第1章 07-1.2.3 直线与平面的夹角（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“空间向量与立体几何”中的直线与平面夹角，通过复习空间向量方向向量与法向量，衔接线面角定义、公式及向量法，构建从基础到综合的知识支架。 其特色在于融合教材改编题与多地区联考真题，通过定义法、公式法、向量法等多样化解题路径，培养学生数学思维的逻辑性与空间观念。创新题型结合平面方程，提升数学语言表达能力，助力学生掌握解题技巧，为教师提供分层教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用定义研究线面角问题 1.[教材习题改编]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱B1B的中点,则直线AE与平面A1 ED1所成角的大小是( ) A.60°　　    B.90° C.45°　　    D.以上都不对     B     解析　由题意可知AE=A1E= ,则AE2+A1E2=A ,故AE⊥A1E.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1⊥平面 ABB1A1.因为AE⊂平面ABB1A1,所以A1D1⊥AE.又因为A1D1∩A1E=A1,A1D1,A1E⊂平面A1ED1,所以AE⊥平 面A1ED1,所以直线AE与平面A1ED1所成角的大小为90°. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025辽宁七校联考]如图所示,在正四面体A-BCD中,E为棱AD的中点,则直线CE与平面BCD所成角的 正弦值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    设正四面体的棱长为a,如图所示,过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则点O为△BCD的中心,连接 DO并延长,交BC于点G,过点E作EF⊥GD于点F,连接FC,则∠ECF即为直线CE与平面BCD所成的角.由 GD2=CD2-CG2,得GD= a,所以OD= GD= a.由AO2=AD2-OD2,得AO= a,所以EF= AO= a.又CE= GD= a,所以在Rt△EFC中,sin∠ECF= = .   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025河北邯郸邱县第一中学月考]如图,在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=BC=2,AC1与平面B1C1CB所成 的角为30°,则四棱锥C1-ABCD的体积为 ( )   A.8 　　    B. 　　    C. 　　    D.8      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AB⊥平面B1C1CB, 则AC1与平面B1C1CB所成的角为∠AC1B, 所以∠AC1B=30°, 在Rt△ABC1中,∠ABC1=90°,AB=2,∠AC1B=30°, 所以BC1= =2 , 在Rt△BCC1中,CC1= = =2 , 由长方体的性质可知,CC1⊥平面ABCD, 所以四棱锥C1-ABCD的体积为 S四边形ABCD·CC1= ×2×2×2 = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江舟山南海实验学校月考]如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=90°且SA=AB=AC=  ,若在△SBC内(包括边界)有一动点P,使得直线AP与平面SBC所成角的正切值为 ,则点P的轨迹的 长度为 ( )   A. 　　    B.π　　    C. 　　    D.6     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图1,过A作AH⊥平面SBC于H,连接PH,则直线AP与平面SBC所成的角为∠APH, 因为SA⊥平面ABC,∠BAC=90°且SA=AB=AC= , 所以△SBC是边长为2的等边三角形, 易知H为△SBC的中心, 由VS-ABC=VA-SBC,得 × × × × = × ×2×2× AH,则AH= , 因为直线AP与平面SBC所成角的正切值为 , 所以tan∠APH= = ,解得PH= ,所以点P的轨迹是以H为圆心, 为半径的圆落在△SBC内的圆弧. 如图2,连接SH,易得SH= ,∠MSH= , 在△SMH中,由正弦定理可得 = , 第1讲　描述运动的基本概念 可得sin∠SMH= , 所以∠SMH= 或∠SMH= (舍去), 所以∠MHS= ,则∠MHN= , 根据对称性可知,P所形成的轨迹是三段等长的圆弧,故P的轨迹的长度为 × ×3= .  　　      第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽六安独山中学月考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1,∠CAB=90°,M是B1C1的中 点,N是AC的中点. (1)求证:MN∥平面ABB1A1; (2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取AB的中点H,连接HN,B1H,则HN是△ABC的中位线,所以HN∥BC,且HN= BC. 又因为B1M∥BC,且B1M= BC,所以HN∥B1M,且HN=B1M,所以四边形HNMB1是平行四边形,所以MN∥B1 H. 因为MN⊄平面ABB1A1,B1H⊂平面ABB1A1, 所以MN∥平面ABB1A1.   (2)连接A1M,BM. 因为A1B1=A1C1,M是B1C1的中点,所以A1M⊥B1C1. 第1讲　描述运动的基本概念 又因为平面A1B1C1⊥平面BCC1B1,A1M⊂平面A1B1C1,平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1,所以A1M⊥平面BCC 1B1, 所以BM为A1B在平面BCC1B1内的射影, 所以∠A1BM为直线A1B与平面BCC1B1所成的角. 设AB=2,则A1M= ,A1B=2 , 所以sin∠A1BM= = = ,所以∠A1BM=30°, 所以直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小为30°. