(m,m,0),E , 由动点M,N分别在线段AE和DB上,且EM=BN,EA=BD,可设 =λ , =λ ,λ∈[0,1],则M λm, λm-  第1讲　描述运动的基本概念 m, m- λm ,N(λm,λm,0), 所以 = 0, λm+ m, λm- m , 则| |=  =m =m , 所以当λ= 时,| |取得最小值 m, 此时M ,N  m, m,0 , = 0, m,- m ,所以 =  m,- m, m , = - m,- m,  m , 第1讲　描述运动的基本概念 设平面AMN的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即  令z1= ,得x1=1,y1=1,即n=(1,1, ), 设平面BMN的法向量为m=(x2,y2,z2), 则 即 令z2= ,得x2=-1,y2=1,即m=(-1,1, ), 设二面角A-MN-B的平面角为θ, 由题图可知θ为钝角,则cos θ=-|cos<n,m>|=- =- =- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026吉林省实验中学月考]如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,E为边AB的中点,将△ADE沿DE折 起,使A到A'的位置,连接A'B,若A'D⊥DC,平面A'BE与平面A'CD的交线为l,则下列结论中错误的是  ( ) A.CD∥l B.平面A'DE⊥平面A'BE C.二面角E-A'B-D的余弦值为      D D.BC与平面A'DE所成角的余弦值为  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题知CD∥BE,因为CD⊄平面A'BE,BE⊂平面A'BE,所以CD∥平面A'BE, 又平面A'BE与平面A'CD的交线为l,CD⊂平面A'CD,所以CD∥l,故A中结论正确; 对于B,连接BD,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=AD,则△ABD是正三角形,由E为边AB的中点,得ED⊥ AB,又DC∥AB,故ED⊥DC,而A'D⊥DC,A'D∩ED=D,A'D,ED⊂平面A'DE,则DC⊥平面A'DE, 又DC∥BE,所以BE⊥平面A'DE,而BE⊂平面A'BE,因此平面A'DE⊥平面A'BE,故B中结论正确; 对于D,由B中分析知,ED⊥AB,折起后,有ED⊥A'E,ED⊥BE,又BE⊥平面A'DE,A'E⊂平面A'DE,故BE⊥A' E, 如图,以E为原点,BE,ED,A'E所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则E(0,0,0),B(1,0,0),A'(0,0,1),C(2, ,0),D(0, ,0), 则 =(1, ,0), =(1,0,-1), =(-1, ,0), 由BE⊥平面A'DE,得 =(1,0,0)是平面A'DE的一个法向量, 设BC与平面A'DE所成的角为θ, 则sin θ=|cos< , >|= = = , 因此cos θ= = ,故D中结论错误; 对于C,由D中分析知DE⊥平面A'BE,则 =(0, ,0)为平面A'BE的一个法向量, 设平面A'BD的法向量为n=(x,y,z), 则 令y=1,得n=( ,1, ), 第1讲　描述运动的基本概念 则cos<n, >= = = , 由图形知二面角E-A'B-D为锐角,故其余弦值为 ,故C中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026辽宁朝阳建平高级中学月考]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,E为棱AB的中点,点P在 侧面CC'D'D上运动,当平面B'EP与平面ABCD、平面CC'D'D所成的角相等时,D'P的最小长度为  ( )   A. 　　    B. 　　    C.2 　　    D.      B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,   则B'(0,0,4),E(2,0,0),所以 =(2,0,-4). 设P(x,4,z)(0≤x≤4,0≤z≤4),则 =(x-2,4,z). 易知平面ABCD、平面CC'D'D的一个法向量分别为(0,0,1)(记为n1),(0,1,0)(记为n2). 设平面B'EP的法向量为n3=(a,b,c), 第1讲　描述运动的基本概念 则  取c=1,则a=2,b= ,所以n3= . 因为平面B'EP与平面ABCD、平面CC'D'D所成的角相等,所以|cos<n1,n3>|=|cos<n2,n3>|,所以|n1·n3|=|n2·n3|, 所以|2x+z-4|=4,所以2x+z-8=0或2x+z=0. 在平面CC'D'D上,直线2x+z-8=0过点D(4,4,0)和C'D'的中点(2,4,4). 在平面CC'D'D上,直线2x+z=0只过点(0,4,0),即点C. 取C'D'的中点G,连接GD,则点P在DG上运动或点P在点C处,所以D'P的最小长度为点D'到直线DG的距 离,由等面积法可得D'P的最小长度为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025山东临沂第十八中学诊断]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,线段B1D1上有两个动点E,F(E 在F的左边),且EF= ,则下列说法正确的是 ( )   A.当E,F运动时,存在点E,F,使得AE⊥CF B.当E,F运动时,存在点E,F,使得AE∥BF C.当E,F运动时,二面角E-AB-C的平面角的最小值为45° D.当E,F运动时,二面角A-EF-B的余弦值为定值      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,   则A(2,2,0),B(0,2,0),C(0,0,0),B1(0,2,2),D1(2,0,2). 设E(t,2-t,2),1≤t≤2,则F(t-1,3-t,2), 所以 =(t-2,-t,2), =(t-1,3-t,2), 所以 · =2t2-6t+6=2 + >0,所以当E,F运动时,不存在点E,F,使得AE⊥CF,故A错误. 