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　公式cos θ=cos θ1cos θ2的应用 6.若BC在平面α内,斜线AB与平面α所成的角为γ,∠ABC=θ,AA'⊥平面α,垂足为A',∠A'BC=β,θ,γ∈ , 那么 ( ) A.cos θ=cos γ·cos β B.sin θ=sin γ·sin β C.cos γ=cos θ·cos β D.cos β=cos γ·cos θ     A     第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024辽宁沈阳第二中学阶段测试]已知平面α内的∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角的大小均为135 °,则PC与平面α所成的角θ的余弦值是 ( ) A.- 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      B     解析　由题可知cos 45°=cos θ·cos 30°,∴cos θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　用空间向量研究线面角问题 8.[2026河北唐山迁安第四高级中学月考]已知向量m,n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量,若cos <m,n>=- ,则l与α的夹角为( ) A.30°　　    B.60°　　    C.120°　　    D.150°     B     解析　由于cos<m,n>=- ,0°≤<m,n>≤180°,则<m,n>=150°,又直线l和平面α的法向量所在直线的夹角 (记为θ)的取值范围为0°≤θ≤90°,故θ=180°-150°=30°,则l与α的夹角为90°-30°=60°. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026辽宁沈阳铁路实验中学月考]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1=AB,M是A1C1 的中点,则直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      B     解析　如图所示,取AC的中点D,连接BD,DM,以D为坐标原点,BD,DC,DM所在直线分别为x轴,y轴,z轴建 立空间直角坐标系,   不妨设AC=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),B(- ,0,0),C(0,1,0),B1(- ,0,2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(0,1,2), =( ,1,0), =(0,0,2). 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z), 则 则z=0,令x= ,则y=-3, 所以n=( ,-3,0). 设直线AM与平面BCC1B1所成的角为α, 则sin α=|cos < ,n>|= = , 即直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025辽宁葫芦岛期中]如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD的 中点,且SP⊥AB,M为棱SA上的一点,若BM与平面SBD所成角的正弦值为 ,则AM=_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　过点P作PE∥CD,交BC于点E. 由SD=SA,P为AD的中点,得SP⊥AD, 又SP⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD, 所以SP⊥平面ABCD, 又PE⊂平面ABCD,所以SP⊥PE,又四边形ABCD是矩形,所以SP,PA,PE两两垂直. 以P为坐标原点,PA,PE,PS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.   第1讲　描述运动的基本概念 易得A(1,0,0),S(0,0, ),B(1,1,0),D(-1,0,0),所以 =(2,1,0), =(1,0, ), =(-1,0, ), =(0,-1,0).令  =λ =(-λ,0, λ),0≤λ≤1, 则 = + =(-λ,-1, λ). 设平面SBD的法向量为m=(x,y,z), 则 令z=1,得m=(- ,2 ,1). 由BM与平面SBD所成角的正弦值为 , 得|cos< ,m>|= = = , 所以λ= ,所以| |=λ| |=2λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025四川成都诊断]下图中的多面体是由一个直四棱柱被平面AEFG所截后得到的,其中AB=2AD= 2,∠BAD=60°,∠BAE=∠GAD=45°. (1)证明:BD⊥平面ADG; (2)求直线GB与平面AEFG所成角的正切值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在△BAD中,因为AB=2AD=2,∠BAD=60°,所以由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AB·AD·cos 6 0°=3,所以BD= ,所以AB2=AD2+DB2,所以BD⊥AD. 由题意知GD⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以BD⊥GD.因为AD⊂平面ADG,GD⊂平面ADG,AD∩ GD=D,所以BD⊥平面ADG. (2)由(1)得DA,DB,DG两两相互垂直, 所以以D为坐标原点,DA,DB,DG所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.   由∠BAE=∠GAD=45°,得BE=BA=2,DA=DG=1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以A(1,0,0),B(0, ,0),E(0, ,2),G(0,0,1),所以 =(-1, ,2), =(-1,0,1), =(0, ,-1). 设平面AEFG的法向量为m=(x,y,z), 则 即  令x= ,得m=( ,-1, ). 设直线GB与平面AEFG所成的角为θ,且θ∈ , 则sin θ=|cos< ,m>|= = = , 所以cos θ= = ,所以tan θ= = , 即直线GB与平面AEFG所成角的正切值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026山东烟台第一中学月考]在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1, 且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC,BF上移动,且CM,BN的长度保持相 等,记CM=BN=a(0<a< ). (1)求异面直线AC与BF所成角的余弦值; (2)当a为何值时,线段MN的长最小? (3)当线段MN的长最小时,求AB与平面AMN所成角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥BA,因为平面ABCD⊥平面ABEF,且交线为AB,BC⊂平 面ABCD,所以BC⊥平面ABEF, 因为BE⊂平面ABEF,所以BC⊥BE, 又AB⊥BE,所以BA,BE,BC两两垂直, 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(1,0,0),C(0,0,1),B(0,0,0),F(1,1,0), 所以 =(-1,0,1), =(1,1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 设异面直线AC与BF所成的角为θ, 则cos θ=|cos< , >|= = , 所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为 . (2)由题可得,M ,N , 所以MN= = = , 所以当a= 时,线段MN的长最小,为 . (3)由(2)可知,当线段MN的长最小时, 第1讲　描述运动的基本概念 M ,N , 所以 = , = , 设平面AMN的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,则y=1,z=1,所以m=(1,1,1), 设AB与平面AMN所成的角为α, 因为 =(1,0,0),所以sin α=|cos< ,m>|= = ,因为α∈ ,所以cos α= . 所以AB与平面AMN所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.3 直线与平面的夹角 第1讲　描述运动的基本概念 题组　用向量法研究直线与平面所成的角 1.[2026广东广州天河联考]在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PA=PB,∠APC=∠BPC=60°,则直线PC与平面 PAB所成的角θ的正弦值是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设PA=PB=1,以P为原点,直线PA为x轴,直线PB为y轴,过点P且垂直于平面PAB的直线为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,   则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0), ∴ =(1,0,0), =(0,1,0), 设C(x,y,z),则 =(x,y,z), ∵∠APC=∠BPC=60°, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ · =| |·| |·cos 60°, · =| |·| |·cos 60°,即x= | |,y= | |, 设| |=t,则x= ,y= ,∵| |= ,∴t= ,解得z= (舍负), ∴sin θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽阜阳太和中学月考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直 线OP与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方体的棱长为1, =λ(0≤λ≤1),则 =λ , 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.   则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),O ,B1(1,1,1),故 = =(-1,1,0),所以 =λ =(-λ,λ,0),则P(1-λ,λ, 1),所以 =  -λ,λ- ,1 . 连接B1D,易知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D⊥平面A1BC1, 所以 =(1,1,1)是平面A1BC1的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 所以sin θ=|cos< , >| = = , 所以当λ= 时,sin θ取得最大值,为 ,当λ=0或λ=1时,sin θ取得最小值,为 ,所以sin θ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 3.如图,在圆柱中有一内接正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,圆柱的高为2,底面半径为1,上、下底面的中 心分别为O1,O,点K在上底面的圆周上运动,若直线AC与平面KAF所成角的正弦值最小为m,则 = ___________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　取AB的中点M,连接OM,OC,OO1.易知OM,OC,OO1两两垂直,以O为坐标原点, , , 的方向 分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,   则F(0,-1,0),A ,C(0,1,0), 所以 = , = . 