若AE∥BF,则A,B,B1,D1四点共面,与AB,B1D1是异面直线矛盾,故B错误. 第1讲　描述运动的基本概念 设平面ABE的法向量为m=(x,y,z), 易得 =(-2,0,0), =(t-2,-t,2), 则  令y=2,得m=(0,2,t). 易知平面ABC的一个法向量n=(0,0,1), 故cos<m,n>= = = , 易知函数y= 在[1,2]上单调递减, 所以 ≤ ≤ ,所以 ≤ ≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 设二面角E-AB-C的大小为θ,0°≤θ≤90°,则(cos θ)max= ,所以二面角E-AB-C的平面角的最小值为45°,故 C正确. 连接BD,AD1,AB1,CA,则平面EFB即为平面BDD1B1,平面AEF即为平面AB1D1. 易知平面BDD1B1的一个法向量为 =(2,2,0). 设平面AB1D1的法向量为u=(a,b,c), 易得 =(-2,0,2), =(-2,2,0), 则 令a=1,得u=(1,1,1),故cos< ,u>= = = . 由图知,二面角A-EF-B为锐二面角,所以二面角A-EF-B的余弦值为定值 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025辽宁鞍山第一中学月考]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,BC∥AD,PA= AB=BC= AD=2,Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角Q-PD-A的大小为 ,点M是PC的中点, 则三棱锥M-ADQ体积的最大值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两互相垂直,所以以点A为坐标原点建立如图 所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(4,0,0),P(0,0,2).   因为Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),所以设Q(x0,y0,0),其中x0∈[0,4],y0∈[0,2],且x0+y0≤4. 显然平面PAD的一个法向量m=(0,1,0). 易得 =(4,0,-2), =(4-x0,-y0,0), 设平面QPD的法向量为n=(x1,y1,z1), 第1讲　描述运动的基本概念 则 即 由题易得y0≠0,令x1=1,得y1= ,z1=2,所以n= . 因为二面角Q-PD-A的大小为 , 所以|cos<m,n>|= = = , 即4 =5+ , 所以y0= |4-x0|= (4-x0)(*). 因为点M是PC的中点,所以M到平面ADQ的距离为 AP=1,又S△ADQ= AD×|y0|=2y0,所以要使得三棱锥M- 第1讲　描述运动的基本概念 ADQ的体积最大,则y0要取到最大值, 由(*)知x0=0时,(y0)max= , 此时点Q 不在四边形ABCD内部,矛盾, 故当y0=2时,体积取到最大值,所以(VM-ADQ)max= ×2y0× AP= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025四川宜宾三中期中]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别 是线段AC,CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.若点F为线段B1C1上的动点(不包括端点),则锐二面角 F-BD-E的余弦值的取值范围为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为C1在平面ABC内的射影为D,所以C1D⊥平面ABC.因为△ABC是等边三角形,D是AC的中点, 所以DB⊥AD. 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),B( ,0,0),C1(0,0, ),B1( ,1, ),E ,所以 = , =( ,0,0), =( ,1, 0). 设F(x,y,z), =λ (0<λ<1), 第1讲　描述运动的基本概念 则(x,y,z- )=( λ,λ,0), 所以F( λ,λ, ),所以 =( λ,λ, ). 设平面BDE的法向量为m=(a,b,c), 则 令b=3,得m=(0,3, ). 设平面BDF的法向量为n=(d,e, f), 则  令e= ,得n=(0, ,-λ). 所以|cos<m,n>|= = = =  . 第1讲　描述运动的基本概念 令3-λ=t,则t∈(2,3),|cos<m,n>|=  =  . 令s= ,则s∈ ,|cos<m,n>|=  . 易知函数y=12s2-6s+1=12 + 的图象开口向上,对称轴为直线s= ,所以当s∈ 时,函数y=12s2- 6s+1单调递增,所以12s2-6s+1∈ ,所以 ∈(1, ),所以|cos<m,n>|∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河南漯河部分校联考]如图,在三棱锥A-BCD中,AC=AD=2 ,CD=4,BC=BD=2 ,AB=2 ,E在线 段BC(不包含端点)上,F是线段BD的中点. (1)证明:AB⊥CD; (2)当 = 时,求直线AE与平面ACD所成角的正弦值; (3)当 为何值时,平面ACD与平面AEF所成角的余弦值取得最大值?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取棱CD的中点O,连接AO,BO. 因为AC=AD,且O是棱CD的中点,所以AO⊥CD. 因为BC=BD,且O是棱CD的中点,所以BO⊥CD. 因为AO⊂平面ABO,BO⊂平面ABO,且AO∩BO=O,所以CD⊥平面ABO. 因为AB⊂平面ABO,所以CD⊥AB. (2)由AC=2 ,CD=4,BC=2 ,O为棱CD的中点,得AO= = =2 ,BO= =  =4, 又AB=2 ,所以△ABO为等腰三角形,则A在BO上的射影为BO的中点, 以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O且垂直于平面BCD的直线为z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   可得A(2,0,2),C(0,2,0),D(0,-2,0), 则 =(-2,2,-2), =(-2,-2,-2). 