设K(cos θ,sin θ,2),θ∈[0,2π),则 =(cos θ,sin θ+1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 设平面KAF的法向量为n=(x,y,z),则  令x=2,得n=(2,-2 , sin θ-cos θ+ ). 所以直线AC与平面KAF所成角的正弦值为 =  = , 所以当sin =1时,直线AC与平面KAF所成角的正弦值最小,故m= = , 所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025辽宁普通高中期中]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M,N分别是线段AB1,BC1上的动点, 若MN与底面ABCD所成的角为45°,则线段MN长度的取值范围为_____________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),所以 =(1,0,0), =(1,1,1), =(1,1,0), =(0, 1,1), =(0,0,1). 连接DB1,DM,DN,DB,DC1.由题意可设 =λ +(1-λ)· =(1,1-λ,1-λ), =μ +(1-μ) =(μ,1,1-μ),其 中λ,μ∈[0,1], 所以 = - =(μ-1,λ,λ-μ). 显然 =(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 所以sin 45°= = = ,化简得2λμ-2μ+1=0, 显然μ≠0(否则1=0矛盾), 所以 解得 ≤μ≤1. | |= |μ-λ|=  , 因为y=μ+ 在 上单调递减,在 上单调递增,所以当μ= 时,ymin= ,当μ= 时,y= ,当μ=1 时,y= ,所以函数y=μ+ 在 上的取值范围为 ,所以| |=  =  的取值 范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025浙江星辰联盟联考]如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△SAD为等边三角形,且S在 平面ABCD上的射影为AD的中点P,AB=1,VS-ABCD= . (1)若E为棱SB的中点,证明:PE∥平面SCD; (2)在棱SC上是否存在点M,使得直线SC与平面PMB所成角的余弦值为 ?若存在,求出点M的位置;若不 存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:如图1,取SC的中点F,连接EF,FD.   因为E,F分别为SB,SC的中点, 所以EF∥BC,EF= BC. 因为底面四边形ABCD是矩形,P为棱AD的中点, 所以PD∥BC,PD= BC,所以EF∥PD,EF=PD, 所以四边形PEFD是平行四边形,所以PE∥FD. 第1讲　描述运动的基本概念 又FD⊂平面SCD,PE⊄平面SCD, 所以PE∥平面SCD. (2)因为S在平面ABCD上的射影为AD的中点P, 所以SP⊥平面ABCD,所以SP是四棱锥S-ABCD的高. 设AD=m(m>0),则SP= m,S矩形ABCD=m, 所以VS-ABCD= S矩形ABCD·SP= m× m= ,所以m=2. 以点P为原点,PA,PS所在直线分别为x,z轴,过点P且平行于AB的直线为y轴,建立如图2所示的空间直角 坐标系,则P(0,0,0),C(-1,1,0),B(1,1,0),S(0,0, ). 第1讲　描述运动的基本概念   连接PC.易得 =(-1,1,0), =(1,1,0), =(1,-1, ). 设 =λ =(λ,-λ, λ)(0≤λ≤1), 则 = + =(λ-1,1-λ, λ). 设平面PMB的法向量为n=(x,y,z), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令x= λ,得n=( λ,- λ,2-2λ). 由题意得|cos< ,n>|=  = = = , 整理得20λ2-16λ+3=(10λ-3)(2λ-1)=0,解得λ= 或λ= , 所以当 =  或 =  时,直线SC与平面PMB所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　立体几何与解析几何的结合 6.[2026江苏无锡江阴南菁高级中学期中]数轴上,方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点;平面直角坐 标系xOy中,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线;空间直角坐标系Oxyz中,方程 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)可以表示空间内的平面.过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平 面α的方程可表示为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.根据上述材料,解决下面问题:已知平面α的方程为2x-y+z-7 =0,直线l是两平面x-y+1=0与2x-z+1=0的交线,则直线l与平面α所成角的正弦值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,可知平面α的一个法向量为(2,-1,1),记m0=(2,-1,1), 平面x-y+1=0与2x-z+1=0的一个法向量分别为(1,-1,0),(2,0,-1),记m1=(1,-1,0),m2=(2,0,-1), 设直线l的方向向量为n0=(x,y,z), 则 取x=1,得y=1,z=2,则n0=(1,1,2), 设直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos<m0,n0>|= = = . 方法技巧　解决新定义问题,要紧抓新定义中的关键信息:方程a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0表示过点P(x0,y0, z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α,因此由平面方程的一次项系数可得到平面的法向量,进而可运用 平面的法向量解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 $