设平面ACD的法向量为n=(x1,y1,z1), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令x1=1,得n=(1,0,-1), 因为 = ,所以E(2,1,0),所以 =(0,1,-2), 则cos<n, >= = = , 故直线AE与平面ACD所成角的正弦值为 . (3)因为F为线段BD的中点,且由(2)知B(4,0,0),D(0,-2,0),所以F(2,-1,0),则 =(0,-1,-2). 设 =k,0<k<1,又 =(2,0,-2), =(-4,2,0),故 =k =(-4k,2k,0), = + =(2-4k,2k,-2). 设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令x2=2k+1,得m=(2k+1,4k-2,1-2k). 设平面ACD与平面AEF所成的角为θ, 则cos θ=|cos<n,m>|= = = . 因为 - +12= + ≥ , 所以k= 时, 取到最大值,为 , 所以当且仅当k= ,即 = 时,平面ACD与平面AEF所成角的余弦值取得最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 8.如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,将三角形AOB沿OB折起至三角形 POB的位置,使得PC= ,得到如图乙所示的四棱锥P-OBCD. (1)在棱PD上是否存在一点F,使得CF∥平面POB?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由; (2)若E是线段PB上的一个动点,当直线CE与DP所成的角最小时,求二面角B-CE-D的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)存在点F,使得CF∥平面POB. 连接OC,依题意知PC= ,OC= ,OP=1,OD=3, 所以OC2+OP2=PC2,所以OP⊥OC. 因为OP⊥OB,OC⊂平面OBCD,OB⊂平面OBCD,OC∩OB=O,所以OP⊥平面OBCD,又OD⊂平面OBCD, 所以OP⊥OD,所以PD= = . 过点C作CG∥OB交OD于点G,作GF∥OP交PD于点F,连接CF,如图1,   易知OG=1,所以OG= OD. 第1讲　描述运动的基本概念 因为GF∥OP,所以PF= PD= . 因为CG∥OB,OB⊂平面POB,CG⊄平面POB, 所以CG∥平面POB. 因为FG∥OP,OP⊂平面POB,FG⊄平面POB, 所以FG∥平面POB. 又FG,CG⊂平面CFG,FG∩CG=G, 所以平面CFG∥平面POB, 又CF⊂平面CFG,所以CF∥平面POB. 故存在点F,使得CF∥平面POB,此时PF= . (2)以O为坐标原点,OB,OD,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),B(1,0,0), 所以 =(1,0,-1), =(0,-3,1). 设 =λ (0≤λ≤1),E(x,y,z),则(x,y,z-1)=λ(1,0,-1), 所以E(λ,0,1-λ),所以 =(λ-1,-1,1-λ). 设直线CE与DP所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos θ=|cos< , >|=  = (0≤λ≤1). 令t=4-λ(3≤t≤4),则λ=4-t, cos θ= = . 令a= ,则 ≤a≤ , cos θ= = , 所以当a= ,即λ= 时,cos θ取得最大值,此时直线CE与DP所成的角最小,所以E . 第1讲　描述运动的基本概念 易得 =(0,1,0), = , =(-1,2,0). 设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则  取x1=1,得n1=(1,0,1). 设平面CED的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则  取x2=2,得n2=(2,1,8). 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos<n1,n2>= = . 由图可知,二面角B-CE-D为钝二面角,则其余弦值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　从新定义角度理解平面与平面所成的角 9.[2026广东八校联盟质检]由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”,则在正 方体中,两个不重合的“表截面”所成角的大小不可能为 ( ) A.30°　　    B.45°　　    C.60°　　    D.90°     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,若“表截面”为面ABC1D1与面ABCD,则它们所成的角为45°; 若“表截面”为面ABC1D1与面BDD1B1,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), 在正方形ADD1A1中,A1D⊥AD1, 因为AB⊥面ADD1A1,且A1D⊂面ADD1A1,所以AB⊥A1D, 又AD1∩AB=A,AD1,AB⊂面ABC1D1,所以A1D⊥面ABC1D1,即面ABC1D1的一个法向量为 =(1,0,1), 同理可证,AC⊥面BDD1B1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以面BDD1B1的一个法向量为 =(-1,1,0), 设面ABC1D1与面BDD1B1所成的角为θ, 则cos θ=|cos< , >|= = = , 所以θ=60°; 若“表截面”为面ABB1A1与面ABCD,则它们所成的角为90°. 第1讲　描述运动的基本概念 $